探究問題本質，提升解題能力

馬進

一、考題探究

（2021年高考全國I卷）若過點（a，b）可以作曲線y=ex的兩條切線，則（ ）

A. eb

【考查目標】必備知識：主要考查導數幾何意義、直線的方程、利用導數研究函數的性質;核心素養：考查考生的邏輯推理能力、數學運算能力.

【思路分析】設切點P（t，et），利用導數的幾何意義求出切線方程，再利用切點在切線上且在已知函數的圖像上，可得關于t的方程，且該方程有兩個不同的解，最后通過構造函數，轉化為兩個函數的圖像有兩個不同的交點，利用導數判斷新函數的單調性，從而作出新函數的大致圖像，即可得出正確的結論.

【解法一】設過點（a，b）與曲線y=ex相切點P（t，et），對函數y=ex求導，得y′=ex，

所以，曲線y=ex在點P處的切線方程為y-et=et（x-t），即y=etx（1-t）et .

由題意可知，點（a，b）在直線y=etx（1-t）et上，可得b=aet+（1-t）et=（a+1-t）et .

令f（t）=（a+1-t）et，則f ′（t）=（a-t）et.

當t0，此時函數f（t）單調遞增，

當t>a時，f ′（t）<0，此時函數f（t）單調遞減，

所以，f（t）max=f（a）=ea .

由題意可知，直線y=b與曲線y=f（t）的圖像有兩個交點，

則b

當t0，當t>a+1時，f（t）<0，作出函數f（t）的圖像如下圖所示：

由圖可知，當0

【解法二】設過點（a，b）與曲線y=ex相切點P（t，et），對函數y=ex求導得y′=ex.

所以，曲線y=ex在點P處的切線方程為y-et=et（x-t），即y=etx+（1-t）et，

由題意可知，點（a，b）在直線y=etx+（1-t）et上，可得b=aet+（1-t）et=（a+1-t）et，

即（a+1-t）et-b=0，

令g（x）=（a+1-t）et-b，則g′（t）=（a-t）et.

當t0，此時函數f（t）單調遞增，

當t>a時，f ′（t）<0，此時函數f（t）單調遞減，

由g（a）>0，可得b

【解法三】函數y=ex是增函數，即y′=ex>0恒成立，所以切點在x軸上方，若點（a，b）在x軸上或x軸下方，連線斜率小于0，不成立;

若點（a，b）在曲線上，只有一條切線，不滿足條件;

若點（a，b）在曲線上方，沒有切線，不滿足條件;

所以只有當點（a，b）在曲線下方，并且x軸上方時，有兩條切線，即0

【點評】求解與切線有關的問題時，若題目中沒有給出切點坐標，那么，我們解題時就應設出切點坐標，再寫出過該點的切線方程.

二、解題方法

（一）導數的幾何意義：函數y= f（x）在x=x0處的導數f? ′（x0）就是曲線y=f（x）在點（x0，f（x0））處的切線的斜率k，即k=f ′（x0）= .

（二）曲線的切線的求法：若已知曲線過點P（x0，y0），求曲線過點P的切線，則需分點P（x0，y0）是切點和不是切點兩種情況求解.

（1）當點P（x0，y0）是切點時，切線方程為y-y0=f ′（x0）（x-x0）;

（2）當點P（x0，y0）不是切點時，可分以下幾步完成：

第一步：設出切點坐標P ′（x1，f（x1））;

第二步：寫出過P ′（x1，f（x1））的切線方程為y-f（x1）=f ′（x1）（x-x1）;

第三步：將點P的坐標（x0，y0）代入切線方程求出x1;

第四步：將x1的值代入方程y- f（x1）= f? ′（x1）（x-x1），可得過點P（x0，y0）的切線方程.

（三）求曲線y= f（x）的切線方程的類型及方法

（1）已知切點P（x0， y0），求y= f（x）過點P的切線方程：求出切線的斜率f ′（x0），由點斜式寫出方程;

（2）已知切線的斜率為k，求y= f（x）的切線方程：設切點P（x0，y0），通過方程k= f ′（x0）解得x0，再由點斜式寫出方程;

（3）已知切線上一點（非切點），求y= f（x）的切線方程：設切點P（x0， y0），利用導數求得切線斜率 f ′（x0），再 由斜率公式求得切線斜率，列方程（組）解得x0，最后由點斜式或兩點式寫出方程.

（4）若曲線的切線與已知直線平行或垂直，求曲線的切線方程時，先由平行或垂直關系確定切線的斜率，再由k=f′（x0）求出切點坐標（x0，y0），最后寫出切線方程.

（5）①在點P處的切線即是以P為切點的切線，P一定在曲線上;②過點P的切線即切線過點P，P不一定是切點. 因此在求過點P的切線方程時，應首先檢驗點P是否在已知曲線上.

三、教材原型

蘇教版? 選擇性必修第一冊? 第193頁：

（1）求曲線y=ex在x=0處的切線方程;

（2）過原點作曲線y=ex的切線，求切點坐標.

【解析】設f（x）=ex，所以f ′（x）=ex，則f ′（0）=1，f（0）=1，

故切線方程為y-1=1×（x-0），即x-y+1=0.

（2）設切點坐標為（t，et），則f ′（t）=et，所以切線方程為y-et=et（x-t），

又因為切線y-et=et（x-t）經過原點，所以0-et=et（0-t），解得t=1，

即切點坐標為（l，e）.

