考慮逆變器諧波影響的軌道交通用直線感應(yīng)電機(jī)多層次多目標(biāo)優(yōu)化方法

徐 偉 肖新宇 董定昊 唐一融 上官用道 黃守道 高 劍

考慮逆變器諧波影響的軌道交通用直線感應(yīng)電機(jī)多層次多目標(biāo)優(yōu)化方法

徐 偉1肖新宇1董定昊1唐一融1上官用道1黃守道2高 劍2

（1. 強(qiáng)電磁工程與新技術(shù)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室（華中科技大學(xué)） 武漢 430074 2. 湖南大學(xué)電氣與信息工程學(xué)院 長(zhǎng)沙 410082）

由于軌道交通用直線感應(yīng)電機(jī)固有的大氣隙、端部效應(yīng)和逆變器諧波等影響，該類電機(jī)難以獲得較高的效率和功率因數(shù)。為克服相關(guān)問(wèn)題，該文提出一種考慮逆變器諧波影響的多層次多目標(biāo)優(yōu)化方法。首先，基于傳統(tǒng)的基波等效電路，建立考慮逆變器影響的直線感應(yīng)電機(jī)諧波解析模型，進(jìn)而得到優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)的解析表達(dá)式；隨后，通過(guò)對(duì)電機(jī)參數(shù)敏感性進(jìn)行分析，明確了七個(gè)主要的參數(shù)，并將其作為后續(xù)的優(yōu)化變量；然后，為減少優(yōu)化時(shí)間和提高優(yōu)化效果，該文對(duì)皮爾遜系數(shù)和方差進(jìn)行了深入研究，找出了影響電機(jī)性能的主要和次要變量，從而將單層優(yōu)化轉(zhuǎn)化為多層優(yōu)化；最后，大量仿真和實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，基于該文優(yōu)化方法得到的直線感應(yīng)電機(jī)可以提升效率和功率因數(shù)約5.0%和12.7%。

直線感應(yīng)電機(jī) 諧波模型 多目標(biāo)優(yōu)化 多層次優(yōu)化 軌道交通

0 引言

當(dāng)前，城市軌道交通系統(tǒng)主要由旋轉(zhuǎn)感應(yīng)電機(jī)驅(qū)動(dòng)，但其依靠滾輪的摩擦力，同時(shí)需要齒輪箱、曲柄連桿等中間傳動(dòng)裝置，存在體積大、噪聲高、維修量大、爬坡能力差、加減速小、選線困難等問(wèn)題。若采用直線感應(yīng)電機(jī)（Linear Induction Motor, LIM）軌道交通驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)（后面簡(jiǎn)稱“直線驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)”），它將借助電磁力直接驅(qū)動(dòng)車輛，可省去中間傳動(dòng)裝置，從而克服傳統(tǒng)旋轉(zhuǎn)感應(yīng)電機(jī)驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)存在的缺點(diǎn)[1-3]，因而在軌道交通中逐步得到應(yīng)用。迄今為止，全世界直線驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)線路超過(guò)30條，尤其在日本和中國(guó)應(yīng)用較多。2005年以來(lái)，中國(guó)先后建成直線驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)6條，包括廣州地鐵4～6號(hào)線、北京機(jī)場(chǎng)快軌線、長(zhǎng)沙中低速磁懸浮線、北京S1線等，另外還有在建線路多條，成為近年全世界直線驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)發(fā)展最快的國(guó)家之一。

雖然LIM在直線驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)中得到大量應(yīng)用，但受其大氣隙和端部效應(yīng)等影響，該類電機(jī)的效率和功率因數(shù)明顯低于相應(yīng)的旋轉(zhuǎn)感應(yīng)電機(jī)，其驅(qū)動(dòng)能力亟需進(jìn)一步提升[4-6]。迄今為止，為提升直線電機(jī)的效率和功率因數(shù)等關(guān)鍵指標(biāo)，大量學(xué)者從數(shù)學(xué)建模、降維優(yōu)化求解、優(yōu)化效率提升等方面開展了廣泛的研究。文獻(xiàn)[7]采用遺傳算法對(duì)LIM的效率和功率因數(shù)同時(shí)進(jìn)行優(yōu)化，電機(jī)功效（功率因數(shù)和效率乘積）成功提升了12.5%；但因其電機(jī)等效模型沒(méi)有考慮鐵耗和次級(jí)漏感，隨著速度增加，其理論分析和實(shí)驗(yàn)測(cè)量誤差逐步增大。文獻(xiàn)[8]建立的LIM等效模型考慮鐵耗和次級(jí)漏感的影響，并在優(yōu)化前進(jìn)行了單參數(shù)和雙參數(shù)敏感性分析，但優(yōu)化過(guò)程仍和傳統(tǒng)的單層次多目標(biāo)優(yōu)化方法相同。文獻(xiàn)[9]采用遺傳算法對(duì)直線電機(jī)性能進(jìn)行優(yōu)化，提高了電機(jī)功效、降低了初級(jí)質(zhì)量和端部力等。文獻(xiàn)[10]提出一種開槽的次級(jí)結(jié)構(gòu)，并對(duì)開槽的相關(guān)參數(shù)依次進(jìn)行優(yōu)化，一定程度上降低了電機(jī)橫向端部效應(yīng)；但因該方法采用單變量逐個(gè)優(yōu)化，很容易陷入局部最優(yōu)解。文獻(xiàn)[11-12]同樣采用單個(gè)變量逐次優(yōu)化，并缺少對(duì)優(yōu)化變量的敏感性分析，很難保證優(yōu)化結(jié)果是全局最優(yōu)值。文獻(xiàn)[13-14]從直線電機(jī)系統(tǒng)的角度出發(fā)，以降低電機(jī)和逆變器損耗為目的，同時(shí)對(duì)電機(jī)結(jié)構(gòu)參數(shù)和最優(yōu)控制量進(jìn)行了優(yōu)化，取得了一定的效果，但求解過(guò)程較為繁瑣。

