壓電微鏡薄板的大撓度彎曲偏轉角解析

杜永飛,孟 江 ,范 偉,劉 凱,蔣 童,安 坤

(1.中北大學 機械工程學院，山西 太原 030051；2. 中北大學 電氣與控制工程學院，山西 太原 030051)

0 引言

目前在激光通信領域中，首要任務是實現精確控制光束偏轉角度，一維微鏡構件已運用到該領域中[1-2]，能實現在單方向上對光束的偏轉控制。為了實現同一結構在兩個方向上同時進行光束偏轉角度跟蹤控制的目標，需要設計出二維微鏡結構。婁利飛等[3]制成一種基于壓電薄膜逆壓電效應的新型集成微鏡，并對其功耗問題及機械性能進行了分析。隨著我國通信事業的不斷發展，激光通信技術覆蓋面越來越廣，研究矩形板問題也越來越有實際意義。20世紀，學者們廣泛開展了關于激光通信的研究，驗證了激光通信的概念。在激光通信中，由于激光傳輸方向高度集中，故在激光通信中光束方向的精確控制極為重要[4]。在光束偏轉技術領域中，最重要的部分是能實現對光束的精確控制，如利用壓電驅動的微鏡使光束偏轉更快速與穩定[5]，在該領域得到較廣泛的應用。由于壓電陶瓷(PZT)材料的遲滯及蠕變、非線性等特性[6]，其偏轉角度的精度達不到預想值，目前通過遲滯建模及復合控制方案可消除材料的遲滯特性。本文以壓電微鏡薄板為研究對象[7-10]，通過力學推導得到微鏡撓度的一般表達式，其次運用COMSOL仿真得到不同電壓條件下的數據，通過搭建壓電微鏡薄板的實驗平臺采集實驗數據并進行對比，運用Matlab軟件擬合仿真數據，驗證了本文所提出撓度表達式的正確性與有效性。

1 壓電薄板微鏡

壓電微鏡是一種應用壓電效應或逆壓電效應來改變微晶的垂直距離，從而達到光束偏轉的一種微機電系統的微執行器，目前應用于很多領域。李慶燕等[11]通過控制微機電系統(MEMS)微鏡的驅動電壓對激光雷達進行實時可變視場掃描。該二維微鏡結構設計為3層薄板與4個梁的組合結構，4個梁分別固定在薄板4條邊的頂點處，4個梁結構設計簡單，與微懸臂梁相比，其性能更優越，結構穩固且不易斷裂。因為4個梁結構具有良好的抗振能力，其端部固定，支撐壓電材料，該設計具有更好的抗應變疲勞性能，如圖1所示。薄板結構材料從上往下依次是Au、PZT-5A、Si，厚度分別為1 mm、3 mm、30 mm，取厚3 mm、長寬為10 mm×10 mm的壓電陶瓷薄板。Au層在光束偏轉中起光束反射作用，壓電陶瓷層是整個微鏡結構的驅動層。圖2為材料示意圖。在外加電場作用下，壓電陶瓷發生逆壓電效應，從而帶動整個微板產生位移。在固定4個梁的根部時，對4個梁沿其厚度方向施加電壓，仿真壓電微鏡薄板在此條件下的撓度變化。根據彈性力學相關知識，矩形薄板在上述邊界條件下施加均布力載荷時，滿足在自由邊界條件下的純彎曲條件。本文通過彈性力學知識推導計算薄板彎曲撓度表達式可知，薄板的邊界條件與四邊自由邊界條件相似，故運用理論知識推導計算，并結合仿真數據與實驗數據得出相關驗證與結論。

圖1 微鏡結構俯視圖

圖2 微鏡結構側視圖

2 彈性力學撓度解析

大撓度彎曲薄板，根據卡門方程(Kbrman equation)即薄板大撓度彎曲組求解：

(1)

(2)

