數形結合思想之點化開竅

涂天明

一、引言

新版的普通高中課程標準指出，立德樹人的育人導向體現在數學科的特點，就是學生在獲得四基、提高四能過程中發現數學學科核心素養并逐步增強. 慢慢學會用數學眼光觀察世界，用數學思維思考世界，用數學語言表達世界. 而數學核心素養的靈魂是理性思維、科學精神. 標準還指出，數學是研究現實世界空間形式和數量關系的科學. 形是山，數是水，數與形完美結合就像美麗的青山綠水. 數形結合思想是基本數學思想，貫穿于整個高中數學. 數學之本源于對現實世界的抽象，基于抽象結構通過符號運算、形式推理、數模建構等等方式實施. 伴隨著新課程標準的實施以及新教材的使用，新高考也備受關注，從2021年高考新課標I卷數學試題分析，數形結合思想依然是命題的熱點. 為莘莘學子科學備考、少走彎路，就數形結合思想而言，準備充分就能爭取主動.

二、讀懂讀透教材中的數形結合思想

數學概念的結構經歷從簡單文字描述到精益求精的定量刻畫，以代數為例，開始僅用來計算和解方程. 隨著幾何的代數化，數與形結合，幾何也拓展到平面向量、空間向量于是產生了向量法. 用向量法研究幾何問題，同坐標方法一樣有其獨到之處. 數形結合思想就是通過演繹方法研究形式結構. 由于形式的特點，演繹需要一個精確而嚴密的標準，研究幾何圖形直覺思維多，而代數方法邏輯推理多因此嚴謹. 學習新教材要注意內容與形式的結合，數與形的結合，注重思想方法的提煉，最終提升學生數學科核心素養.

1. 三角與函數

三角變換、圖像性質、解三角形是三角部分三大件，是歷年高考必考內容. 幾何中的定性定理轉化為可計算的定量演算，通過三角函數計算是解三角形中常用的數形結合. 例如，三角形中已知兩邊及夾角第三邊就能確定，即余弦定理：a2=b2+c2-2bccosA，余弦定理的證明實質就是詮釋數形結合思想.

例1. △ABC中，求證：a2=b2+c2-2bccosA.

【分析略解】思路1（向量法），△ABC中，=（+）2=++2·，即a2=b2+c2-2bccos（？仔-A）=b2+c2-2bccosA. 也可用坐標法，以A為原點，AB為建立如圖所示的平面直角坐標系，則B（c，0），C（bcosA，bsinA），用兩點間距離公式知，a2=（a-bcosA）2+（bsinA）2=b2+c2-2bccosA.

思路2（三角函數法），由正弦定理，

∴ a2=（2RsinA）2=4R2sin2（B+C）=4R2（sinBcosC+cosBsinC）2

=4R2（sin2Bcos2C+cos2Bsin2C+2sinBcosCcosBsinC）

=4R2（sin2B（1-sin2C）+（1-sin2B）sin2C+2sinBcosCcosBsinC）

=b2+c2-4R2（2sin2Bsin2C-2sinBcosCcosBsinC）

=b2+c2-8R2sinBsinC（sinBsinC-cosBcosC）=b2+c2+2bccos（B+C），

∴a2=b2+c2-2bccosA.

【點化開竅】向量法和坐標法都是數形結合思想，形式上不同但本質相同，容易理解也容易想到. 三角函數法完全離開了圖形，基本是純三角變換求得，只是演算比較繁瑣.

例2.當0≤x≤2？仔時，由直線y=3與余弦曲線y=3cosx圍成封閉圖形的面積是______.

【分析略解】從圖形看，由定積分的幾何意義可知所求面積為（3-3cosx）dx，∵（，0），（，0）都是余弦曲線的對稱中心，利用中心對稱，∴ S=×6×2？仔=6？仔. 故填6？仔.