【點評】（1）需要準確理解在已知曲線上某點處的切線的兩層含義：一是該點的導數值等于切線的斜率;二是該點坐標滿足已知曲線的方程.

（2）當某點不在曲線上求過此點的切線問題時，要先設出切點坐標，利用導數幾何意義表示出切線方程，再把已知點代入切線方程，從而得出所求方程.

（3）當不能確定曲線上的點（x0，f（x0））是否為切點時，要注意分（x0，f（x0））是切點和不是切點兩種情況進行討論.

四、變式探究

（一）兩曲線的公切線問題

例1. 已知函數f（x）=x2-x+t（t≤0），g（x）=lnx，直線l與函數f（x），g（x）的圖像都相切. 試討論直線l的條數，并說明理由.

【思路分析】

1. 設兩個不同的切點A（x1，f（x1）），B（x2，g（x2））.

2. 分別寫出切線方程l1：y-f（x1）=f ′（x1）（x-x1），

l2：y-f（x2）=f ′（x2）（x-x2）.

3. 因為l1，l2為同一直線，所以f ′（x1）=f ′（x2），f（x1）-x1? f? ′（x1）=f（x2）-x2? f ′（x2）.

4. 研究方程組x1x2=2，2lnx1-x12=2lnx2-x22是否有解.

【解析】設直線l分別切f（x），g（x）的圖像于點A（x1，f（x1）），B（x2，g（x2））.

由f ′（x）=2x-1，得l的方程為：y-（x12-x1+t）=（2x1-1）（x-x1）.

由g′（x）=，得l的方程為：y-lnx2=（x-x2）.

所以2x1-1=，-x12+t=lnx2-1，消去x1得：lnx2+-（t+1）=0.……①

令h（x）=lnx+-（t+1），x>0，

則h′（x）=-==.

令h′（x）=0，得：x=1.

當x∈（0，1）時，h′（x）<0，h（x）單調遞減;

當x∈（1，+∞）時，h′（x）>0，h（x）單調遞增.

從而h（x）min=h（1）=-t.

當t=0時，h（x）min=0，方程①在（0，+∞）存在唯一解，即存在一條滿足題意的直線.

當t<0時，h（x）min>0，方程①在（0，+∞）無解，不存在滿足題意的直線.

（二）曲線的雙切點問題

例2. 已知函數f（x）=2lnx+x2-ax，a∈R，是否存在一條直線與函數y=f（x）的圖像相切于兩個不同的點？并說明理由.

【思路分析】

1. 設兩個不同的切點A（x1，f（x1）），B（x2，g（x2））.

2. 分別寫出切線方程l1：y-f（x1）= f ′（x1）（x-x1），

l2：y-f（x2）= f ′（x2）（x-x2）.

3. 因為l1，l2為同一直線，所以f ′（x1）=f ′（x2），f（x1）-x1? f ′（x1）=f（x2）-x2? f ′（x2）.

4. 研究方程組x1x2=2，2lnx1-x12=2lnx2-x22是否有解.

【解題策略】

方法1：由x1x2=2，2lnx1-x12=2lnx2-x22.

消去x2，得2ln+-=0. ……①

令t=，由0

記p（t）=2lnt+-t，則p′（t）=--1=-<0，

所以p（t）為（0，1）上的單調減函數，所以p（t）>p（1）=0.

從而①式不可能成立，所以假設不成立，從而不存在一條直線與函數f（x）的圖像有兩個不同的切點.

方法2：由x1x2=2，2lnx1-x12=2lnx2-x22，

得：2ln===-. ……①

令t=，由0

記p（t）=2lnt+-t，則p′（t）=--1=-<0，

所以p（t）為（0，1）上的單調減函數，所以p（t）>p（1）=0.

從而①式不可能成立，所以假設不成立，從而不存在一條直線與函數f（x）的圖像有兩個不同的切點.

【點評】解決一個函數的雙切點及兩個函數公切線問題常用方法是：設出兩個切點坐標，分別求出兩條切線方程，再根據兩個切線方程重合求解

五、感悟高考

已知函數f（x）=x2+2x+a，x<0lnx，x>0其中a是實數，設A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2）），為該函數圖像上的兩點，且x1-ln2-1.

【證明】當x<0時，f ′（x）=2x+2;當x>0時，f ′（x）=.

所以當x1x1>0時，f ′（x1）≠f ′（x2），所以x1<0

函數f（x）的圖像在點（x1，f（x1））處的切線方程為：

y-（x12+2x1+a）=（2x1+2）（x-x1），即y=（2x1+2）x-x12+a.

函數f（x）的圖像在點（x2，f（x2））處的切線方程為：

y-lnx2=（x-x2），即y=·x+lnx2-1.

所以=2x1+2，??? ……①lnx2-1=-x12+a? ……②

由①及x1<0

由①②消去x2得，a=x12+ln-1=x12-ln（2x1+2）-1.

令t=2x1+2，t∈（0，2），則x1=-1.

記p（t）=（-1）2-lnt-1=-t-lnt，t∈（0，2），

則p′（t）=-1-=<0，所以p′（t）在（0，2）是減函數.

則p′（t）>p（2）=-ln2-1，所以a>-ln2-1.

責任編輯 徐國堅

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