分數階混沌同步及其保密通信應用

李賢麗，朱金元，湯俊杰，溫玉玉，秦顯榮

（東北石油大學物理與電子工程學院，黑龍江大慶 163318）

混沌信號具有對初始值敏感、不可預測、隨機性強等復雜的非線性動力學性質，同時因為混沌的非線性動力學方程、初始條件、系統中的各個參數是確定的并且可以人為設定，所以混沌信號被廣泛地應用在保密通信中[1]。混沌保密通信的前提是實現混沌同步，近些年學者們提出多種混沌同步方法如滑模同步[2]、投影同步[3]、狀態觀測器同步等[4]。但這些同步方法多數適用整數階的混沌同步，該文通過設計合適的控制器來消除誤差系統中的非線性項，可以簡單快速地實現分數階混沌同步，并在混沌同步的基礎上使用混沌掩蓋技術[5]進行保密通信研究。

該文基于分數階EI-Nino 混沌系統，通過設計合適的控制器實現混沌同步。并在混沌同步的基礎上設計了一種混沌掩蓋保密通信方案。該設計的混沌同步速度快速且混沌電路仿真精度較高。并用Matlab 和Multisim 進行仿真，驗證了該設計的有效性和可行性。

1 EI-Nino混沌系統

EI-Nino 混沌系統[6]方程為：

其 中，0 ＜q＜1，x=(x1,x2,x3) 是系統的狀態變量。取參數r=83.6，c=12 和初始值為(-2,3,5)，當q=0.95 時，系統隨參數b變化的分岔圖如圖1 所示。

圖1 EI-Nino系統隨參數b 變化的分岔圖

由圖1 可知，在b∈(5,28) 范圍內，EI-Nino 系統處于混沌狀態。當取參數b=10 時，系統的相圖如圖2 所示。

圖2 b=10 時，EI-Nino系統相圖

由圖2 可知，b=10 時，EI-Nino 系統處于混沌狀態，與圖1 的分析結果相符。因為混沌同步和混沌保密通信研究均需要利用到EI-Nino 系統的混沌狀態，所以在下文的研究中，EI-Nino 混沌系統的參數均選取r=83.6，b=10，c=12，q=0.95。

2 控制器的設計

2.1 反饋線性化同步原理

設分數階混沌系統如下：

其中，0 ＜α＜1，x=(x1,x2,…,xn)T∈Rn是狀態向量，A∈Rn×n為混沌系統線性部分的常數矩陣，f(x)是混沌系統的非線性項。用式（2）系統做驅動系統，響應系統為：

其中，0 ＜α＜1，y=(y1,y2,…,yn)T∈Rn是狀態向量，A∈Rn×n為混沌系統線性部分的常數矩陣，f(y)是混沌系統的非線性項，u=(u1,u2,…,un)T是需要設計的控制器。

令式（3）系統與式（2）系統的狀態誤差為e=y-x，誤差向量e=(e1,e2,…,en)T，通過設計合適的控制器u使

引理1 分數階線性系統如下：

其中，0 ＜α＜1，x=(x1,x2,…,xn)T∈Rn，C∈Rn×n為常數矩陣，如果C的特征值λi滿足條件|arg(λi) |＞πα/2，則式（4）系統的零點是漸進穩定的，即

定理1 設計控制器為：

K∈Rn×n為常數矩陣，如果K能使A-K的特征值λi滿足條件|arg(λi)|＞πα/2，則式（3）系統與式（2）系統漸進同步[7]。

2.2 EI-Nino系統反饋線性化同步

將式（1）作為EI-Nino反饋線性化同步的驅動系統。

響應系統為：

根據定理1，設計控制器，如下：

通過設置參數b的取值，使C的特征根全為負值，由引理1 可知誤差系統式（8）的零點是漸進穩定的。式（1）系統和式（6）系統實現了同步。

2.3 混沌同步數值模擬

在式（1）和（6）中，當參數r=83.6，b=10，c=12和初始值為(-2,3,5)，q=0.95 時，用Matlab 對EI-Nino混沌系統進行同步仿真，如圖3 所示。由圖3 可知，EI-Nino 的各狀態變量可以在很短的時間內達到同步，且同步過程中誤差曲線很平滑，沒有出現多次往返震蕩的情況，該平穩同步過程有利于下文混沌電路的仿真。

