2022年高考平面向量與不等式考點預測

劉常育

平面向量具有代數與幾何形式的“雙重性”，是高中數學的重點內容，命題方向主要有三個方面：一是平面向量的基本概念、線性運算、坐標表示、數量積、夾角和模. 二是向量的工具作用，主要用來描述題目條件和結論. 三是綜合利用平面向量線性運算和數量積運算，并且與不等式、函數、方程、三角函數、數列、解析幾何等知識相交匯，體現以能力立意的命題原則也是近年來高考的命題趨勢. 不等式的性質是證明不等式、解不等式的依據. 不等式的解法通常以函數的定義域、集合的基本運算為背景進行考查，含參不等式恒成立問題和基本不等式求最值也是歷年高考命題的熱點，本節內容命題多為選擇題或填空題，難度不大.

那么在2022年的高考中有關平面向量和不等式的哪些考點值得關注呢？預測如下，僅供考生們參考.

考點一、考查平面向量的基本概念及線性運算

預測題1.1 已知平面內一點P及ABC，若++=，則點P與ABC的位置關系是（ ）

A. 點P在線段AB上??? B. 點P在線段BC上

C. 點P在線段AC上??? D. 點P在ABC外部

解析：選C. 由++=，得++=-，即=-2，故點p在線段AC上.

預測題1.2 如圖，在平行四邊形ABCD中，AC與BD交于點O，E是線段OD的中點，AE的延長線與CD交于點F. 若=，=，則=（ ）

A. +?? B. +

C. +?? D. +

解析：選C. 由題意可知：==，

=+=（+）+=（+）+（+）

=（+）+（-）=+=+，故選C.

點評：本題主要考查平面向量在平面幾何中的線性運算問題. 在平面向量的加減法運算中，三角形法則應用尤為廣泛.（如：=+=-，P，O是平面內任意一點）

考點二、考查平面向量基本定理及坐標表示

預測題2.1 已知向量=（1，2），=（2，-3）. 若向量滿足（+）∥，⊥（+），則=（ ）

A.（，）???? B.（-，-）

C.（，）???? D.（-，-）

解析：選D. 先設=（x，y），則+=（x+1，y+2），且+=（3，-1），又因為（+）∥，⊥（+），那么2（y+2）+3（x+1）=0，3x-y=0，解得：x=-，y=-. 故選D.

點評：本題主要考查平面向量的坐標運算及兩向量平行與垂直的坐標等價條件.

其中：∥x1y2-x2y1=0;⊥x1x2+y1y2=0條件易混淆出錯丟分，多注意.

考點三、考查平面向量的數量積

預測題3.1 平面向量與的夾角為60°，=（3，0），=1 ，則 2+3=（ ）

A. 2? B. 3? C. 2? D. 3

解析：選D. ∵=（3，0），∴=3，則2+32=（2+3）2 =42+12·+92

=42+12cos<，>+92=4×32+12×3×1×+9×12=63，所以2+3===3，故選D.

點評：本題考查了平面向量數量積運算的基本定義，并由特殊結論2=2推導出向量的模長計算公式：=，且進一步推廣應用到求解k+？姿中.

預測題3.2 已知ABC是等邊三角形，若-？姿與向量的夾角大于90°，則實數？姿的取值范圍是________.

解析：因為-？姿與向量的夾角大于90°，所以（-？姿）·<0，即2-？姿·cos60°<0，解得？姿>2. 故填（2，+∞）.

點評：本題考查平面幾何中有關向量的夾角問題. 通過對這類題的考查能進一步掌握平面向量數量積的取值與其夾角范圍的對應關系. 兩個單位向量的夾角是銳角（鈍角）的充要條件是兩個單位向量的數量積大于0且不等于1（小于0且不等于—1）.

預測題3.3 點O是ABC所在平面內的一點，滿足·=·=·，則點O是ABC的（ ）

（A）三個內角的角平分線的交點

（B）三條邊的垂直平分線的交點

（C）三條中線的交點

（D）三條高的交點

解析：選D. ∵ ·=·，∴（-）·=0，∴·=0，∴ ⊥ .