為降低LIM優(yōu)化模型的難度，文獻(xiàn)[15]基于有限元模型和試驗(yàn)點(diǎn)法，得到電機(jī)的響應(yīng)面模型；然后從提高電機(jī)功率密度的角度出發(fā)，求解得到最優(yōu)的初級(jí)長(zhǎng)度與次級(jí)導(dǎo)體板厚度的比值。該方法不需要推導(dǎo)LIM等效電路或解析模型，特別適用于結(jié)構(gòu)復(fù)雜的LIM，可明顯降低優(yōu)化模型的建立難度[16]。文獻(xiàn)[17]利用有限元軟件建立電機(jī)結(jié)構(gòu)參數(shù)模型；然后以高轉(zhuǎn)矩密度和低轉(zhuǎn)矩波動(dòng)為優(yōu)化目標(biāo)，基于敏感性分析對(duì)關(guān)鍵尺寸參數(shù)進(jìn)行敏感度分層，并根據(jù)參數(shù)敏感度分層結(jié)果將單參數(shù)掃描法和多目標(biāo)遺傳算法等多種優(yōu)化方法相結(jié)合，從而確定電機(jī)的最優(yōu)結(jié)構(gòu)尺寸參數(shù)。文獻(xiàn)[18-19]分別基于拉丁超立方試驗(yàn)和正交試驗(yàn)表方法，得到直線電機(jī)的響應(yīng)面，從而確定優(yōu)化模型。文獻(xiàn)[20-21]基于Kriging代理模型得到LIM的解析模型，并結(jié)合高效全局優(yōu)化算法的加點(diǎn)準(zhǔn)則，可以明顯加快算法的收斂速度，從而減少優(yōu)化時(shí)間。

為提升傳統(tǒng)多目標(biāo)優(yōu)化方法的優(yōu)化效率，文獻(xiàn)[22]通過(guò)引入靈敏度指數(shù)將優(yōu)化參數(shù)進(jìn)行分層，對(duì)不同層的參數(shù)分別采用Box-Behnken試驗(yàn)設(shè)計(jì)、優(yōu)化模型方程最小值搜索和單變量參數(shù)化方法對(duì)電機(jī)轉(zhuǎn)矩大小和轉(zhuǎn)矩脈動(dòng)進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)，在保證優(yōu)化結(jié)果的可靠性與準(zhǔn)確性的前提下，明顯提升了電機(jī)工作效率。文獻(xiàn)[23]針對(duì)五種典型工況下混合電動(dòng)汽車用驅(qū)動(dòng)電機(jī)，對(duì)電機(jī)參數(shù)進(jìn)行敏感性分析，確定不同工況下的主要結(jié)構(gòu)參數(shù)，把優(yōu)化過(guò)程分為三步，每一步優(yōu)化不同工況下的關(guān)鍵結(jié)構(gòu)參數(shù)和性能指標(biāo)，從而得到最終優(yōu)化方案。文獻(xiàn)[24]考慮到多目標(biāo)優(yōu)化時(shí)不同優(yōu)化目標(biāo)和參數(shù)之間的耦合關(guān)系，通過(guò)相關(guān)性和方差分析，確定影響較大的變量或變量組合，明確不同優(yōu)化目標(biāo)之間的關(guān)聯(lián)性，從而有效建立相關(guān)優(yōu)化模型。

在逆變器驅(qū)動(dòng)下，LIM受到脈寬調(diào)制（Pulse Width Modulation, PWM）電壓和非均勻磁路影響。當(dāng)輸入電壓（電流）中包含諧波時(shí)，會(huì)產(chǎn)生額外的推力波動(dòng)和損耗，從而對(duì)推力、效率和功率因數(shù)等驅(qū)動(dòng)性能造成負(fù)面影響。如果仍采用傳統(tǒng)不考慮諧波影響的基波數(shù)學(xué)模型來(lái)分析和優(yōu)化電機(jī)的性能，會(huì)導(dǎo)致理論與實(shí)際情況之間存在較大誤差。此外，考慮到在城軌交通場(chǎng)合，逆變器由于容量限制導(dǎo)致其開關(guān)頻率較低，再疊加LIM初次開斷和繞組不對(duì)稱的作用，使得逆變器諧波對(duì)LIM影響較傳統(tǒng)旋轉(zhuǎn)感應(yīng)電機(jī)（Rotary Induction Motor, RIM）更加突出。

為了同時(shí)提高LIM的效率和功率因數(shù)，并提升優(yōu)化速度（減小計(jì)算量），本文提出了一種考慮逆變器諧波影響的多層次多目標(biāo)優(yōu)化方法。首先，建立了考慮逆變器影響的諧波解析分析模型，從而得出優(yōu)化變量和優(yōu)化目標(biāo)之間的表達(dá)式；其次，為減少優(yōu)化時(shí)間和提高優(yōu)化效果，通過(guò)對(duì)電機(jī)參數(shù)進(jìn)行敏感性分析，找到影響電機(jī)性能的主要和次要變量，從而將單層優(yōu)化問(wèn)題轉(zhuǎn)化為多層優(yōu)化問(wèn)題；然后，采用優(yōu)化算法對(duì)多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題逐層進(jìn)行優(yōu)化及求解；最后，通過(guò)大量的有限元仿真和實(shí)驗(yàn)，充分驗(yàn)證了優(yōu)化結(jié)果的合理性。

1 電機(jī)結(jié)構(gòu)及參數(shù)