【點化開竅】新教材將解三角形放在平面向量的應用，并不等于弱化正余弦定理的應用，處理三角形中的邊角轉換符合數形結合思想. 本例用中心對稱把矩形面積等分成兩部分，自數而入，以形結束，真能體驗數形結合思想之妙.

2. 向量與幾何

新教材對向量的定位是向量法，平面向量、空間向量都如此. 學習向量法容易誤解成建立坐標系用坐標法解決問題.向量的初等線性運算、數量積運算都有明顯的幾何意義，而平面幾何、立體幾何都有圖形背景的定性研究問題，用向量法結合向量的幾何意義或物理意義解決問題既有形的直觀也有數的嚴謹.

例3. △ABC中，++=且==，求證：△ABC是正三角形.

【分析略解】設+=，∵ ++=，∴? =-，∴=，∵==，且OBDC是菱形，∴△OBD是正三角形. ∴∠OBC=30°，同理可知∴∠OBA=30°，即∠ABC=60°，同理∠BCA=∠CAB=60°，∴△ABC是正三角形.

【點化開竅】從過程看全是向量運算，若離開了圖形，OBDC是菱形就不顯然了，所以數形結合之關鍵可見一斑. 空間向量的線性運算和數量積運算也如此，過程之簡顛覆人們想象. 平面幾何與立體幾何運算中用數形結合思想、幾何意義解決，利用正交分解將幾何問題向量化、生活化. 通過向量運算的幾何意義證明幾何問題、簡化運算，體會向量集代數、幾何于一身的特點，即可用數形結合思想研究.

3. 函數與曲線

說數形結合貫穿于整個高中數學一點也不過分，通過圖像研究函數的性質是我們一貫的方法. 研究函數的定義、圖像、性質三部曲. 而數形結合思想又將函數、方程、不等式緊緊聯系在一起，所以函數與曲線本身就是詮釋數形結合思想.

例4. 設函數g（x）=min{5-x，x+1，2x}，則函數g（x）的值域是________.

【分析略解】在同一坐標系中分別畫出y=5-x，y=x+1，y=2x的圖像，如圖，觀察圖像可知，當x∈（-∞，2]時，函數g（x）單調遞增，當x∈[2，+∞）時，函數g（x）單調遞減，即函數g（x）在函數x=2時函數（g（x））max=g（2）=3，結合圖形知函數g（x）的值域為（-∞，3]，故填（-∞，3].

【點化開竅】本例若用分段函數表示，難且抽象，將不同解析式的三個函數圖像畫在在同一坐標系中，數形結合問題迎刃而解. 教材中零點存在性定理拓展部分，一元二次方程根的分布問題，有很多可以總結的習題，將它們適當延伸或拓展一定會有意想不到的收獲.

4. 直線與圓錐曲線

現實中，考生學習數學也經常用坐標方法即解析法.建立適當的平面直角坐標系，設出點的坐標，試圖把直線或圓錐曲線轉化為方程來解決，是邏輯主義者. 另一些人認為幾何問題應該從幾何切入，抽象概括，用邏輯推理證明，是直覺主義者. 橫看成嶺側成峰，遠近高低各不同. 就是從不同的角度看同一風景效果大不一樣. 用在數學上就是從代數或幾何切入同一問題各有千秋，前者不能在空間中想象，后者十分厭倦繁瑣的演算. 直覺主義者與邏輯主義者都是相對的，只有數形結合思想，才能在兩者之間拿捏得游刃有余，恰到好處.

例5. 若雙曲線的頂點、對應的焦點到漸近線的距離分別為10、30，求該雙曲線的離心率.

【分析略解】放入坐標系中如圖，過雙曲線的頂點A、焦點F分別向其漸近線作垂線垂足為B、C，易知△OAB與△OFC相似，則雙曲線的離心率為：e=====3.

