電磁感應電路在不同慣性系中消耗的電功率

汪金花 李普年

（江蘇省邳州市運河中學，江蘇 邳州 221300）

2007年高考上海卷和2017年高考江蘇卷中，均出現了由于磁場區域運動產生的電磁感應問題，試題（兩次高考題目相似）中關于電路消耗的電功率，很值得深入分析和思考.

1 高考真題回放

例1.（2007年高考上海卷）如圖1所示，光滑的平行長直金屬導軌置于水平面內，間距為L、導軌左端接有阻值為R的電阻，質量為m的導體棒垂直跨接在導軌上.導軌和導體棒的電阻均不計，且接觸良好.在導軌平面上有一矩形區域內存在著豎直向下的勻強磁場，磁感應強度大小為B.開始時，導體棒靜止于磁場區域的右端，當磁場（區域）以速度v1勻速向右移動時，導體棒隨之開始運動，同時受到水平向左、大小為f的恒定阻力，并很快達到穩定速度，此時導體棒仍處于磁場區域內.

圖1

（1）求導體棒所達到的恒定速度v2；

（2）為使導體棒能隨磁場運動，阻力最大不能超過多少？

（3）導體棒以恒定速度運動時，單位時間內克服阻力所做的功和電路消耗的電功率各為多大？

顯然，題設中磁場區域和導體棒運動的速度是以固定導軌的地面為參考系的，但題目第（3）問中電路消耗的電功率問題，并沒有明確指出在哪個參考系中計算.那么，電磁感應電路在不同慣性系中消耗的電功率一樣嗎？

2 電磁感應回路總電動勢大小與參考系無關

由于題目導體棒所在處磁場的磁感應強度B不變，無論是地面慣性系K，還是產生磁場的“源”（磁體或載流線圈）為參考系K′，經過時間Δt，穿過回路的磁通量的有效面積均減小ΔS＝L（v1－v2）Δt，應用法拉第電磁感應定律就能簡潔地得出回路總電動勢E＝BL（v1－v2），即題目回路總電動勢與參考系無關.

該題條件下，回路中究竟只有動生電動勢？還是動生電動勢和感生電動勢都存在？以及是否存在反電動勢呢？下面的深入研究發現，這些問題其實跟觀察者所處的參考系有關.

3 電磁感應電路消耗的電功率與參考系有關

3.1 以固定導軌的地面為參考系K中分析

由于題設中沒有明確指出參考系，一般默認是地面參考系.在K系的觀察者觀測到的不是靜磁場，而是運動的磁場產生的電磁場；在產生磁場的“源”（磁體或載流線圈）為K′系的觀察者觀測到的只是靜磁場.如圖2所示，由電磁場變換公式，K系和K′系中的電磁場存在以下變換關系［1］

圖2 不同參考系中的電磁場變換

K′系 中：而題目中磁場的運動速度v＝v1遠小于真空中的光速c，則洛倫茲變換膨脹因子γ＝因此K系中的觀察者認為，同時存在沿z軸正方向的電場Ez＝v1B和沿y軸負方向的磁場By＝－B.

因此，觀察者在K系中觀測，圖1中導體棒中的自由電子受到的非靜電力是沿棒向上的感生電場力eEz＝ev1B和沿棒向下的洛倫茲力f洛＝ev2B的矢量和，即F非靜電力＝eEz－ev2B，由電動勢的定義得回路總電動勢

由（1）式中非靜電力起源的認識可知，在K系的觀察者觀測到的回路總電動勢有兩部分組成：一個是自由電子所受的沿棒向上的非靜電力（感生電場力eEz）產生的感生電動勢E1＝BLv1，其方向在圖1中沿導體棒向下（與電路中電流方向一致，體現了導體棒的“發電機”角色）；另一個是自由電子所受的沿棒向下的非靜電力（洛倫茲力ev2B）產生的動生電動勢E2＝BLv2，其方向在圖1中沿棒向上（與電路中的電流方向相反，是反電動勢，體現了導體棒的“電動機”角色）.回路總電動勢是感生電動勢E1和動生電動勢E2（這兩個電動勢方向相反）的差，即總電動勢E＝E1－E2＝BL（v1－v2）.因此，圖1回路的等效電路如圖3所示.