圖1為一軌道交通用的平板型LIM的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)示意圖。圖1中標(biāo)注了LIM的主要結(jié)構(gòu)參數(shù)，其中t為初級(jí)槽高，s為初級(jí)槽寬，t為初級(jí)齒寬，a為初級(jí)軛高，為導(dǎo)板厚度，j為次級(jí)軛厚。由圖1可看到，因LIM的初級(jí)磁路開斷，其鐵心無(wú)法閉合，從而引入了特有的端部和半填充槽，給LIM的解析模型帶來(lái)了很強(qiáng)的非線性影響，其求解過(guò)程相對(duì)傳統(tǒng)旋轉(zhuǎn)感應(yīng)電機(jī)更為復(fù)雜和困難。

圖1 直線感應(yīng)電機(jī)的縱向和橫向截面示意圖

1.1 諧波等效電路

為了得到優(yōu)化目標(biāo)的數(shù)學(xué)表達(dá)式，需要采用合適的解析模型來(lái)評(píng)估電機(jī)的性能。和LIM傳統(tǒng)的基波等效電路類似，本文提出了可以考慮逆變器影響的諧波等效電路，如圖2所示。

對(duì)于逆變器產(chǎn)生的特定次時(shí)間諧波，都有與之對(duì)應(yīng)的諧波等效電路。由于次時(shí)間諧波的同步速度1u和基波的同步速度1滿足[25]

因此，LIM相應(yīng)的諧波轉(zhuǎn)差率s可表述為

式中，為基波轉(zhuǎn)差率。

式中，G為諧波品質(zhì)因數(shù)；e為等效極對(duì)數(shù)；為極距；1u和2u為與s、G和電機(jī)結(jié)構(gòu)參數(shù)相關(guān)的函數(shù)。

式中，T為與s、G和電機(jī)結(jié)構(gòu)參數(shù)相關(guān)的函數(shù)。Re和Im分別為復(fù)數(shù)的實(shí)部和虛部。

式中，e為機(jī)械氣隙長(zhǎng)度；s為卡特系數(shù)；c為磁路飽和系數(shù)，具體計(jì)算公式可參考文獻(xiàn)[4]。

由于電機(jī)功率較小，可忽略初級(jí)繞組的趨膚效應(yīng)，認(rèn)為兩者阻值相等，因此諧波初級(jí)電阻的表達(dá)式為

諧波初級(jí)漏抗和勵(lì)磁電抗與諧波頻率和結(jié)構(gòu)參數(shù)有關(guān)，可看作相應(yīng)基波電抗的倍，其表達(dá)式為

諧波次級(jí)電阻由諧波次級(jí)導(dǎo)板電阻和次級(jí)背鐵電阻并聯(lián)而成，其中諧波背鐵電阻大小與其諧波透入深度有關(guān)，即

進(jìn)一步，諧波次級(jí)漏抗的表達(dá)式為

1.2 性能分析

在前面的推導(dǎo)基礎(chǔ)上，進(jìn)一步求得初級(jí)、勵(lì)磁和次級(jí)支路的阻抗大小為

整個(gè)電路的阻抗為

式中，為次諧波等效電路的功率因數(shù)角。

因此，初級(jí)、次級(jí)電流可分別表示為

基于疊加原理，總電磁力大小為

總有功功率、復(fù)功率和功率因數(shù)分別為

總銅耗為

忽略初級(jí)阻抗壓降，初級(jí)齒、初級(jí)軛和次級(jí)軛的諧波鐵耗Fetu、Feau和Feju分別為

式中，F(xiàn)et1、Fea1和Fej1分別為初級(jí)齒、初級(jí)軛和次級(jí)軛的基波鐵耗，具體計(jì)算公式可參考文獻(xiàn)[4]。

2 參數(shù)敏感性分析

針對(duì)城市軌道交通需求，本文選取LIM的額定速度40km/h，并把該點(diǎn)的效率和功率因數(shù)作為優(yōu)化目標(biāo)。表1為L(zhǎng)IM主要結(jié)構(gòu)參數(shù)及初始值。根據(jù)三水平三因素實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)原則，本文建立了目標(biāo)函數(shù)的正交試驗(yàn)表，并基于第1節(jié)的諧波解析模型得到了電機(jī)各個(gè)試驗(yàn)點(diǎn)下的性能，見表2。表中的每個(gè)組合為7維的向量，值1、2和3分別代表該變量取較小、適中和較大值情況。由表2得知，采用傳統(tǒng)的單參數(shù)掃描法需37=2 187次試驗(yàn)，而采用正交實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)后，僅需知道18個(gè)點(diǎn)下的響應(yīng)值即可充分反映電機(jī)的整體性能，進(jìn)而顯著減少優(yōu)化時(shí)間。

表1 直線感應(yīng)電機(jī)基本結(jié)構(gòu)參數(shù)

Tab.1 Basic structure parameters of LIM

表2 正交試驗(yàn)矩陣及試驗(yàn)結(jié)果

Tab.2 Orthogonal experimental matrix and results

2.1 皮爾遜系數(shù)相關(guān)分析

在確定了優(yōu)化變量和優(yōu)化目標(biāo)后，本文通過(guò)相關(guān)分析，可以確定每個(gè)優(yōu)化變量對(duì)不同優(yōu)化目標(biāo)的影響。采用傳統(tǒng)的單參數(shù)掃描法來(lái)進(jìn)行敏感性分析時(shí)，其優(yōu)化時(shí)間會(huì)隨優(yōu)化變量或目標(biāo)數(shù)量增加而急劇增長(zhǎng)，同時(shí)還受初始方案的影響。為克服上述缺點(diǎn)，本文引入Pearson相關(guān)系數(shù)來(lái)衡量?jī)?yōu)化變量對(duì)優(yōu)化目標(biāo)的影響，其表達(dá)式為