【點化開竅】圓錐曲線本身就是曲線與方程兩個方面，求曲線方程和根據方程研究去曲線就是解幾中兩大典型問題. 本例離心率的計算，轉化為幾何中相似三角形對應邊成比例. 可以看到，圖中沒有雙曲線但解決問題的過程中用到離心率的定義，數與形有機結合.

5. 微積分與曲線

以導數、微分、積分為工具，用數學分析方法研究曲線，是高等數學主要內容. 坐標方法下，用坐標表示點，用方程表示曲線. 導數就是曲線的切線的斜率，定積分就是曲邊梯形的面積，微分是函數增量的線性主部. 根據微積分基本定理，牛頓萊布尼茲公式把兩者緊緊聯系在一起，導數及其應用也是為高等數學打基礎.

例6. 求過點（0，-1）的曲線y=-4x3+5x-1的切線方程.

【分析略解】很顯然點（0，-1）在曲線y=-4x3+5x-1上，∵y′=-12x2+5，∴ k=y′│x= 0=5，所以所求切線方程為y=5x-1，即5x-y-1=0.

【點化開竅】注意到圖中虛線為原函數導數y′=-12x2+5的圖像，且ymax=5（x=0），所以點（0，-1）是拐點. 不妨延伸一下，若換成點（1，0）情況會怎么樣？很明顯點（1，0）也在曲線上，用同樣的辦法也能求出一條切線7x+y-7=0. 數形結合，很明顯還有一條2x-y-2=0（如圖過程略）. 回到前面的例2，用微積分基本定理之牛頓萊布尼茲公式可求S=（3-3cosx）dx=（3x-3sinx）=6？仔-sin2？仔-（0-3sin0）=6？仔.

三、梳理駕馭解題中的數形結合思想

基于數學學科核心素養的數學教學倡導我們發揮數學的內在力量，數學育人要用數學的方式，其價值取向就是用一般的方法，通性通法考生更容易接受. 數形結合思想既然能貫穿于整個高中數學中，它的常用題路就更顯重要. 考生要用一般性數形結合思想，越常規越重要，考生越容易想到，而不是劍走偏門，弄那些特殊化邊緣化的技巧.

1. 代數中的數形結合思想

函數、方程、不等式以及函數與導數離不開函數圖像很多問題需要結合圖像切入. 除此外復數的幾何意義、集合的表示方法，Venn圖以及數軸標根法也和圖形有關，下面舉例說明.

例7. 集合A={x│x<1}，B={x│x≥-}，則圖中的陰影部分表示的集合為_______.

【分析略解】本題是一個簡單的Venn圖，表示CA∪B（A∩B），∵A∪B=R，A∩B=[-，1），∴CA∪B（A∩B）={x│x<-或x≥1}. 故填（-∞，-）∪[1，+∞）.

【點化開竅】兩個集合的交叉關系是計數問題中比較直觀的體現，兩集合之間的交、并、補運算用Venn圖表述更具直觀性.

例8. 若復數z滿足方程z+3+z-2=10，則復數z在復平面內對應的點的軌跡是（???? ）

A. 橢圓 B. 雙曲線 C. 拋物線 D. 線段

【分析略解】復平面內，復數-3，3對應點之間的距離為6，而動點到這兩個點之間的距離之和為10，故滿足條件的復數對應點的軌跡是橢圓，如圖，選A.

【點化開竅】從z+3+z-3=10，數形結合選A. 實際應用時要注意條件2a>F1F2，當2a=F1F2時，軌跡為線段F1F2，2a

例9. 解不等式：

【分析略解】這種帶根式的不等式一般的處理方法都是代數方法：

原不等式？圳x>0，4x-x2≥04x-x2

∴原不等式解集為（2，4].

【點化開竅】如果構造兩個函數，在同一坐標系中畫出函數y=，y=x的圖像，由圖像直觀可以看出它們交于（0，0），（2，2）兩點，x>2時直線在上方，結合定義域知原不等式解集為（2，4].