圖3 K系中的等效電路

由圖3可知，K系的觀察者觀測到的是：電源E1提供電能，電源E2和電阻R均消耗電能，則K系中電路消耗的電功率為

回路電流

由導體棒的平衡條件F安＝BIL＝f及（3）式，易得導體棒的恒定速度為

由（1）－（4）式得，K系中電路消耗的電功率為

3.2 以產生磁場的“源”（磁體或載流線圈）為參考系K′中分析

在K′系的觀察者觀測到的只是靜磁場，圖1的導體棒相對于磁源向左以速度v相對＝v1－v2運動，導體棒中隨棒運動的自由電子受到沿棒向上方向的洛倫茲力f洛＝eB（v1－v2），f洛是產生動生電動勢的非靜電力，即F非靜電力＝f洛，電路中只存在動生電動勢，由電動勢的定義得回路總電動勢

K系和K′系中根據電動勢定義分別計算出的回路總電動勢（6）式和（1）式數值相等（但非靜電力的起源不同），與前面用法拉第電磁感應定律計算的回路總電動勢一致，又一次證明了回路總電動勢與參考系無關.

由于K′系的觀察者只觀測到一個動生電動勢，其方向與電路中電流方向一致，因此該觀察者認為導體棒只是一個提供電能的發電機，圖1回路的等效電路如圖4所示.顯然，K系和K′系中圖1回路的等效電路圖3和圖4明顯不一樣.

圖4 K′系中的等效電路

根據等效電路圖4，K′系中電路消耗的電功率為

顯然，K系和K′系中分別計算出的電路消耗的電功率（5）式與（7）式不同.這表明：電磁感應電路在不同慣性系中消耗的電功率不同.

4 文獻中常見解析的參考系是什么

關于題目第（3）問中電路消耗的電功率，文獻中有以下3種常見的解析.

回路感應電動勢E＝BL（v1－v2），回路感應電流導體棒所受磁場的安培力F安＝ILB＝

當導體棒的速度恒定時有F安＝f，可得v2＝

方法1：當導體棒的速度達到恒定速度v2時，電路消耗的電功率［2］

方法2：克服安培力做功的功率是相對于磁場靜止的觀察者的功率，導體棒相對于磁場的速度大小v＝（v1－v2），則電路消耗的電功率［3－4］

方法3：在導體棒以恒定速度運動的過程中，安培力對導體棒做正功W1＝F安v2t，安培力的反作用力對磁場做負功W2＝－F安v1t.這個發電系統產生的電能就是安培力和安培力的反作用力分別對導體棒和磁場系統所做功的總功的絕對值（類似于一對相互作用的摩擦力的總功的絕對值是摩擦生熱的量度）.所以電路消耗的電功率［5］

這3種方法的結果相同，且與當年高考參考答案的結果一致.對比上述K系和K′系中的分析可知，文獻常見解析的上述3種方法計算的結果，應該是以產生磁場的“源”（磁體或載流線圈）為參考系K′中的電路消耗的電功率.

5 結束語

綜上所述，在宏觀低速的條件下，電磁感應回路的總電動勢與參考系無關.但電磁感應電路在不同慣性系中消耗的電功率不同，這是由于不同慣性系中的觀察者觀測到的場不同，因此不同參考系中電動勢的本質非靜電力的起源不同、回路中的等效電源不同、等效電路不同導致的.

由于該題題設中沒有明確指出參考系，一般默認是地面參考系，因此該題第（3）問中電路消耗的電功率的正確結果應該是地面參考系中計算的P電＝fv1.而高考參考答案和文獻［2－5］計算出的電路消耗的電功率是以產生磁場的“源”（磁體或載流線圈）為參考系時電路消耗的功率.