圖3為基于表2的樣本點(diǎn)和式（33）得到的電機(jī)結(jié)構(gòu)參數(shù)與性能指標(biāo)間的Pearson相關(guān)系數(shù)。由圖3可以看出，相關(guān)系數(shù)的變化范圍為[-1, 1]，其絕對(duì)值越大，表明兩者關(guān)聯(lián)性越大：正值為正相關(guān)，負(fù)值為負(fù)相關(guān)。進(jìn)一步分析，可以得出以下兩點(diǎn)結(jié)論：①初級(jí)槽寬和齒寬對(duì)LIM的銅損電阻和鐵損電阻影響較大，進(jìn)而明顯影響LIM驅(qū)動(dòng)性能；②次級(jí)背鐵厚度對(duì)電機(jī)性能的影響較小：因?yàn)榇渭?jí)電阻為次級(jí)導(dǎo)板電阻和次級(jí)背鐵電阻并聯(lián)而成，而后者相比前者值較小，所以背鐵厚度的變化對(duì)次級(jí)電阻的影響較小。

圖3 電機(jī)結(jié)構(gòu)參數(shù)與性能指標(biāo)間的相關(guān)系數(shù)

2.2 方差分析

前面的相關(guān)分析能夠評(píng)估每個(gè)參數(shù)對(duì)不同目標(biāo)函數(shù)是否有影響，并且還能用相關(guān)系數(shù)來(lái)衡量具體影響程度的大小。不足的是，相關(guān)分析無(wú)法考慮不同變量之間的交互作用：即變量A相關(guān)系數(shù)較大，而變量B相關(guān)系數(shù)較小，但A和B合為一個(gè)整體后對(duì)目標(biāo)函數(shù)的影響又較大；針對(duì)此類情況，在進(jìn)行分層分析時(shí)，必須將A和B變量分到同一層進(jìn)行深入研究。

為考慮變量之間的交互作用，需要進(jìn)行方差分析。首先基于表2的樣本點(diǎn)，得到衡量樣本間顯著性差異的水平樣本的值，具體計(jì)算式為

式中，b為組間方差；w為組內(nèi)方差；為變量數(shù)；為含有某個(gè)變量的數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)；為目標(biāo)函數(shù)值。

進(jìn)一步，將得到的結(jié)果與值表的臨界值進(jìn)行對(duì)比：若計(jì)算得到的值大于臨界值，則表明組間差異顯著，也即相應(yīng)的交叉因子對(duì)目標(biāo)函數(shù)的影響較大。表3為基于方差分析，篩選出的對(duì)優(yōu)化目標(biāo)影響較大的交叉因子。由表3得知，本文沒(méi)有同時(shí)含有初、次級(jí)參數(shù)的影響較大的交叉因子，即后續(xù)優(yōu)化時(shí)，可將初、次級(jí)參數(shù)放在不同層進(jìn)行優(yōu)化。同時(shí)可以看出，雖然LIM初級(jí)槽高的相關(guān)系數(shù)較小，但其與初級(jí)槽寬和初級(jí)齒寬的交叉因子的交互作用較強(qiáng)，為此必須將初級(jí)槽高與后兩個(gè)參數(shù)放在同一層來(lái)進(jìn)行優(yōu)化。

表3 對(duì)優(yōu)化目標(biāo)影響較大的交叉因子

Tab.3 Cross-factors with significant influence on optimization objectives

3 多目標(biāo)優(yōu)化

3.1 優(yōu)化流程

采用Pearson相關(guān)系數(shù)和方差對(duì)優(yōu)化變量進(jìn)行參數(shù)敏感性分析后，本文將優(yōu)化變量分為三層：影響較大的初級(jí)參數(shù)（包括t、s和t）、影響較大的次級(jí)參數(shù)（包括和f）、其他參數(shù)（包括a和j）。圖4給出了LIM的多層次優(yōu)化流程。

圖4 LIM多層次優(yōu)化流程

LIM的優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)為

考慮到一般優(yōu)化算法都是求最小值，而本文的優(yōu)化目標(biāo)是使功率因數(shù)和效率最大，所以建立目標(biāo)函數(shù)時(shí)需要在這兩個(gè)變量前添加負(fù)號(hào)（后文圖中所示值的大小有意義，負(fù)號(hào)無(wú)特殊含義）。

優(yōu)化過(guò)程中，氣隙長(zhǎng)度為固定值10mm，同時(shí)電機(jī)額定功率、額定推力、額定速度、初級(jí)寬度、次級(jí)寬度和繞組參數(shù)也保持恒定不變，具體取值見表4。

表4 優(yōu)化過(guò)程中恒定參數(shù)

Tab.4 Constant parameters in the process of optimization

考慮軌道交通實(shí)際工程經(jīng)驗(yàn)，并經(jīng)過(guò)初始電磁分析，在表1中給出了各優(yōu)化變量的取值范圍，和如下的不等式約束條件為

LIM多層次優(yōu)化步驟具體總結(jié)如下：

（1）首先，當(dāng)?shù)谝粚觾?yōu)化完成后，從得到的Parato前沿選取三個(gè)有一定間隔的點(diǎn)作為下一層多目標(biāo)優(yōu)化的初始點(diǎn)。

（2）其次，對(duì)三個(gè)點(diǎn)采用和第一層同樣的優(yōu)化方法，得到三個(gè)Parato前沿，并從每個(gè)Parato前沿選取一個(gè)點(diǎn)作為下一層優(yōu)化的初始點(diǎn)。

