基于“導問”的高中數學綜合問題評價策略

【摘 要】在數學課堂教學中，教師不僅要注重結論性評價，更要重視過程性評價，采用表現性評價、發展性評價等評價方式，實施多元化的評價策略，實現以評價促學生發展。基于“導問”的高中數學綜合問題評價策略可從以下四個方面展開：創設問題情境，導入環節凸顯情境激勵功能；誘發思考探究，解決問題環節凸顯思維引導功能；歸納提煉總結，反思提升環節凸顯生成積淀功能；拓展延伸問題，運用反饋環節凸顯體驗強化功能。

【關鍵詞】數學綜合問題；評價；策略；數列

【中圖分類號】G633.6? 【文獻標志碼】A? 【文章編號】1005-6009（2022）67-0019-04

【作者簡介】殷偉康，江蘇省常熟市滸浦高級中學（江蘇常熟，215512）教師，正高級教師，江蘇省特級教師。

數學綜合問題是指涉及數學知識、方法和能力的綜合性問題，具有知識容量大、解題方法多、能力要求高等特點，凸顯對數學思想方法的運用，并要求學生具有一定創新能力。實施導問式數學課堂教學實踐，就是以“數學問題解決”為主線，激發學生思維，引導學生積極參與課堂探究，通過對問題的分析、引導、比較和評價，培育學生的數學核心素養。

在數學課堂教學中，教師不僅要注重終結性評價，更要重視過程性評價，采用表現性評價、發展性評價等評價方式，實施多元化的評價策略，實現以評價促學生發展。本文以人教版高中數學選擇性必修第二冊第四章“數列”為例，闡述基于“導問”的高中數學綜合問題評價策略，發揮評價的育人功能。

一、創設問題情境，導入環節凸顯情境激勵功能

導入環節的課堂教學評價應緊扣本節課的教學目標和教學任務，創設有利于激發探究欲望、富有數學思考價值的問題情境，讓學生明晰學習任務，產生濃厚的數學學習興趣。以下是筆者設計的“等差數列的前n項和（一）”的課堂導入環節。

【問題情境】古希臘畢達哥拉斯學派的數學家經常在沙灘上畫點或用小石子表示數。他們研究過三角形數：1，3，6，10，15，……

【問題1】如下頁圖1，若這個圖案有100層，你知道一共用了多少粒石子嗎？

生：1+2+3+…+100=（1+100）+（2+99）+（3+98）+…+（50+51）=101×50=5050。

師：高斯采用的是什么方法求和的？為什么要這么做？

生1：首尾配對，將原來求100個不同數的和轉化為求50個相同數的和。

師：高斯算法的實質就是通過配對湊成相同的數，變多步求和為一步相乘，即“將不同數的求和”化歸為“相同數的求和”。

【問題2】第1層到第101層一共用了多少粒石子？

【問題3】第1層到第n層一共用了多少粒石子？

師：很好，同學們運用了分類討論思想進行求解，將n分為偶數和奇數兩類情況進行處理。這種方法體現了分類整合和轉化與化歸的思想。下面，請同學們思考是否一定要分類討論呢？怎樣避開分類討論，又能達到“配對”，從而將“不同數的求和”化歸為“相同數的求和”呢？

本環節設置畢達哥拉斯學派研究的問題情境，自然地提出了本節課的核心問題，讓學生抽象出求和的本質是“構建相同和”。在教學過程中，教師用贊許的語言給予鼓勵，激發學生進一步探究的熱情。通過創設階梯式問題，造成認知沖突，激發學生的學習興趣和主動探究的意識，適當評價，激活了學生的數學思維，促進學生自主探究和深度學習，促使學生進一步把握數學本質和建構新知識。

二、誘發思考探究，解決問題環節凸顯思維引導功能

解決問題環節的課堂教學評價應凸顯思維引導功能，采用多元的評價方式，構建交流互動平臺。教師要診斷、評價學生的探究結果，使學生能夠及時了解自己的學習現狀和方向，引導學生達成學習目標；更要引導、評價學生數學活動過程和表現，使學生關注活動結果背后的知識和數學思想方法，通過不斷地提問和追問，促使學生帶著問題去探究。以下是筆者設計的“等差數列的前n項和（一）”課堂教學中的解決問題環節。

【問題4】梯形面積公式是如何推導的？為什么要“倒置”形成一個全等的梯形？梯形面積公式的推導過程體現了怎樣的研究策略？能否借助這樣的策略研究“石子堆”問題？

生2：如圖2，把“全等三角形”倒置，與原圖構成平行四邊形。平行四邊形中的每行石子的個數均為n+1個，共n行，共有n（n+1）粒石子。所以原圖案中共有[n（n+1）2]粒石子。

