高中數學建模活動和數學探究活動的實踐路徑

■天津市第三十二中學 劉 洋

■天津市河東區教師發展中心 劉春紅

（吳淑媛）

數學建模是對現實問題進行數學抽象，用數學語言表達問題，用數學知識與方法構建模型解決問題的過程。數學探究是圍繞具體數學問題開展自主探究、合作研究，并最終解決數學問題的過程。高中數學建模活動和數學探究活動與義務教育階段的“綜合與實踐”一脈相承，“綜合與實踐”作為一種學習活動,同樣以具體的問題為載體，需要學生主動參與和小組協作，將所學的數學知識進行綜合運用。而高中數學建模活動和數學探究活動在此基礎上提升了學生自主研究的深度與廣度，為學生大學階段的科學研究奠定實踐基礎。

高中數學建模活動和數學探究活動不同于一般的課堂教學，在學習設計、實施、評價等方面均存在困難。從學習設計角度看，兩種活動不同于傳統的教學形式，更突出學生的主體地位，必須采用小組合作學習、探究學習，教師要做好充足的教學準備，實現學生的個性化學習。從實施過程角度看，既可以在實驗室、閱覽室、圖書館等功能教室進行學習活動，也可以在校園或校外進行考察、調研、實踐等活動，教師對學習過程的把控要求極高。從學習評價的角度看，兩種活動的成果均為研究報告或論文，內容沒有標準答案，鼓勵學生的奇思妙想，對評價者有較高的專業要求和科研水平要求。評價中既要有學習成果的具體評價，也要有學習的過程評價，要鼓勵學生反思實踐過程，提升科研實踐能力。基于上述三點，教師需對教學環境、學習過程、評價方式進行整體設計，基于深度學習理論，在不同的學習階段進行不同層次的教學實踐，實現數學核心素養的螺旋式上升。

一、數學建模與數學探究的實踐原則

（一）整體謀劃，進行單元教學設計

數學建模活動與數學探究活動貫穿于高中必修課程、選擇性必修課程和選修課程，學習活動要與學生所學數學知識相結合，作為一種實踐活動課時不可能連續實施，需要教師進行合理的單元教學設計，既可以把內容分解到不同的課時逐步開展，也可以借助學生校本課程的課時集中進行研究突出教學的整體性，做到循序漸進。數學建模和數學探究中的課題研究是高中生較為陌生的實踐模式，不能一蹴而就，需要教師在不同學習階段，針對不同教學內容，逐步培養學生的研究能力和水平。

（二）分步實施，體現深度學習理念

數學建模的選題源于生活實際，數學探究的選題源于重要數學概念，它們對學生而言都具有挑戰性，需要教師精心設計，學生全心投入。研究小組根據選題分析數據、辨析數量關系，利用所學數學符號、概念等知識建立數學模型或進行數學運算和邏輯推理。合作過程中學生需協助、創見、爭論和統籌；對問題的解需要判斷和辨析是否符合生產生活實際，是否具有一般性；對不符合生活實際的解需要適度地調整，甚至可以提出其他不同的方案繼續進行探索和嘗試，以上過程符合深度學習的特征，借鑒深度學習的教學原則恰如其分。

深度學習強調建構創新。建構主義是深度學習的理論來源，建構主義學習理論主張的是教師是學習者學習過程中的輔助者，學習者通過教師的引導、同伴的探討和已有的認知經驗建構新的知識框架。建構主義的三個要素：同化、順應和平衡，具體到教學中，同化指數學建模和數學探究中學習的數學知識要合并整理到已有的數學概念、性質、定理模塊中，完善它的系統性；順應通常是同化的后一個階段，學生對數學建模和數學探究的方式不了解、不熟悉，用已有的學習經驗不能解決問題，這就需要構建新的認知方式，這就是順應；建構主義重點主張學生個體主動發現、主動探究、主動建構，要鼓勵學生敢于突破平衡，充分發揮學生的想象力、創造力，在突破平衡中尋求發展，質疑和批判地看待問題，尋找不平衡的圖式，使思維最大限度地發散，將解決問題的過程變成不斷創新的過程。