圖3 EI-Nino同步誤差曲線

3 保密通信電路設計

3.1 EI-Nino同步電路設計

傳統的混沌電路模塊化搭建[8-10]便捷，但對于分數階混沌系統的仿真效果卻不高，很難達到實驗要求的精度。因此，該設計采用改進的模塊化電路搭建方法[11-12]進行分數階混沌系統的電路搭建[13-14]，所用電子元器件少且仿真精度高。

經過時間尺度變換、微分積分變換、積分方程作標準化處理等操作。根據式（1）搭建EI-Nino 驅動電路，如圖4 所示。根據式（2）搭建EI-Nino 響應電路，如圖5 所示。

圖4 EI-Nino驅動電路

圖5 EI-Nino響應電路

圖4 中各電子元器件參數值如下：R1=100 kΩ，R2=31.897 93 kΩ，R3=31.897 93 kΩ，R6=1 000 kΩ，R7=31.25 kΩ，R8=12.5 kΩ，R11=1 000 kΩ，R12=31.25 kΩ，R13=12.5 kΩ，R4=10 kΩ，R5=10 kΩ，R9=10 kΩ，R10=10 kΩ。圖 5 中，R14=100 kΩ，R15=31.897 93 kΩ，R16=31.897 93 kΩ，R17=1 000 kΩ，R18=31.25 kΩ，R19=12.5 kΩ，R20=1 000 kΩ，R21=31.25 kΩ，R22=12.5 kΩ。根據傳遞函數的計算方法設計出q=0.95 階電路模塊[15-18]，如圖6 所示。圖6 中，R23=75.835 1 MΩ，R24=3.563 7 MΩ，R25=0.036 7 MΩ，C1=0.257 8 μF，C2=0.191 6 μF，C3=0.686 8 μF。

圖6 q=0.95階電路模塊

對圖4 和圖5 所組成的EI-Nino 同步電路的仿真結果如圖7 和圖8 所示。圖7（a）、（b）分別與圖2（a）、（b）進行對比可知該EI-Nino 電路設計的正確性，該電路可以對EI-Nino 混沌系統模型進行有效的模擬。圖8 所示是EI-Nino 同步電路中的驅動變量與對應響應變量的時序圖，在圖8（a）、（b）、（c）中各驅動變量與對應響應變量成斜率為1 的正比例函數關系，說明響應系統電路與驅動系統電路達到了很好的同步狀態。

圖7 EI-Nino驅動電路吸引子相圖

圖8 EI-Nino同步電路時序圖

3.2 加密與解密電路設計

加密與解密模塊電路[19]如圖9 所示，R26=10 kΩ，R27=10 kΩ，R28=10 kΩ，R29=10 kΩ，R30=10 kΩ，R31=10 kΩ，R32=10 kΩ，R33=10 kΩ，R34=10 kΩ。

圖9 加密與解密模塊電路

圖4、圖5、圖6 和圖9 組合成一個完整的混沌保密通信系統。混沌掩蓋的原理是通過驅動-響應的方法使發送端和接收端的混沌信號保持同步，信息信號與混沌信號疊加后的信號具有類似噪聲的形態，因為接收端和發送端的混沌信號事先已經保持同步，所以可以通過接收端信號減去已經同步的混沌信號得到恢復信號，這樣就實現了保密通信的目的。文中原始信號為m，加密后的信號為s=m+x1，恢復信號為m′=s-y1，選取m=sin(t)進行保密通信仿真。圖10 為原始信號，圖11 為加密后的信號，可以看出原始信號得到了很好的掩蓋加密。圖12 為恢復信號，對比圖12 和圖10 可知原始信號得到了很好的恢復，說明該保密通信設計方案的可行性。

圖10 原始信號m

圖11 加密后的信號s

圖12 恢復后的信號m′

4 結論

根據分數階線性系統穩定理論，通過設計控制器使混沌系統的非線性同步誤差系統轉換成線性系統，從而實現分數階混沌系統平穩、快速地同步，通過Matlab 仿真證明同步方法的可行性。

在混動同步的基礎上進行保密通信的混沌電路搭建，并通過Multisim 證明設計的可行性，原始信號得到了很好的掩蓋和恢復。因為分數階混沌系統比整數階混沌系統具有更為復雜的動力學特性，所以該設計的通信安全強度也較整數階保密通信的安全強度高。