例10. 若過點（a，b）可以作曲線y=ex的兩條切線，則（?? ）

A. eb

【分析略解】曲線y=ex時指數曲線，是下凸曲線，過凹面一側的點作不了切線，過曲線y=ex上的點可作一條曲線，利用排除法可知，點A（a，b）的位置應是凸面一側，剩下的問題就好辦了. 過點A（a，b）可以作曲線y=ex的兩條切線，說明點A（a，b）在x軸與曲線y=ex之間，即曲線y=ex凸面一側，∴b∈（0，ea），故選D.

【點化開竅】新的課程標準倡導我們的課堂教學，都要按培養學生數學學科核心素養為導向，直觀想象、數學抽象、邏輯推理直接就與圖形相關，數學模型也有幾何模型，當然也離不開圖形. 本題很有特點，由點的位置決定正確選項，既符合邏輯，又形象直觀.

例11. 求函數 f （x）=+的值域.

【分析略解】利用配方法將函數解析式化為f （x）=+=+，

就是兩點間距離公式模型，即坐標系內動點M（x，y）到兩定點A（-1，1），B（1，-1）的距離之和MA+MB，∵AB經過原點O，結合圖形可知動點M（x，y）在原點時MA+MB最小，即（MA+MB）min=AB=2. 所以函數 f （x）=+的值域為[2，+∞）.

【點化開竅】當然也可以用均值不等式結合定義知 f （x）≥2=2≥2且等號能成立. 離開了圖形，這種方法很難想到.

例12. 已知f （x）=4x-x2，若方程f （x）=kx+2有4個相異實根，求實數k的取值范圍.

【分析略解】在同一坐標系中，分別作出y=f （x），y=kx+2的圖像，用數形結合思想，關鍵在于過點P（0，2）的直線中，與中間那段拋物線相切時對應的斜率k. 令4x-x2=kx+2，整理得x2+（k-4）x+2=0，∴△=（k-4）2-8=k2-8k+8=0，解得k=4-2 （結合圖形舍去k=4+2） ，∵k=-時，方程有3個相異實根，所以滿足條件的實數k的取值范圍是（-，4-2）.

【點化開竅】本例用圖像交點的個數得出方程根的個數，是數形結合思想，k的取值變化時交點的個數也隨之變化，也有分類討論思想. 既有直覺主義者的直觀，又隱含嚴謹的邏輯關系，是一道非常典型的案例.

2. 三角中的數形結合思想

三角函數中的數形結合可以歸結為函數圖像的應用，但三角函數有周期性，很特殊. 三角變換與解三角形又有密切聯系，可以一并處理.

例13. 若函數f （x）=Asin（？棕x+？漬）（A>0，？棕>0，？漬<）一個周期內的圖像如圖所示. 則函數的解析式________.

【分析略解】采用先易后難法，由圖可知，最大值4及最小值-4，且A>0，∴A=4，圖像過點（0，2），∴sin？漬==，∵？漬<，∴？漬=. 這些都挺容易，本題難點是通過周期求？棕，根據五點法，圖中的點（，0）相當于標準的正弦曲線五點中的第五點，于是令+=2？仔 解得？棕=2，故填f （x）=4sin（2x+）.

【點化開竅】根據解析式畫出三角函數f （x）=Asin（？棕x+？漬）一個周期的圖像很容易，反之，根據其一個周期大致圖像確定其解析式也不難，只需按套路即可. 只是本題沒有按常規方法給出條件，所以處理起來也不能按常規.

例14. cos=-cos=_____.

【分析略解】因，都不是特殊角，直接變形難度大，也不現實. 構造如圖所示的圖形使A=，∠ABC=∠C=，作∠ABC的角平分線BD，則∠ABD=∠DBC=，∴∠BDC=∠C=，∴ AD=BD=BC，設為1. ∵AB=AC，∴2cos=1+2cos，即cos-cos=，故填.