同理可得：⊥，⊥，則o是ABC三條高的交點. 故選D.

點評：本題主要考查平面向量在三角形中的應用. 對于這類問題，一般需要靈活運用向量的運算法則、運算律，將已知條件等價變形，從而得到結論. 特別地，有的問題還需要依據幾何圖形選取適當的基底（基底中的向量盡量已知模或夾角），將題中涉及的向量用基底表示，然后計算或證明.

考點四、考查平面向量的綜合應用

預測題4.1 在ABC中，AB=，BC=2，∠A=，如果不等式-m≥恒成立，則實數的取m值范圍是???????????????? .

解析：在RtABC中，易知AC=1，cos∠ABC=，由-m≥，得2-2m·+m22≥2，即2m2-3m+1≥0，解得m≥1或m≤. 故填：（-∞，]∪[1，+∞）.

預測題4.2 若向量，是一組基底，向量=x+y，（x，y∈R），則稱（x，y）為向量在基底，下的坐標，現已知向量在基底=（1，-1），=（2，1）下的坐標為（-2，2），則向量在另一組基底=（-1，1），=（1，2）下的坐標為??????????? .

解析：因為在基底，下的坐標為（-2，2），即=-2+2=（2，4），令=x+y，則=（-x+y，x+2y）=（2，4），所以-x+y=2，x+2y=4，解得x=0，y=2，所以在基底，下的坐標為（0，2）.

預測題4.3 已知⊥，=2，=3. 若點P是ABC所在平面內的一點，且=+t·，則·的最小值等于???????????? .

解析：以點A為原點，，所在直線分別為x軸、y軸建立平面直角坐標系，如圖. 則A（0，0），B（2，0），C（0，3），P（1，t），

所以=（1，-t），=（-1，3-t）.

所以·=-1-t（3-t）=t2-3t-1=（t-）2-≥-，當t=時取最小值，

所以·的最小值為-.

點評：平面向量既可以直接命題也可以作為數學解題工具與其它知識結合起來，應用十分廣泛.它不僅可以和函數，不等式，三角函數，平面幾何，解析幾何等多個知識進行綜合命題，也可能將其某個相關概念進行擴展延伸進行創新命題（例如：預測題4.2）.

求平面向量的模和數量積的最值（或取值范圍）常用方法有兩種：

一是“定義法”，即利用平面向量數量積的定義，把兩個向量的數量積轉化為關于參數的函數，再利用基本不等式或函數的單調性等求其最值（或取值范圍）;求的平面向量的模可以先利用=或2=2轉換成數量積再求解.

二是“坐標法”，即把幾何圖形放在適當的坐標系中，給有關向量賦予具體的坐標，利用平面向量數量積的坐標表示，結合解析幾何的思想方法求其最值（或取值范圍）.

考點五：含參數的不等式解法與恒成立問題

預測題5.1? 解關于x的不等式ax2+（a-1）x-1>0.

解析：原不等式等價于（ax-1）（x+1）>0.

當a=0時，不等式等價于-x-1>0，解集為{x|x<-1};

當a>0時，不等式等價于（x-）（x+1）>0，解集為{x|x>或x<-1}.

當-1

當a=-1時，不等式等價于-（x+1）2>0，解集為.

當a<-1時，不等式等價于（x-）（x+1）<0，解集為{x|-1

預測題5.2? 對于任意實數x，不等式tx2+tx-1<0恒成立，則實數t的取值范圍是________.

解析：當t=0時，tx2+tx-1=-1<0，不等式恒成立;當t≠0時，由t<0，=t2+4t<0，解得-4

預測題5.3 已知關于x不等式x+2+x-3>a2-a-1恒成立，則參數a的取值范圍是?? ?????????.

