運用數學實驗提升數學學科核心素養的案例研究

王錦熙

(廣東省珠海市北京師范大學(珠海)附屬高級中學 519000)

2017年頒布的《普通高中數學課程標準》(2020年修訂)提出在高中階段，要在數學抽象、邏輯推理、直觀想象、數學建模、數據分析、數學運算這六方面培養學生的數學學科核心素養.如何在高中數學課堂教學過程中幫助學生提升這些方面的學科核心素養，是廣大高中數學教師一直面臨的問題，也是一直在積極思索、期待解決的問題.教師引領學生有效開展數學實驗，通過學生動手實驗操作、利用信息技術開展數學實驗，可以提升高中數學課堂的教學效果，提升學生的數學核心素養.

1 運用數學實驗提升數學抽象能力

學生剛步入高中，就要進入函數部分的學習，而對于函數概念和函數性質的理解，許多學生都會遇到不同程度的困難.這其實就是學生的數學抽象能力還需要提升.數學抽象能力的提升沒有一步到位的方法，我們可以利用數學實驗幫助學生提高數學抽象思維的能力，促進學生對于函數概念和函數性質的理解和掌握.

學生在學習雙曲線的時候會感覺到抽象，學習過程中有些吃力.教師可以借助動手操作的數學實驗，讓學生經歷動手畫出雙曲線，加深對雙曲線概念的理解.可以這樣設計該數學實驗的具體操作步驟：

準備好細繩、鐵環、筆、白紙，同桌的兩位同學相互配合.

(1)準備一長一短兩根細繩，將兩繩其中一端打結；并將兩根細繩均穿入鐵環；

(2)在紙上取兩定點F1、F2，并將兩繩的另一端點分別固定在這兩點；

(3)把筆尖放在鐵環處，拉緊細繩，緩緩移動筆尖，隨著兩繩拉開或閉攏畫出一條軌跡；

(4)交換兩繩端點的位置，依照上述步驟畫出另一條軌跡.

學生在移動筆尖，親自動手畫出雙曲線的過程中體會雙曲線的定義.教師還可以指導學生移動F1、F2的位置，動手實驗畫出相應的軌跡，體會定義中0<2a<|F1F2|這個條件的限制.

2 運用數學實驗提升邏輯推理的能力

通過高中數學的學習，可以提升學生的邏輯推理能力，掌握邏輯推理的形式和方法，可以有邏輯有條理地分析問題、解決問題.在教學中，可以通過具體的數學實驗，由特殊到一般，讓學生思考、總結出一般化的邏輯規律.

在研究函數y=Asin(ωx+φ)的圖象時，從函數圖象的角度出發，討論參數變化時對函圖象的影響，探究圖象變換的實質和內在規律.這里以探究參數ω(ω>0)對y=sin(ωx)的圖象的影響為例進行說明.

(1)當ω=2時，探究y=sinx圖象和y=sin2x圖象間的關系.

問題1：從整體上看，y=sinx與y=sin2x圖象有什么區別和聯系？

根據函數圖象，充分考慮問題的難易梯度，逐步引領學生進行探究和思考，通過預設的問題激發學生積極思考，提升學生的邏輯思維能力.利用數學軟件GeoGebra可以動態分析任意點的變化規律，進而對所有點進行分析，提升學生對三角函數伸縮變換的理解.通過數學實驗進行具體點的分析后，再進行嚴格的邏輯證明，從特殊到一般，提升學生的邏輯推理能力.

3 運用數學實驗提升直觀想象能力

直觀想象能力是學習數學過程中一直在慢慢培養的能力.高中學生需要掌握利用幾何圖形刻畫問題，利用幾何圖形來幫助解決問題.學生利用數形結合的數學思想來分析、解決問題，這時候就需要教師和學生進行數學實驗，畫出幾何圖形，將抽象問題直觀化.

4 運用數學實驗提升數學建模能力

數學建模是指學生在學習和生活中能夠發現和提出問題，用數學角度去思考和分析問題，并把現實問題表達為數學問題，建立數學模型，用數學的方法去解決問題.在高中數學教學中，如何來培養學生的數學建模能力？教師帶領學生經歷完整的數學建模過程，通過完整的數學實驗過程，讓學生感知發現和提出問題、建立和求解模型、檢驗和改進模型，分析和解決問題.

這里以生活中的非常常見的實例來展開數學建模的教學.例如，某位教師通過在網絡購物平臺進行手機品牌和性能的對比之后，計劃購買某品牌價格為2980元的一款手機.如果選擇某銀行信用卡分期付款，等額本息還款方式，按照12期分期還款，每期月利率為0.6%，也可以選擇一次性付款和利用信用卡分期付款，請幫忙給該教師合理的建議.

要解決上述問題，首先教師需要引導學生提前了解何為等額本息還款.第二步，2980元按照12期分期還款，每期月利率為0.6%，那么每月利息為2980×0.6%=17.88元，每月需還本金2980/12=248.33元，每月需還款金額為17.88+248.33=266.21元.12期總共還款金額為266.21×12=3194.52元.第三步，結合計算結果，如果近期經濟狀況比較寬裕，推薦一次性付款方式，不需要額外支出利息214.52元.如果近期經濟狀況緊張，推薦信用卡分期付款方式，可以減輕短期的資金壓力.

5 運用數學實驗提升數據分析能力

數據分析的能力就是要能夠在現實的生產和生活中收集和整理數據，并加以理解，利用數學方法分析處理數據，得到相關結論，最終運用到生產和生活中去.數據分析能力是現在大數據時代的重要能力，也是科學研究、科學技術、工程建設新等生產和生活各個方面都可能需要的能力.2017年頒布的《普通高中數學課程標準》把數據分析作為高中數學六大學科核心素養之一，也充分說明了數據分析能力培養的重要性.如何在教學過程中培養學生的數據分析能力？這里介紹一個利用數學實驗提升數據分析能力的案例來進行說明.

在學習《回歸分析的基本思想及其初步應用》這部分知識時，教師可以好好利用這個模塊來培養學生的數據分析能力，特別是帶領學生利用身邊的學習和生活中的實例進行數據分析處理.例如，在大多數人的觀念中，都有一個看法就是一般數學成績好的學生，物理也不錯.那么事實上，這個看法對不對呢？一個高中學生的物理成績多大程度上可以由數學成績解釋呢？第一步，教師可以帶領學生收集和整理某次考試20名學生的數學成績和物理成績.得到如下表的數據.

第二步，利用MicrosoftOffice的Excel表格畫出散點圖，見左下圖.從圖中可以看出學生的物理成績與數學成績近似線性相關.

第三步，添加趨勢線，選擇線性趨勢線，并勾選顯示公式和顯示R平方值，得到右上圖.從圖中可以看出，并求得物理成績與數學成績的線性回歸方程為y=0.8822x-29.181，物理成績與數學成績正相關，數學成績提高一分，物理成績可能提高0.8822分.物理成績大約70.56%可以由數學成績解釋.散點圖中有一個點(109,45)離得較遠，通過查驗，數據并沒有錯誤.出現這種情況的原因可能是該次考試的偶然情況，也可能是該學生雖然數學掌握較好，但在物理學習上有待提高.

在實際教學的過程中，數學教師需要充分挖掘教材，有效利用學生學習和生活中的實例，有效開展數學實驗教學.通過數學實驗教學，改進課堂教學效果，提升學生的數學能力學科核心素養.