（3）然后，第三層優(yōu)化采用和第二層優(yōu)化相同的優(yōu)化步驟，得到三個(gè)點(diǎn)。

（4）最后，基于優(yōu)化目標(biāo)綜合考慮，從第三層得到的三個(gè)點(diǎn)選出最終的優(yōu)化方案。

在多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題中，因各目標(biāo)間通常是相互制約的，即一個(gè)目標(biāo)性能改善往往是以犧牲其他目標(biāo)性能為代價(jià)，很難找到能保證所有目標(biāo)性能都能達(dá)到最優(yōu)的完美解；因此，通常所言的最優(yōu)解，其實(shí)是對(duì)多個(gè)目標(biāo)的折中，可采用Parato解集來(lái)表示。

多目標(biāo)問(wèn)題有幾種常用的優(yōu)化算法，比如多目標(biāo)粒子群算法、多目標(biāo)進(jìn)化算法、非支配排序遺傳算法（Nondominated Sorting Genetic Algorithm, NSGA）及其改進(jìn)版NSGAⅡ。其中，NSGAⅡ是一種快速非支配的排序算法，可明顯降低NSGA算法的復(fù)雜度，并引入了精英策略和擁擠度比較算子，能確保非劣最優(yōu)解的均勻分布，因而優(yōu)化效果很好，近年來(lái)得到了廣泛應(yīng)用[26]。為此，本文選取NSGAⅡ算法，對(duì)后續(xù)的LIM多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題進(jìn)行求解。

3.2 優(yōu)化結(jié)果

圖5為第一層優(yōu)化后的結(jié)果，可以看出初始方案的效率和功率因數(shù)分別為0.509 2和0.388 7，同時(shí)Parato曲線的中段存在的兩者數(shù)值都優(yōu)于初始值的點(diǎn)集：效率為0.509 8～0.535 5，功率因數(shù)為0.390 5～0.446 9。為讓選取點(diǎn)相比初始點(diǎn)有一定優(yōu)勢(shì)，并能較好地代表Parato解集，本文根據(jù)功率因數(shù)大小，將較優(yōu)的解集范圍劃為三個(gè)區(qū)間（分別為0.39～0.41, 0.41～0.43,0.43～0.45），同時(shí)選取的三個(gè)點(diǎn)保持一定距離，從而能覆蓋較寬范圍。第一層優(yōu)化后選取的三個(gè)代表點(diǎn)見表5，它們將被作為第二層優(yōu)化的初始點(diǎn)。

圖5 第一層優(yōu)化后的Parato前沿

表5 第一層優(yōu)化結(jié)果

Tab.5 Optimization results in Level 1

圖6為第二層優(yōu)化后的結(jié)果，其中圖6a～圖6c分別為每個(gè)點(diǎn)的Parato解集。由圖6可以看出，LIM的功效最優(yōu)值可從第一層0.229 3提高達(dá)到0.236 9,即通過(guò)第二層優(yōu)化后，LIM的功效水平獲得了進(jìn)一步的提升。采用類似方法，本文分別從三個(gè)Parato前沿上各選一個(gè)性能較優(yōu)的點(diǎn)作為第三層優(yōu)化的初始點(diǎn)，具體值見表6。

表6 第二層優(yōu)化結(jié)果

Tab.6 Optimization results in Level 2

圖7為第三層優(yōu)化后的結(jié)果，可以看到，參數(shù)對(duì)目標(biāo)函數(shù)的影響很小，這也符合之前參數(shù)敏感性分析的結(jié)果。但是隨著初級(jí)軛厚a和次級(jí)軛厚j的增加，電機(jī)軛部磁通密度降低，鐵耗減小，導(dǎo)致電機(jī)的效率和功率因數(shù)同時(shí)單調(diào)增加，即在沒(méi)有其他條件的約束下，軛部越厚，LIM性能越好。因此，在這一層優(yōu)化時(shí)，本文選取LIM的質(zhì)量作為優(yōu)化目標(biāo)，從而約束變量a和j的取值大小；優(yōu)化目標(biāo)變?yōu)樵贚IM質(zhì)量變化不大的前提下，希望能取得較大的效率和功率因數(shù)。考慮到通過(guò)三維Parato前沿去評(píng)估最優(yōu)點(diǎn)不直觀，本文引入功效來(lái)同時(shí)評(píng)估效率和功率因數(shù)，得到的二維Parato前沿分布情況如圖8所示。由圖8可知，因?yàn)長(zhǎng)IM效率和功率因數(shù)的變化較小，導(dǎo)致其功效的變化也較小。此外，三個(gè)點(diǎn)變化趨勢(shì)基本相同，隨著LIM質(zhì)量的增加，其功效的增加逐漸變緩，即LIM質(zhì)量提升到一定程度后，優(yōu)化方案對(duì)電機(jī)性能的提升效果將會(huì)變得較小。此時(shí)，本文選取變化趨勢(shì)開始變緩的三個(gè)點(diǎn)作為第三層的優(yōu)化結(jié)果，具體見表7。可以看出，三個(gè)點(diǎn)的質(zhì)量都與初始方案接近，并且功效都優(yōu)于初始方案：點(diǎn)3和3的方案要優(yōu)于3，其中3的效率比3的高0.038，但功率因數(shù)低0.05。綜合考慮，本文選擇3點(diǎn)作為最終的優(yōu)化方案。

圖7 第三層優(yōu)化后的帕累托前沿三維視圖

直線感應(yīng)電機(jī)優(yōu)化前后主要尺寸見表8，可以看出，優(yōu)化后，增加齒高，降低了初次級(jí)軛部厚度，使磁通密度的分布更加均勻，從而最大程度地利用了鐵心材料，提高了電機(jī)的功率因數(shù)；此外，由于齒槽尺寸的調(diào)制，電負(fù)荷磁的配比更加均勻，從而提高了電機(jī)的功率因數(shù)。