【點化開竅】本例通過構造圖形模型，解決三角函數求值問題，獨具匠心，可以說離開了圖形無從談起，是數形結合思想的典例.

例15. 設點O是△ABC所在平面內一點，且==，AB=25，AC=24，則·=________.

【分析略解】==說明O是△ABC的外心，==即△ABC的外接圓的半徑，設為R，則所求即可轉化為三角計算. 設===R，則·=（+）·=R2cos2C+R2cos（？仔-2B）=2R2（sin2B-sin2C）=（b2-a2）=（242-252）=-，故填-.

【點化開竅】本題可以算是由形到數，圖形中·兩個向量關系不明顯. 先結合圖形利用外心的性質，將所求數量積·轉化為代數式2R2（sin2B-sin2C）就明顯了，再做計算易如反掌.

3. 解析幾何中的數形結合思想

例16. 求函數y=的值域.

【分析略解】本例用三角方法肯定能行，但構造圖形特別簡單. 因動點（cosx，sinx）在單位圓上運動，M（2，0）是定點. 函數值y即單位圓上動點與定點M（2，0）連線的斜率取值范圍. 作切線MA、MB，A、B為切點，單位圓中，∵OA=OB=1，OM=2，∴∠OMA=∠OMB=30°，∵kMA=-，kMB=，結合圖形數形結合可知y=的值域是[-，].

【點化開竅】由構造斜率公式模型，數形結合，借助圖形直觀得出結果，出奇制勝.

例17. 實數滿足x-y-1=0，求二元函數？漬（x，y）=+的最小值.

【分析略解】本例較為抽象，難以切入，考慮到式子結構，配方變換為？漬（x，y）=+有明顯的兩點間距離公式模型，？漬（x，y）即直線x-y-1=0上的動點M（x，y）到兩定點A（-3，2），B（0，1）的距離之和. 結合圖形，先求點B（0，1）關于直線x-y-1=0對稱的點C（2，-1），∵MB=MC即？漬（x，y）轉化為MA+MC，數形結合可知拉直時，？漬（x，y）min=AC==.

【點化開竅】構造圖形模型解決數學問題，有一定創新，有其獨到之處，這種問題離開圖形就寸步難行，這是數形結合.

例18. 橢圓？贅 ∶ +=1的右焦點為F2，過點F2的直線與橢圓？贅交于A、B兩點，N為線段AB的中點，延長線段ON交橢圓？贅于點E. 求證：=2的充要條件是AB=6.

【分析略證】解析幾何就是用代數的方法研究幾何問題，原本就是數形結合. 本例以方程研究橢圓性質，從圖形看AB的長與點N在OE上的位置之間的關聯并不明顯，按常規判斷很難. 好在題目給出了=2與AB=6之間是等價的. 所以只需分必要性、充分性推進即可. 設點A（x1，y1），B（x2，y2），N（x0，y0），當直線AB與x軸重合時，依題意N即原點O，易知不合題意，舍去;∵c2=a2-b2=16-4=12，∴F2（2，0），于是設直線AB的方程為：x=my+，聯立方程組x=my+，x2+4y2-16，消去x，得關于y的一元二次方程：（m2+4）y2+4my-4=0，由 N為線段AB的中點可解得點N的坐標為（，-）. ①若=2，則點E的坐標為（，-），由點E曲線？贅上，得+=16，解得m2=8（m2=-4舍去）. ∵（y1+y2）2=（-）2=，4y1y2=-=-，由弦長公式AB===6 ∴ . 必要性得證. ②若AB=6，由①得=3，∴m2=8. ∴點N的坐標為（，±），射線ON方程為：y=±x（x>0），由? y=±x（x>0），x2+4y2=16，解得x=，y=±，∴點E的坐標為（，±），∴=2. 即充分性得證. 綜上，=2的充要條件是AB=6.