師：畢達哥拉斯學派就是利用拼平行四邊形的方法求從1開始的連續自然數之和。同學們能否用數學符號來表示求解過程呢？

師：這種推導方法叫作倒序相加法。通過倒序相加，我們知道所求的和可以用首項、末項和項數來表示；數列中任意的第k項與倒數第k項的和都等于首項與末項的和。

生4：只要在原式上再加一個1+2+…+n，得到求2n個數的和的問題。重構分組，分成n組k+（n-k+1），其中1≤k≤n，k∈N*，即轉化為n個n+1的和。

師：很好！高斯算法的目的是將問題轉化為偶數個數的和，其本質是對算式分組重構。

【問題5】根據前面的探索，請同學們自主解決更一般性的問題。在公差為d的等差數列[an]中，前n項和Sn=a1+a2+…+an，如何求Sn呢？

師：很好！同學們經歷了“觀察—歸納—猜想”，不過這一結論是否正確，還需證明。該如何證明呢？

師：生6運用倒序相加法求和，已經學會舉一反三。生7利用通項公式，用a1，d，n來表示an，將Sn的算式進行重構分組，再運用問題3的結論進行求和，已能將學到的知識靈活運用。

在評價互動中，教師以肯定的診斷性評價滿足了學生的成就動機，引導學生將高斯配對求和方法與梯形面積公式的推導方法相關聯，進行類比推理，使學生學習向著本節課的結果性目標和體驗性目標邁進。同時，教師要以簡練的數學語言做評價，引導學生從聚集項數的處理中抽象出倒序相加法，使學生從不同思維角度推導等差數列的前n項和公式。這樣的教學評價使學生經歷“觀察—歸納—猜想—證明”的過程，凸顯了思維引導的作用。

三、歸納提煉總結，反思提升環節凸顯生成積淀功能

反思提升就是對問題理解及問題解決過程中所運用的知識與技能、思想與方法的體驗進行有目的的反思和提升。該環節應凸顯評價的生成積淀功能，通過反思評價，加深學生對新知、新方法與原有知識、方法間的關聯體驗，領悟新知的本質，使其掌握新方法的要領，在深度體驗中積淀數學思想方法和數學核心素養。下面，是筆者在“求解數列的通項公式”教學中設計的反思提升環節。

師：本節課主要學習了求解數列的通項公式哪些方法？

生：公式法、累加法、累乘法、構造法。

師：構造法的要領是什么？

生：運用待定系數法構造等比數列。

師：理解得很透徹，那么你能說出運用待定系數法構造數列的求通項公式的常見類型嗎？

通過對構造法的追問，引導學生理解構造法的本質和操作流程，促使累加法、累乘法、構造法等新方法生成于學生的親身體驗和對體驗的反思中。這樣的課堂評價凸顯生成積淀功能。在反思中，鼓勵學生博采眾長，借鑒他人的成功經驗，尋求更簡潔的問題解決思路和思維通道，促進學生數學思維的生長。

四、拓展延伸問題，運用反饋環節凸顯體驗強化功能

在課堂教學的最后，教師應對問題適當拓展延伸，及時檢驗評價，反饋改進；學生則可以嘗試運用，完善內化。該環節的課堂教學評價應凸顯體驗強化功能，設計拓展問題檢測題，采用關聯性目標的評價，加深學生的學習體驗，促進學生深度學習。以下是筆者設計的“求解數列的通項公式”課堂教學中的反饋內化環節。

師：相鄰兩項和的類型問題前面學過嗎？回想一下斐波那契數列的通項公式是如何求解的。

師：很好，上述兩位同學的解法都是運用待定系數法構造出等比數列，生2運用了轉化與化歸思想。構造法是解決這類遞推數列問題的通法，同學們要逐步掌握構造等比數列的操作要領。再回想一下求解斐波那契數列的通項公式的另一種方法是什么？

生3：運用特征方程進行求解。或者觀察前幾項式子的結構特征，猜想通項，再應用數學歸納法加以證明。

反饋內化環節重在變換條件或結論，歸納和提煉出更多具有相關性、相似性的新問題。通過適當評價，激發學生的創造性思維，拓展深化學生對新知和新方法的理解的深度與廣度。根據學生的反饋活動表現，教師適時引導學生調整思維方向，通過構造法進行求解，從而進一步強化學生對“遞推關系”與“構造等比數列”間的關聯的認識。這樣的課堂教學評價凸顯體驗強化功能。反饋練習是建立在反思基礎上的新的思維生長點，教師要突出通性、通法的輻射、遷移的作用，強化學生對構造法求解數列的通項公式的體驗。

總之，學生的數學核心素養是在潛移默化、不斷浸潤中形成的。基于“導問”的高中數學課堂教學，應提倡問題層次化、思維深度化，運用合理的評價策略，發揮教師評價的引導功能，讓學生用心體驗與感悟，發展高階思維能力，培育數學核心素養。

【參考文獻】

［1］殷偉康.讓數學課堂充滿數學文化的魅力——以“等差數列的前n項和（一）”為例［J］.上海中學數學，2017（12）：1-3，14.

［2］米云林，陳明英，熊文俊，等.核心問題教學中的課堂教師評價策略［J］.成都師范學院學報，2016（5）：21-28.

［3］王薇.實施發展性數學教育評價的策略和方式［J］.數學教育學報，2012（5）：10-14.