（三）貼近生活，發揮學科育人功能

數學建模活動和數學探究活動充分體現出數學的應用價值、文化價值，是滲透數學文化和課程思政教育的重要方式。兩種活動的選題都與數學文化和實際生活緊密聯系，教師應充分挖掘其育人功能，使課堂教學與思政課程同向同行。知識學習強調主流價值引領，教師要提煉課程中蘊涵的文化基因和價值范式以及德育元素，融入理想信念層面的精神指引。

例如，帶領學生到銀行營業廳，引導學生提出與數學知識有關的問題，并利用所學進行解釋和解決。學生一進門就能看到存款利率表，活期、一年期、三年期等，存不同年份就是指數函數問題；不同的用途推薦不同的存款方式就是策略問題——函數求最值；服務收費，不同的金額有不同的標準，就是一個分段函數問題；匯率表，體現了函數對應的概念；匯率變化，體現了函數圖像性質；計算不同年份的平均利率，就是求幾何平均數問題。除了數學問題外，匯率的變化體現了國家經濟發展水平和人民幣在國際的認可度；電子銀行體現了科技的進步和發展，也引出了網絡財產安全的新問題；自助服務系統與數學算法密不可分等。將發現的問題進行深入研究就是一個不錯的數學建模活動，將其與社會發展相結合就是一個好的思政實踐活動。

二、數學建模與數學探究的實施步驟

（一）確立目標，明晰活動價值導向

數學模型就是數學的語言，構建了數學與現實世界的橋梁。數學探究是數學發展的重要研究方式，需要用已有的結論對未知問題的猜想、推理、論證，促進了數學的不斷完善和發展。基于上述認識確立實踐目標如下：

1.經歷數學建模活動、數學探究活動過程，撰寫實踐報告、小論文等成果，利用報告會的形式在一定范圍內進行匯報、交流。

2.邀請校外專家、社會人士、家長等參與評價，通過評價促進學生反思研究過程，熟悉研究方法，形成研究經驗。

3.培養學生有意識地遵循學術規范和堅守誠信底線，在研究過程中體會科學研究的客觀性、驗證性、系統性，初步形成嚴謹作風、探索精神和創造能力，培養學生理性思維、批判質疑、勇于探究等素養。

4.提升學生發數學建模、數學抽象、邏輯推理等數學學科核心素養。

5.將研究報告或小論文及其評價存入學生個人學習檔案，為大學招生提供參考和依據。

（二）合理設計，構建有效活動模式

數學建模活動和數學探究活動基本過程概括為六步：一看、二想、三動、四評、五論、六結。對應三~六個課時，根據不同學情、不同內容、不同學習階段進行適當調整。

1.“一看”，在活動的第一課時，讓學生學習一個數學建模或探究的實例。利用學科興趣小組，拍攝一個由學生演示活動過程的教學視頻，使全班學生對陌生的方法有直觀的印象。教師分析三個重點問題“問題的提出”“研究的主要過程”“基于哪些數學知識”，引導學生確定感興趣的主題，也可由教師提出問題列表，讓學生進行自由選擇。

2.“二想”，交流學生基于情境提出的數學問題。選題是活動的關鍵一步，應有意識地引導學生用數學的眼光觀察世界。確定研究小組（組長1人、活動記錄員1人、實踐主管1或2人）,由組長負責小組協同。教學形式主要是學生介紹選題情況，同學之間進行研究討論，教師進行點評。

3.“三動”，學生分組活動。應重點關注兩個問題，一是實踐報告的運用，實踐報告引導學生分步研究，對內容的填寫要嚴謹，注意科學性。二是小組成員的分工協作。組長負責全程的組織，問題的提出與分析，組織討論如何建立模型，問題的反思等；活動記錄員負責全程的研究記錄，文字整理并填寫表格；實踐主管負責數學建模、參數確定、計算求解等環節。活動既可以在課堂上進行，也可作為課后作業，教師進行跟蹤指導和幫助，保障學生的參與度。

4.“四評”，教師收取實踐報告進行審閱并評價，對學生的完成情況進行點評，回答學生提出的一些問題，同時提出一些新的建議。小組根據教師的建議完善活動記錄，也可以重新進行實踐，最終提交修改的實踐報告。

5.“五論”，即小組展示會。由各組學生介紹研究情況，其他組成員提出疑問，小組成員進行答辯，也可以邀請專家或家長參與展示會。

6.“六結”，教師根據學生的互評打分情況，綜合評定學生的表現。引導學生反思兩種活動的過程、小組的配合情況，初步體會科學研究的一般過程。將學生的研究記錄表納入學生的綜合素質評價檔案。