【點化開竅】從過程看完全就是演算，對方程的處理占大部分篇幅，深刻體現了數形結合思想，后半部分設而不求，妙在其中. 與其說是是證明，不如說是計算.

4. 立體幾何中的數形結合思想

雖然立體幾何、平面幾何都應該以邏輯推理為主，但向量法特別是坐標系下以坐標的形式解決立體幾何有關問題，也是形轉化為數.

例19. 正方體ABCD-A′B′C′D′中，E在AB 上，點E在什么位置時，平面A′BC′與平面A′EC′所成角的余弦值為.

【分析略解】按空間角的一般求法是做二面角的平面角再計算. 但點E不是定點，所以其平面角也不確定. 探索性問題本身就難以下手，從圖形切入不現實. 只要將正方體放入坐標系，即建立如圖所示的空間直角坐標系，設正方體棱長為1，∵E在AB 上，可以設E（1，t，0）（0

【點化開竅】大漠孤煙直，形如直線與平面垂直. 長河落日圓，容易聯想直線與圓的位置關系. 數形結合思想就是數學文化的一種詮釋，比如對稱美，簡潔美. 本題主要考查面面角、空間向量在立體幾何中的應用等知識要點，自形而出，以數收官，完美！

例20. 四面體ABCD中，平面AB=CD=a，AC=BD=b，AD=BD=c，若四面體ABCD的外接球的表面積為，求a2+b2+c2的值.

【分析略解】由于a，b，c都是字母形式，所以很難聯系外接球的半徑. 注意到都是對棱相等，將四面體不幸成為長方體使其前后、左右、上下面對角線分別為a，b，c，則四面體和長方體外接球相同且直徑為d=，半徑為r==，依題意其外接球的表面積為S=4？仔r2=4？仔·=，∴a2+b2+c2=3.

【點化開竅】分割與組合，不規則圖形轉化為規范圖形是基本題路，這里數形結合是點睛之筆.

5. 概率統計中的數形結合思想

概率統計主要體現核心素養中的數據處理，最多抽象概括，從思想方法看數形結合也不能忽視. 例如，用觀測數據的散點圖判斷變量之間是否有線性的相關關系，關鍵看圖中這些點是否能分布在一條直線附近. 下降趨勢是負相關，上升趨勢是正相關. 除此外，用散點圖還可以判斷變量之間是否有非線性的相關關系，或進一步進行更為精準的統計分析，是直覺思維而非邏輯思維，統計圖表的研究與處理、概率密度曲線的研究都需要用數形結合思想.

例21. 若變量？孜服從標準正態分布？孜～N（0，1），則變量小于2的概率為P（？孜<2）=_______.

【分析略解】∵？孜～N（0，1），∴E？孜=0，？滓？孜=1，結合正態曲線的對稱性以及3？滓原理知P（？孜<2）=1-（1-0.9544）=0.9772，故填0.9772.

【點化開竅】正態分布曲線的性質告訴我們對稱是典型性質，根據3？滓原理，變量在均值的兩個標準差鄰域內的概率是0.9544，這才是那把開啟智慧之門的鑰匙.

例22. 交警部門從某駕校2021年學員科目一科目四考試平均成績（筆試成績）中抽出100名學員，將其筆試成績（四舍五入均取整數）分成四段[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]后畫出的頻率分布直方圖如圖所示，根據樣板數據估計該駕校2021年所有學員的平均筆試成績.

【分析略解】頻率分布直方圖的處理太普通了，本里也不例外，按老套路走即可. 平均筆試成績為：65×0.1+75×0.1+85×0.2+95×0.6=88.

【點化開竅】這里最關鍵的是，每一個方的高不是頻率，而是頻率除以組距，除非組距為1，組中值是指區間端點數的平均值. 除此外頻率分布直方圖還可以用來求中位數，先確定中位數所在區間，設為x，用等分兩邊面積各半計算.