解析：由絕對值不等式可知：x+2+x-3≥（x+2）-（x-3）=5，則有a2-a-1<5即a2-a-6<0，解得-2

點評：這里考查了含有參數的不等式解法與不等式恒成立問題. 解決這類問題的常用方法有兩種：一種是直接通過對參數進行分類討論求解;另一種則是先通過參數分離，再轉換成函數的最值問題來求解. 此類題目變化多樣，要多積累總結.

考點六：應用基本不等式求最值的問題

命題角度一：直接應用基本不等式或湊數（或湊項后）再求不等式的最值問題

預測題6.1? 已知x>0，y>0，x+2y+2xy=8，則xy的最大值是

解析：∵x>0，y>0，∴x+2y=8-2xy≥2=2·，解得0<≤即0

預測題6.2 當0

解析：∵00，則y=x（8-2x）=2x（4-x）≤2（）2=8. 當且僅當x=4-x即x=2時，y取得最大值8.

預測題6.3 已知關于x的不等式2x+≥7在x∈（a，+∞）上恒成立，則實數a的最小值為（ ）

A. 1??? B. ????C. 2? ??D.

解析：選B.? ∵x∈（a，+∞），∴x-a>0，則2x+=2（x-a）++2a≥2+2a=4+2a（當且僅當x-a=1即x=1+a=時取等號），故有4+2a≥7，解得a≥.

點評：應用基本不等式求最值時必須注意“一正、二定、三相等”：一正即各項為正數;二定就是積定則和有最小值，和定則積有最大值，解題時定值很多時候是需要通過配湊得到的;三相等就是必須驗證等號成立的條件，這是最容易出錯的地方.

命題角度二：巧用“1”的代換或通過換元變形后再利用基本不等式求最值

預測題6.4 已知a>0，b>0，a+b=1，則+的最小值為?????????? .

解析：∵a>0，b>0，a+b=1 ∴+=（a+b）（+）=5++≥5+2=5+2，故最小值為5+2.

預測題6.5 已知x>1，則的最小值為???????????? .

解析：∵x>1，∴x-1>0，則==2（x-1）++2≥2+2=2+2（當且僅當2（x-1）=即x=1+時取等號）.

點評：當遇到ax+by與+兩者已知一個求另一個最值時，可以通兩者乘積運算變形后再應用基本不等式求解. 另形如y=這類函數的最值問題都可以化為y=A（x+d）++C形式后，再應用基本不等式或利用對勾函數性質或導數來求解其最值.

命題角度三：平方或通過代換減元后再應用基本不等式求最值

預測題6.6 若x>0，y>0，且2x2+=8，求x的最大值.

解析：已知x>0，y>0，現設t=x>0，則t2=x2（6+2y2）=2x2（3+y2）.

又∵2x2+=8，即6x2+y2=24，

∴ t2=2x2（3+y2）=×6x2（3+y2）≤×（）2=.

∴ t=x≤=，故x最大值為.

預測題6.7 設正實數x，y，z滿足x2-3xy+4y2-z=0，則當取得最小值時，x+2y-z的最大值為__________.

解析：∵x2-3xy+4y2-z=0，∴z=x2-3xy+4y2.

∴==+-3≥2-3=1，等號成立條件為x=2y.

∴ z=x2-3xy+4y2=（2y）2-3·（2y）y+4y2=2y2.

所以x+2y-z=2y+2y-2y2=-2y2+4y=-2（y-1）2+2≤2.

故x+2y-z的最大值為2.

點評：當遇到不常規的最值問題時，可以思考是否能通過適當的變形，轉化成我們熟悉的基本不等式類型來解決. 預測題6.6就采用了平方后再用基本不等式求最值. 預測題6.7則是通過基本不等式最值成立條件進行代換減元的方式求出結果.

總之，在高考復習中，要熟練掌握平面向量與不等式的知識概念，理解它的重難點所在. 考生要切實加強數學推理與化歸轉換能力. 在解題時要強調認真審題與計算，減少粗心與疏漏，考前還要重視對各類創新型題目的研究，力求在高考中取得滿意的成績.

責任編輯 徐國堅

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