圖8 第三層優(yōu)化后的帕累托前沿二維視圖

表7 第三層優(yōu)化結(jié)果

Tab.7 Optimization results in Level 3

表8 優(yōu)化前后主要尺寸

Tab.8 Main parameters before and after optimizition

4 仿真與實(shí)驗(yàn)

4.1 仿真分析

圖9為在Ansoft Maxwell軟件里搭建的LIM有限元分析模型。有限元模型采用外電路供電，該外電路為三相兩電平電壓型逆變器；和實(shí)際情況相同，該逆變器經(jīng)過(guò)調(diào)制輸出PWM波，含有豐富的諧波成分。該模型和解析模型采用相同的結(jié)構(gòu)參數(shù)，并保持相同的出力、次級(jí)速度和初級(jí)頻率。

圖9 直線感應(yīng)電機(jī)有限元模型

圖10為分別采用解析法和有限元法得到的LIM性能曲線，電機(jī)整個(gè)運(yùn)行過(guò)程中的性能參數(shù)誤差見表9。由圖10和表9可以看出，LIM的推力、效率和內(nèi)功率因數(shù)（反電動(dòng)勢(shì)和電流夾角的余弦）的平均誤差小于6%，特別是額定點(diǎn)的誤差小于1%，說(shuō)明建立的解析模型可以滿足工程應(yīng)用需求。進(jìn)一步，對(duì)高速和低速工況進(jìn)行分析：

（1）高速運(yùn)行時(shí)，通過(guò)有限元模型計(jì)算的LIM反電動(dòng)勢(shì)比解析模型略大；在輸出功率一定時(shí)，采用有限元計(jì)算的電流偏低。相關(guān)原因是本文的二維有限元模型沒(méi)有考慮橫向端部效應(yīng)對(duì)氣隙磁場(chǎng)的削弱作用。

（2）低速運(yùn)行時(shí)，解析法得到的電流比有限元仿真結(jié)果偏小；在有功功率不變的情況下，其內(nèi)功率因數(shù)和效率比有限元仿真結(jié)果要大。相關(guān)原因是LIM有限元模型中增加了槽靴，電機(jī)的初級(jí)漏抗增加，在同樣大小氣隙磁場(chǎng)的前提下需要的勵(lì)磁電流增加。

表9 性能參數(shù)誤差

Tab.9 Error analysis of performance indexes

4.2 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

為模擬直線軌道交通用LIM驅(qū)動(dòng)性能，本文研制了3kW弧型感應(yīng)電機(jī)，如圖11所示：直徑1.25 m的轉(zhuǎn)子作為次級(jí)運(yùn)行，可被近似看做直線運(yùn)動(dòng)；開斷的弧形定子可以合理模擬LIM特有的半填充槽和邊端效應(yīng)。該弧型感應(yīng)電機(jī)（Arc Induction Motor, AIM）充分保留了LIM的特點(diǎn)，因此可認(rèn)為兩者等效。由圖11可知，LIM模擬測(cè)試平臺(tái)由電壓源逆變器供電，負(fù)載永磁同步電機(jī)通過(guò)齒輪箱連接弧形感應(yīng)電機(jī)的機(jī)械軸。模擬平臺(tái)的輸入功率由功率分析儀測(cè)量，輸出功率由轉(zhuǎn)矩傳感器獲得。

圖11 LIM模擬平臺(tái)

圖12為電機(jī)在相同工況下，不同開關(guān)頻率下的實(shí)測(cè)相電流波形。可以看出，隨著開關(guān)頻率的降低，電流波形的毛刺和不對(duì)稱性增加，諧波含量增多。

圖12 不同開關(guān)頻率下的相電流波形

圖13和圖14分別為恒流恒頻和恒壓恒頻工況下的LIM推力曲線，其中虛線為解析法結(jié)果，實(shí)線為實(shí)驗(yàn)測(cè)量結(jié)果。通過(guò)兩幅圖看出，解析法和實(shí)驗(yàn)測(cè)量結(jié)果基本吻合。當(dāng)電源頻率從20Hz增加到50Hz時(shí)，因?yàn)長(zhǎng)IM的邊端效應(yīng)增加，LIM的最大推力逐步被削弱。

圖13 恒流恒頻下計(jì)算和測(cè)量推力

圖14 恒壓恒頻下計(jì)算和測(cè)量推力

不同開關(guān)頻率時(shí)，基于不考慮諧波影響的解析法計(jì)算得到的損耗與實(shí)驗(yàn)測(cè)量的損耗隨負(fù)載變化的曲線如圖15所示。從圖15中可以看出，隨著開關(guān)頻率的降低，調(diào)制比減小，諧波對(duì)LIM性能的影響增大，導(dǎo)致解析計(jì)算與實(shí)驗(yàn)測(cè)量的誤差逐漸增大。當(dāng)開關(guān)頻率從2.5kHz降低到500Hz時(shí)，平均誤差從2%增加到16%。因此，當(dāng)開關(guān)頻率較低時(shí)，不考慮諧波影響的解析法難以滿足要求。

圖15c給出開關(guān)頻率為500Hz，考慮諧波和不考慮諧波影響的解析法與實(shí)驗(yàn)測(cè)量的損耗。考慮諧波影響后，計(jì)算損耗的平均誤差由16%減小到5%。這表明，采用本文提出的諧波模型能更準(zhǔn)確地分析LIM的性能。誤差的主要原因在于，為簡(jiǎn)化分析過(guò)程，本文計(jì)算逆變器諧波損耗時(shí)只考慮了主要諧波成分，而忽略了其他階次的影響。整體而言，相關(guān)實(shí)驗(yàn)結(jié)果和仿真分析基本吻合，驗(yàn)證了本文諧波等效電路的合理性，也證明了多目標(biāo)優(yōu)化方案的可靠性。