對于該薄板大撓度彎曲問題，采用變分法進行求解，其主要步驟如下：

1) 選取滿足邊界條件的撓度表達式。

2) 通過對該撓度函數的變分，求出適合所取撓度表達式的應力函數表達式。

3) 用里茨法求解橫彎曲問題，最后確定撓度函數的表達式。

如圖3所示[12]，取矩形板邊長為a、b的中央為坐標原點，x、y軸分別平行于薄板的兩邊，z軸向下為正方向。本文中微鏡結構仿真是在梁的厚度方向施加壓電載荷，可將其等效為在板的4個邊上作用均布力矩，沿薄板的自由邊界x=±(a/2),y=±(b/2)分別作用有均布力矩M1,M2。 因為平板兩對邊的力矩相同，因此，沿坐標軸x與y的板內各點彎矩無變化，即Mx=M1,My=M2。

圖3 矩形薄板的純彎曲

平板的撓曲面方程為

(3)

ω=d1x2+d2y2+d3xy+

d4x+d5y+d6

(4)

式中d1，d2，d3，d4，d5，d6均為未知系數。

繞y、x軸的力矩平衡條件為

∑Mx=0

(5)

∑My=0

(6)

由式(5)、(6)可得：

(7)

式中FSx、FSy為板的橫向剪力。

將式(3)代入式(7)可得：

(8)

(9)

(10)

(11)

(12)

故可得該條件下薄板撓度為

(13)

將式(13)代入式(3)、(7)可得Mx=M2,My=M1,Mxy=0，FSx=0，FSy=0，驗證了該撓度表達式滿足該邊界條件。

圖4 高斯曲率為正的曲面

圖5 高斯曲率為負的曲面

3 COMSOL仿真與Matlab擬合

3.1 COMSOL仿真

圖6為COMSOL仿真模型。與薄板微鏡相連的4個梁尺寸(10 mm×0.2 mm)相同，且厚度與薄板厚度一致。其邊界條件為在4個梁的上表面施加垂直向下的同向均布電壓載荷，4個梁的根部固定，并添加重力加速度，根據李法新等[13]對PZT材料的研究，得到PZT壓電材料的相變電場為180～200 kV/cm，根據U=E×d(其中，U為相變電壓，E為相變電場，d為材料的厚度)可得，PZT壓電材料的相變電壓約為60 V，故設置2個方向上的電壓為0～60 V，并間隔5 V電壓，對其進行不同電壓下的仿真，其仿真條件如圖7所示，圖中h0，h1為在兩個方向上施加的電壓。仿真壓電微鏡薄板的材料和結構參數如表1所示。

圖6 壓電微鏡薄板

圖7 仿真條件

表1 壓電微鏡薄板材料參數

由壓電理論可得，在機械自由和電學短路邊界條件下的應力T、應變S和電場強度G、電位移H之間的本構方程為

(14)

由式(14)可知，在施加應力或電壓時，壓電微鏡會產生電位移與應變，其與所加應力及電場強度的大小呈線性關系。

運用COMSOL軟件進行仿真，其網格為四邊形網格，單元數為392個。在確定上述尺寸參數及材料系數的前提下，仿真分析了在梁施加均布電壓載荷時，COMSOL中薄板位移變形圖如圖8所示。圖中，h0、h1分別為兩個方向上施加的電壓。仿真不同電壓下的部分數據如表2所示。

圖8 壓電陶瓷薄板變形云圖

表2 仿真數據

3.2 Matlab擬合

根據仿真得出不同電壓下的數據，并結合彈性力學可知，薄板在該四邊自由且施加電壓的邊界條件下，其撓曲面與高斯曲率為正的曲面相似，故將微鏡撓度表示為

ω=Ax2+By2+Cxy+D0x+

E0y+F

(15)

式中：A、B、C、D0、E0、F均為待定系數。

在該仿真條件下，兩個方向施加的電壓決定微鏡的位移，故式(15)中未知參數與電壓U、V有關。運用Matlab軟件擬合兩個方向上電壓的關系，其擬合度R2=0.999 6，擬合式f(x,y)=ax+by+c(a，b，c為常數)，均方根誤差為0.000 235 6，和方差為3.885×10-7，在4個梁上施加兩個方向上的電壓的關系為

U(x，y)=p0×Ux+p1×Uy+p2

(16)

