基于貝塞爾曲線的雙鋼輪振動壓路機軌跡規劃研究*

趙方熠，高 博，趙睿英，王 欣

(1.長安大學道路施工技術與裝備教育部重點實驗室，陜西 西安 710064；2.西安恒翔控制技術有限公司，陜西 西安 710064)

0 引言

相對于汽車而言，工程機械的作業單一，施工場所人流稀疏，大多沒有交通法規的限制，而且塵土、振動、噪聲及高溫等惡劣環境會影響人的健康和工作質量[1]。這使得無人駕駛與自動作業迅速成為目前工程機械領域的研究熱點。軌跡規劃是壓路機無人駕駛的關鍵技術，Lemaire C等[2]提出了一種壓路機路徑規劃的幾何模型，考慮了壓路機的運動學姿態和動力學約束，避免了執行器達到飽和狀態；呂鎮基等[3]提出了一種相切圓弧軌跡規劃方法，實現了泊車所需的最小車位，并用緩和曲線解決了曲率不連續情況。

本文分析雙鋼輪振動壓路機的碾壓流程和作業要求，對比雙圓弧相切軌跡、等速偏移曲線與正弦曲線疊加軌跡和貝塞爾曲線軌跡的優缺點和適用性，提出一種以曲線的曲率和曲率的變化率為約束，以曲率的最大值和最小值的差值為優化目標，以貝塞爾曲線為換道軌跡的優化換道曲線。

1 雙鋼輪振動壓路機碾壓工作流程

在道路施工中，雙鋼輪振動壓路機通常跟隨瀝青混凝土攤鋪機進行碾壓作業，進行瀝青混凝土的復壓工作。碾壓過程以區域壓實為主，循環往復作業，碾壓工藝相對固定。雙鋼輪振動壓路機的路面碾壓作業流程可表示如圖1所示。假設單臺壓路機負責作業的路面寬度為攤鋪機熨平板的寬度，碾壓遍數為1遍，其中A0～H0分別代表各碾壓道的起始點；A1～H1分別代表各碾壓道的終點；陰影部分代表碾壓相鄰兩道重疊的區域。

待攤鋪機攤鋪到合適距離后，壓路機依次從區域I.1～I.4，然后從區域II.1～II.4進行碾壓作業。

2 雙鋼輪振動壓路機碾壓作業要求

進行瀝青路面壓實時，應嚴格遵守壓路機的操作規程和碾壓作業工藝，保證作業質量達到施工要求。具體要求如下：

1)碾壓過程中，應該使壓路機的驅動輪朝向攤鋪機熨平板一側，即驅動輪靠近新攤鋪的混合料，以減少波紋和斷裂現象；

2)壓路機啟動加速段的加速度平穩，勻速碾壓段速度恒定，停車減速段的減加速度平穩和換道時轉向平穩，保證壓實度均勻和壓實質量良好；

3)相鄰碾壓道之間每次重疊的寬度為dm。

3 雙鋼輪振動壓路機作業軌跡規劃模型

3.1 碾壓路線模型

根據以上作業要求，以碾壓第一區域為目標，建立如圖2所示的碾壓路線模型。壓路機在A點啟動，經過第①前進加速段到達B點，使速度達到碾壓要求的速度v，然后壓路機勻速運行到C點，到達C點時減速，經過第③前進減速段到達D點。接下來，壓路機從D點倒車加速行駛到達C點，使速度達到v，然后壓路機倒著勻速行駛到達B點，從B點處開始減速至出發點A時的速度v=0。第一條道路碾壓完成后，換道至相鄰車道，以A點作為換道的起始點，經過第⑦換道加速段到達E點，不僅滿足換道要求且速度達到v，然后，壓路機按照相同模式將第二條道路完成碾壓。同理，將該區域其余道路依次碾壓。

由此可知，碾壓過程以直線碾壓為主，只有換道時需要走曲線。因此，接下來將以壓路機換道為目標，對其換道曲線進行設計。

3.2 換道模型

假設雙鋼輪振動壓路機的輪寬為D，疊輪寬度為d，則換道寬度L=D-d，換道長度為S。以換道起點為坐標原點建立圖3所示的換道模型。

4 雙鋼輪振動壓路機換道軌跡規劃

由3.2節可知，壓路機的換道軌跡規劃問題可以轉化為S型曲線設計的問題，其中壓路機換道的初始狀態和終端狀態為

(1)

一般使用的S型曲線中，雙圓弧相切曲線換道軌跡的起點和終點處曲率不為0，且兩圓弧相切處曲率不連續；等速偏移曲線疊加正弦曲線軌跡雖然滿足換道軌跡曲率連續，而起點和終點處曲率為0，但不能確保中間段曲線的曲率滿足壓路機轉向所需的曲率范圍。下面利用貝塞爾曲線，設計出適合雙鋼輪振動壓路機的換道軌跡方案。