圖15 不同開關(guān)頻率下的計(jì)算損耗和實(shí)驗(yàn)測(cè)量損耗

5 結(jié)論

本文提出了一種考慮逆變器諧波影響的LIM多層次多目標(biāo)優(yōu)化方法。論文通過(guò)推導(dǎo)求得LIM諧波等效電路，并根據(jù)軌道交通應(yīng)用需求建立多目標(biāo)優(yōu)化函數(shù)，引入相關(guān)系數(shù)和方差對(duì)LIM參數(shù)敏感性進(jìn)行深入分析，并將單層優(yōu)化問(wèn)題轉(zhuǎn)換為多層優(yōu)化問(wèn)題。優(yōu)化過(guò)程及結(jié)果表明：相對(duì)原始方案，優(yōu)化后的LIM在質(zhì)量不變的前提下，效率提升約5.0%，功率因數(shù)提升約12.7%。相關(guān)仿真分析和實(shí)驗(yàn)測(cè)試與對(duì)應(yīng)的解析分析結(jié)果基本一致，充分說(shuō)明了諧波模型的準(zhǔn)確性和優(yōu)化方案的可靠性。

[1] 龍遐令. 直線感應(yīng)電動(dòng)機(jī)的理論和電磁設(shè)計(jì)方法[M]. 北京: 科學(xué)出版社, 2006.

[2] Boldea I. Linear electric machines, drives, and MAGLEVs handbook[M]. Boca Raton: CRC Press, 2013.

[3] Xu Wei, Islam R, Pucci M. Advanced linear machines and drive systems [M]. Berlin: Springer Verlag, 2019.

[4] Xu Wei, Zhu Jianguo, Zhang Yongchang, et al. Equivalent circuits for single-sided linear induction motors[J]. IEEE Transactions on Industry Applications, 2010, 46(6): 2410-2423.

[5] Boldea I, Xu Wei, Pucci M. Linear electric machines, drives and MAGLEVs: an overview[J]. IEEE Transa-ctions on Industrial Electronics, 2018, 65(9): 7504-7515.

[6] 徐偉, 肖新宇, 董定昊, 等. 直線感應(yīng)電機(jī)效率優(yōu)化控制技術(shù)綜述[J]. 電工技術(shù)學(xué)報(bào), 2021, 36(5): 902-915, 934.

Xu Wei, Xiao Xinyu, Dong Dinghao, et al. Review on efficiency optimization control strategies of linear induction machines[J]. Transactions of China Electrotechnical Society, 2021, 36(5): 902-915, 934.

[7] Isfahani A, Ebrahimi B, Lesani H. Design optimization of a low-speed single-sided linear induction motor for improved efficiency and power factor[J]. IEEE Transactions on Magnetics, 2008, 44(2): 266-272.

[8] Shiri A, Shoulaie A. Design optimization and analysis of single-sided linear induction motor, considering all phenomena[J]. IEEE Transactions on Energy Conversion, 2012, 27(2): 516-525.

[9] Ravanji M, Nasiri-Gheidari Z. Design optimization of a ladder secondary single-sided linear induction motor for improved performance[J]. IEEE Transactions on Energy Conversion, 2015, 30(4): 1595-1603.

[10] Lu Qinfen, Li Longxiang, Zhan Jiawen, et al. Design optimization and performance investigation of novel linear induction motors with two kinds of secondaries[J]. IEEE Transactions on Industry Applications, 2019, 55(6): 5830-5842.

[11] 羅俊, 寇寶泉, 楊小寶. 雙交替極橫向磁通直線電機(jī)的優(yōu)化與設(shè)計(jì)[J]. 電工技術(shù)學(xué)報(bào), 2020, 35(5): 991-1000.

Luo Jun, Kou Baoquan, Yang Xiaobao. Optimization and design of dual-consequent-pole transverse flux linear machine[J]. Transactions of China Electrote-chnical Society, 2020, 35(5): 991-1000.

[12] Ullah W, Khan F, Umair M. Multi-objective optimization of high torque density segmented PM consequent pole flux switching machine with flux bridge[J]. CES Transactions on Electrical Machines and Systems, 2021, 5(1): 30-40.

[13] Xu Wei, Hu Dong, Lei Gang, et al. System-level efficiency optimization of a linear induction motor drive system[J]. CES Transactions on Electrical Machines and Systems, 2019, 3(3): 285-291.

[14] Xu Wei, Xiao Xinyu, Du Guanghui, et al. Comprehensive efficiency optimization of linear induction motors for urban transit[J]. IEEE Transactions on Vehicular Technology, 2020, 69(1): 131-139.

[15] Lee B, Kim K, Hong J, et al. Optimum shape design of single-sided linear induction motors using response surface methodology and finite-element method[J]. IEEE Transactions on Magnetics, 2011, 47(10): 3657-3660.

[16] Zhang Shuangshuang, Zhang Wei, Wang Rui, et al. Optimization design of halbach permanent magnet motor based on multi-objective sensitivity[J]. CES Transactions on Electrical Machines and Systems, 2020, 4(1): 20-26.

[17] 李祥林, 李金陽(yáng), 楊光勇, 等. 電勵(lì)磁雙定子場(chǎng)調(diào)制電機(jī)的多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計(jì)分析[J]. 電工技術(shù)學(xué)報(bào), 2020, 35(5): 972-982.

Li Xianglin, Li Jinyang, Yang Guangyong, et al. Multi-objective optimization analysis of electric-excitation double-stator field-modulated machine[J]. Transactions of China Electrotechnical Society, 2020, 35(5): 972-982.