式中：U(x，y)為在x、y方向上同時施加的電壓；p0、p1、p2為常數;Ux為x方向上施加的電壓；Uy為y方向上施加的電壓。

結合式(15)、(16)微鏡撓度可表示為

ω=(l1U+l0)x2+(m1V+m0)y2+

(n1U+n2V+n0)xy+(o1U+o0)x+

(p1V+p0)y+(q1U+q2V+q0)

(17)

式(17)為電壓U=0、V=0時的邊界條件，其ω=0時可得l0=m0=n0=o0=p0=q0=0,則式(17)可變為

ω=l1(x2U)+m1(y2V)+n1(Uxy)+

n2(Vxy)+o1(Ux)+p1(Vy)+

q1U+q2V

(18)

式(18)適用于壓電微鏡薄板結構在四邊自由的邊界條件及在兩個不同方向施加電壓的條件。

將式(18)看為ω=a1A1+b1B1+…，其中a1、b1、…是未知系數，a1、B1、…是電壓U、V及坐標值x、y共同作用的結果。根據COMSOL軟件的數據，選取120組不同電壓下的撓度數據，運用Matlab軟件進行多元一次線性擬合，其擬合計算框圖如圖9所示。

圖9 擬合計算框圖

其擬合值與實際值的最大誤差為0.000 5 mm，擬合度R2=0.999 7，其擬合曲線與實際曲線如圖10所示。

圖10 擬合曲線與實際曲線

運用Matlab軟件擬合了在不同電壓下微鏡的撓度表達式(見式(18))與理論推導得出的撓度曲線表達式(見式(19))一致，驗證了該撓度表達式的準確性。

3.3 壓電微鏡的偏轉角

θx=2a1UX+a3UY+a4VY+a5U

(19)

θy=2a2VY+a3UX+a4VX+a6V

(20)

由式(19)、(20)可知，在四梁施加不同方向上的電壓時，壓電微鏡可優先選出偏轉角較大的一個位置。運用Matlab軟件對微鏡撓度進行仿真分析，得出電壓U、V對微鏡撓度的影響權值為0.924 8，與理論結論符合；其次，在壓電微鏡薄板中，通過微鏡的ω可得微鏡最佳的工作區域及最大偏轉角位置，對于實現光束的精跟蹤控制有重大的意義。

4 實驗測試

4.1 實驗臺搭建與采樣

微鏡測試系統由開關電源、筆記本電腦、激光位移傳感器(LK-H022K)、直流電源(型號為UTP3315TFL-Ⅱ)及壓電微鏡及其支撐架構成，實驗平臺如圖11所示。通過筆記本電腦的軟件控制激光位移傳感器的采樣頻率，在該實驗中設置時間為500 ms，將激光位移傳感器與電腦相連，用于記錄與儲存測試數據，該激光位移傳感器可適用于高頻率振動，其自帶數據采集裝置。然后可通過調節直流電源的電壓測試不同電壓下的數據。

圖11 實驗測試平臺

4.2 測試數據與仿真數據對比

測試中采集的數據點為壓電微鏡薄板的中心點，其測試數據如表3所示。運用COMSOL軟件仿真在相同電壓條件下得到的數據如表4所示。

表3 實驗數據

表4 仿真數據

通過對比實驗數據與仿真數據，撓度值相差最大為0.006 7 mm，驗證了仿真數據與測試數據的一致性。

5 結束語

利用COMSOL仿真軟件對壓電微鏡進行了仿真，并結合彈性力學相關知識對其撓曲形式進行了理論的假設與推導。通過搭建實驗平臺，測得在相同電壓條件下仿真數據與測試數據基本相同，驗證了仿真數據的真實性。通過Matlab軟件對其仿真得出的數據進行多元線性擬合，得出其擬合值與仿真值的最大誤差為0.000 5 mm，擬合相關系數R2=0.999 7，得出壓電微鏡撓度的一般表達式，運用Matlab仿真得到電壓對微鏡撓度影響的權值與理論值相符。最后通過偏轉角計算公式得出微鏡最佳工作區域，為實現光束的精跟蹤控制提供了理論基礎。