（三）關注過程，實現預設學習目標

在數學建模活動和數學探究活動的過程中教師發揮至關重要的作用，而作用的方式要做到潤物細無聲，關注學生的實踐過程，提供關鍵支持、恰當指導、適度糾正。

1.完善數學建模活動和數學探究活動的認知結構

（1）結合情境提出合理的數學問題，突出高中數學概念、定理、性質的運用，深刻體會背景和生成過程，合理運用推理。

（2）活動的過程注意每個步驟的嚴謹性，在最大限度上保證結論的科學性和實用性。

（3）對研究過程不斷反思和調整，并大膽提出設想。

（4）合理地運用研究表格，確保過程清晰準確。

（5）注重團隊配合，在團隊研究中發揮每一名學生的作用，做好溝通和交流。

2.培養學生的數學建模和數學探究的興趣。構建學生感興趣的實際情境，讓學生積極地參與、體驗，提供學生展示運算成果的機會，鼓勵學生不斷創新研究方式，提升學生研究的收獲感。

3.培養學生堅強的意志品質。選擇素材的難度要適合學生的最近發展區，當學生遇到研究困難時及時搭建“腳手架”，幫助學生克服研究困難問題時產生的緊張、膽怯、退縮的心理狀態，有意識地培養學生的意志品質。

（四）注重評價，發揮活動最大功效

活動應該以過程評價為主，教師要為每個學生創造積極參加的環境，以小組評價為主兼顧個人評價。評價應貫穿分析具體情境、發現數學關聯、提出數學問題、構建數學模型、完善數學模型、得到數學結論、說明結論意義的全過程。評價研究論文和報告時要注意提出問題的依據、解決問題的思路、得到結論的意義，遵循學術規范，堅守誠信底線等問題。

三、數學建模與數學探究的實踐策略

1.突出學生主體地位。在具體的實施中讓學生動起來，自己做數學、學數學、用數學。教師要引導學生主動發現、探究、建構，讓學生在活動中能自主地學習知識、分析問題、解決問題，充分發揮想象力、創造力，使思維實現最大限度地發散，使學生真正成為書序建模活動和數學探究活動的主體。

更要引導學生在生活中發現問題，自主研究。比如，以蘇州園林為研究背景，從園林建筑中尋找數學問題。或將建筑的斗拱擬合為函數模型，將其實用性、藝術性用函數方式予以表達；或探尋建筑結構體現的幾何圖形與建筑耐用性、采光性之間的奧秘；或借游客游園時間、容量與預定人數的測定來傳導統計和概率知識等。這些問題的背后不僅反映了中國園林建筑的超然水平及文物保護的成果，還體現了中國古代文明與現代文化傳承與互鑒的文化命題。

2.實現與信息技術的融合。數學建模需為學生提供研究活動的設備，如計算器、實驗設備、統計工具等。但設備是為教學服務的，可以因陋就簡，多種手機軟件可以提供測量、統計、計算、作圖等技術支持；物理實驗室、生物實驗室的很多設備可以為教學提供實操基礎；圖書館和電子閱覽室可以提供資料查詢的場所和工具等。數學探究活動同樣需要數學繪圖軟件的驗證，適當培訓學生運用圖形計算器或代數幾何畫板工具也是必要的。活動中信息技術的深度融合必不可少，數學文化資料的查詢、物體的測量、函數的擬合、處理分析數據等都離不開網絡、圖形計算器、Geogebra畫板、R統計軟件的運用，信息技術為學生的創意插上了翅膀。

3.設計學科整合項目。數學模型與物理、化學、生物、信息技術等學科有千絲萬縷的聯系，在社會、人文、藝術等領域的運用也愈加廣泛，各學科的定量研究都離不開數學。概率與生物遺傳、物理學重心的變化規律探索、信息技術中的算法、社會學中的調查研究、文學作品充分率研究等都可設計為數學建模活動。

四、結語

高中數學建模活動能用數學解決實際生產、生活問題，數學探究活動可發展新的數學問題，它們都促進學生用數學眼光觀察世界，用數學思維思考世界，用數學語言表達世界。教師應在實踐中不斷積累經驗，創新方法，用教學智慧發展學生數學核心素養。