[18] 李雄松, 崔鶴松, 胡純福, 等. 平板型永磁直線同步電機(jī)推力特性的優(yōu)化設(shè)計(jì)[J]. 電工技術(shù)學(xué)報(bào), 2021, 36(5): 916-923.

Li Xiongsong, Cui Hesong, Hu Chunfu, et al. Optimal design of thrust characteristics of flat-type permanent magnet linear synchronous motor[J]. Transactions of China Electrotechnical Society, 2021, 36(5): 916-923.

[19] 趙玫, 于帥, 鄒海林, 等. 聚磁式橫向磁通永磁直線電機(jī)的多目標(biāo)優(yōu)化[J]. 電工技術(shù)學(xué)報(bào), 2021, 36(17): 3730-3740.

Zhao Mei, Yu Shuai, Zou Hailin, et al. Multi-objective optimization of transverse flux permanent magnet linear machine with the concentrated flux mover[J]. Transactions of China Electrotechnical Society, 2021, 36(17): 3730-3740.

[20] 孔令星, 肖嵩, 郭小舟. 基于Kriging代理模型的直線感應(yīng)電機(jī)多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計(jì)[J]. 微電機(jī), 2018, 51(7): 12-15.

Kong Lingxing, Xiao Song, Guo Xiaozhou. Multiobjective optimum design of linear induction motor using kriging surrogate model[J]. Micromotors, 2018, 51(7): 12-15.

[21] 宮金林, 王秀和. 基于多目標(biāo)有效全局優(yōu)化算法的直線感應(yīng)電動(dòng)機(jī)優(yōu)化設(shè)計(jì)[J]. 電工技術(shù)學(xué)報(bào), 2015, 30(24): 32-37.

Gong Jinglin, Wang Xiuhe. Optimal design of a linear induction motor using multi-objective efficient global optimization[J]. Transactions of China Electrotechnical Society, 2015, 30(24): 32-37.

[22] 劉國(guó)海, 王艷陽(yáng), 陳前. 非對(duì)稱V型內(nèi)置式永磁同步電機(jī)的多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計(jì)[J]. 電工技術(shù)學(xué)報(bào), 2018, 33(增刊2): 385-393.

Liu Guohai, Wang Yanyang, Chen Qian. Multi-objective optimization of an asymmetric V-shaped interior permanent magnet synchronous motor[J]. Transactions of the China Electrotechnical Society, 2018, 33(S2): 385-393.

[23] Zhu Xiaoyong, Xiang Zixuan, Quan Li, et al. Multimode optimization design methodology for a flux-controllable stator permanent magnet memory motor considering driving cycles[J]. IEEE Transactions on Industrial Electronics, 2018, 65(7): 5353-5366.

[24] Sun Xiaodong, Shi Zhou, Lei Gang, et al. Multi-objective design optimization of an IPMSM based on multilevel strategy[J]. IEEE Transactions on Industrial Electronics, 2021, 68(1): 139-148.

[25] Gieras J. Linear induction drives[M]. Oxford: Clarendon Press, 1994.

[26] Deb K, Pratap A, Agarwal S, et al. A fast and elitist multiobjective genetic algorithm: NSGA-Ⅱ[J]. IEEE Transactions on Evolutionary Computation, 2002, 6(2): 182-197.

Multi-Level Multi-Objective Optimization Algorithm for Linear Induction Motor Applied to Urban Transit Considering Converter Hamonics

Xu Wei1Xiao Xinyu1Dong Dinghao1Tang Yirong1Shangguang Yongdao1Huang Shoudao2Gao Jian2

（1. State Key Laboratory of Advanced Electromagnetic Engineering and Technology Huazhong University of Science and Technology Wuhan 430074 China 2. College of Electrical and Information Engineering Hunan University Changsha 410082 China）

Due to the inherent large air gap, end effect and inverter harmonics，the linear induction motor (LIM) applied in rail transit has great difficulty to obtain high efficiency and power factor. In order to overcome related problems, a multi-level and multi-objective optimization method considering the influence of inverter harmonics is proposed in this paper. First of all, based on the traditional fundamental equivalent circuit, the harmonic analysis model of the LIM considering the influence of converter is established, and the analytical expression of the optimization objective is obtained. Then, through the sensitivity analysis of the motor parameters, seven main parameters are identified and used as subsequent optimization variables for the LIM drive. Furthermore, in order to reduce the optimization time and improve the optimization effect, the primary and secondary variables that affect the motor performance are found through Pearson coefficient correlation analysis and variance analysis, so that the single-level optimization problem is transformed into a multi-level optimization problem. Comprehensive simulation and experimental results have shown that the LIM based on the proposed optimization method in this paper can improve the efficiency and power factor by about 5.0% and 12.7%, respectively.

Linear induction motor (LIM), harmonics equivalent, multi-level optimization, multi-objective optimization, urban transit

10.19595/j.cnki.1000-6753.tces.211407

TM359.4

國(guó)家自然科學(xué)基金（51877093）、國(guó)家重點(diǎn)研發(fā)計(jì)劃金磚國(guó)際合作重點(diǎn)項(xiàng)目（2018YFE0100200）和湖北省重大科技創(chuàng)新項(xiàng)目（2019AAA026）資助。

2021-09-05

2021-10-14

徐 偉 男，1980年生，教授，博士生導(dǎo)師，研究方向?yàn)橹本€電機(jī)設(shè)計(jì)及控制。E-mail：weixu@hust.edu.com（通信作者）

肖新宇 男，1994年生，博士，研究方向?yàn)橹本€電機(jī)設(shè)計(jì)及控制。E-mail：xinyuxiao@hust.edu.cn

（編輯 郭麗軍）