4.1 貝塞爾曲線的定義

貝塞爾曲線是由PauldeCasteljau在1959年運用deCasteljau算法開發的，由法國工程師PierreBezier在1962年發表，主要用于汽車的主體設計[4]，現在也廣泛應用于動畫制作和智能機器人軌跡規劃等領域。

貝塞爾曲線是一組由控制點作為頂點的多邊形且被多邊形包圍的曲線。在一空間內，有n+1個由Pi(i=0，1，2，…，n)表示的控制點，則這n+1個控制點所形成的貝塞爾曲線方程可表示為：

(2)

其中，u為位置參數；Bi，n(u)為n次Bernstein基函數。對公式(2)求一階和二階導數得：

(3)

(4)

將u=0，1帶入公式(3)、公式(4)，求出兩端點處的導數：

(5)

(6)

(7)

(8)

由參數式給出的任意點曲率公式為：

(9)

其中，τ∈[0，1]為位置參數。將式(5)-式(8)帶入式(9)，求得起點和終點的曲率為：

(10)

(11)

4.2 貝塞爾曲線控制點的計算

根據壓路機的換道模型，設q=[q(1)，q(2)，q(3)，q(4)]。其中，q(1)為x的坐標，q(2)為y的坐標，q(3)為壓路機的航向角；q(4)壓路機作業軌跡的曲率。

設初始狀態為q0=[0，0，0，0]，終點狀態為q0=[S，D-d，0，0]，本文采用七階貝塞爾曲線進行換道模型點對點的軌跡規劃任務，因此需要先確定8個控制點的坐標。

根據起點q0=[0，0，0，0]，可得第一個控制點：

(12)

為滿足起點的航向角約束φ0=0、速度約束v0=0、曲率約束ρ(0)=0，根據公式(5)、公式(10)，可得第二和第三個控制點：

(13)

(14)

同理，對于終點q0=[S，D-d，0，0]，可得第六、七、八個控制點坐標：

(15)

(16)

(17)

其中，vg為終點速度。

以上完成了滿足起點和終點約束的控制點設置，但中間曲線狀態還未能控制，選擇4個自由變量來描述控制中間曲線狀態的第四和第五個控制點，則：

(18)

(19)

綜上所述，通過確定P0、P1、P2、P5、P6、P7滿足壓路機起點位姿和終點位姿，然后通過控制4個自由變量確定中間曲線的走勢，可以得到一條唯一確定的貝塞爾曲線。

4.3 貝塞爾曲線的優化

壓路機的實際轉向過程受自身結構(最小轉向半徑)、系統響應(轉向速度)和作業要求(曲率連續)等條件影響。以這些條件為約束，通過優化的方法，求解出滿足壓路機行走性能的曲線。

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1)約束條件的建立

換道軌跡應滿足壓路機的最小轉向半徑，且轉向速度不能大于最大轉向速度。所以，規劃軌跡的曲率應小于最小轉向半徑所對應的曲率，曲率的變化率小于最大轉向速度下的曲率變化率。因此，對曲率及其變化率建立約束條件：

(20)

d1、d2、d3和d4需滿足：

(21)

2)優化目標的建立

根據以上參數化的方法，最終建立了使用d1、d2、d3、d4確定滿足位置約束和姿態約束的軌跡。本文使用最優化的方法求解出滿足約束的4個參數，采用的優化目標為[5]：

J(q0，qf，d1，d2，d3，d4)=ρmax(τ1)-ρmax(τ2) ，

(22)

其中，τ1和τ2是分別使曲線曲率最大和最小的參數。曲率對應著壓路機的航向角，因此優化目標的含義是使曲線曲率即壓路機航向角的變化量最小。

3)曲線仿真

根據以上分析，該問題屬于有約束條件下的最小化問題。采用MATLAB優化工具箱中的fmincon優化函數對該問題進行優化，則該問題可以描述為：

Minimize：J(q0，qf，d1，d2，d3，d4)

(23)

以YZC3雙鋼輪振動壓路機為研究對象，選取S=5 m，D=1.2 m，d=0.6 m和Rmin=4.8 m，則q0=[0，0，0，0]，qf=[5，0.6，0，0]。仿真得到基于貝塞爾曲線的換道軌跡如圖4所示，航向角變化如圖5所示，曲線的曲率變化如圖6所示。

由圖4、圖5、圖6可知，規劃軌跡連續；航向角變化連續，且初始和終了時刻航向角為0；軌跡曲率連續，曲率最大沒有超過0.2，且在初始和終點位置曲率為0。綜合以上，設計所得軌跡滿足設計要求。

5 結論

本文分析了雙鋼輪振動壓路機的碾壓流程，結合碾壓作業要求，建立了雙鋼輪振動壓路機的作業軌跡模型，包含直線和換道曲線兩部分。為克服雙圓弧相切軌跡、等速偏移曲線與正弦曲線疊加軌跡的缺點，將貝塞爾曲線作為換道軌跡曲線，把曲線的曲率及其變化率作為約束，以曲率的最大值和最小值的差值作為優化目標，對曲線進行了優化，得到了滿足要求的壓路機換道曲線。