6. 函數與導數中的數形結合

導數的幾何意義、物理意義以及用導數研究函數的單調性、極值、最值等性質，都需要高精確度的函數圖像. 高等數學對函數的進一步研究、微積分方法是學習理工科的敲門磚，數形結合思想之重要就不言而喻了.

例23. 已知函數y=sinx的圖像與直線y=kx（k>0）有且僅有七個公共點，且交點的橫坐標的最大值為？琢，則的值是_______.

【分析略解】f （x）的圖像與直線y=kx（k>0）的三個交點如圖所示，且在（3？仔，）內相切，其切點為A（？琢，-sin？琢），？琢∈（3？仔，）. 由于f ′（x）=-cosx，x∈（3？仔，），由導數的幾何意義，數形結合，？琢最大時切點在最右邊，即-cos？琢=-，即？琢=tan？琢，故填1.

【點化開竅】函數與導數本來就很難，如果選用三角函數與導數再結合圖像用數形結合思想，難度就更加大. 這種題目有點邊緣化，注意只能錦上添花，不能雪中送炭.

例24. 已知函數f（x）=x（1-lnx）.

（1）討論f（x）的單調性;

（2）設a，b為兩個不相等的正數，且blna-alnb=a-b，證明：2<+

【分析略解】這是2021年高考新課標I卷數學壓軸題，很多數學愛好者都研究過，有深刻的高數背景，有很多精彩的解答這里就不到贅述了，這里主要分享本題中的數形結合思想.

第（1）小題求導數研究函數的單調性基本算送分，∵ f ′（x）=-lnx，結合定義域知函數f （x）分別在（0，1）和（1，+∞）單調遞增和單調遞減，注意到函數f （x）=x（1-lnx）的零點是e，0雖不是零點，但∵，構造函數f （x）為f （x）=0，（x=0）x（1-lnx），（x>0）這時f （x）在x=0處有定義且連續. 這樣就可大致畫出函數f （x）的圖像如圖.

第（2）小題中，blna-alnb=a-b？圳-=-？圳（1-ln）=（1-ln），設=？姿，=？滋，則第（2）小題等價于：？姿，？滋為不相等的正數，且f （？姿）=f （？滋），證明：2<？姿+？滋 f （e-x）. 證明如下：構造函數g（x）= f （x）- f （2-x）（0<x<1），h（x）= f （x）- f （e-x）（0<x≤1），

∵g′（x）=-lnx-ln（2-x）=-ln（2x-x2），當0<x<1時，g′（x）≥0，g（x）單調遞增，

∴g（x）= f （x）- f （2-x）<g（1）=0，即 f （x）< f （2-x）得證. ∵h′（x）=-lnx-ln（e-x）=-ln（ex-x2），當0<x≤1時，ex-x2∈（0，e-1]，存在實數t∈（0，1）（t=）使h′（t）=0，即0<x<1時，ex-x2從0增加到1再增加到e-1，h′（t）從+∞減小到0再到-ln（e-1），h（x）從0增加到h（t）再增加到h（1）=f（1）-f（e-1）=2-e+（e-1）ln（e-1）>2-e+>0，即當0<x≤1時，f （x）> f （e-x）. 后面就迎刃而解了.

【點化開竅】對一道壓卷題，難且繁，利用函數的大致圖像與數形結合思想明確了解題的方向，按正確的方向步步推進，抽絲剝繭就水到渠成了. 對難題而言，只要方向正確，繁不是問題.

四、結束語

數形結合思想要遵循考生的認知規律，螺旋式上升，以發展數學科核心素養為追求. 作為考生，更應該認識自己，理解數學，理解技術. 在數形結合的問題處理中，以形為直觀打開那扇門，通過數的嚴謹性對結論進行定性論證. 常言道，會則易，不會則難. 數形結合會讓問題變簡單，點化開竅，我點化，你開竅了嗎？

責任編輯 徐國堅

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