彈性振幅放大器對參數激勵壓電俘能器的影響

秦承武,劉景陽,孫德華,楊 磊,謝 進

(西南交通大學 機械工程學院,四川 成都 610031)

0 引言

將環境中振動能量轉換為電能的俘能器研究在近20年中已成為研究熱點[1-3]。壓電式俘能器因具有能量輸出密度大，無須啟動電源及結構簡單等優點而受到廣泛關注[4]。

根據外界激勵方向的不同，可以將壓電式俘能器分為直接激勵與參數激勵。直接激勵的外激勵方向垂直于壓電梁的梁長方向，而參數激勵的外激勵方向平行于壓電梁的梁長方向。

在直接激勵方式下，Zamani等[5]提出了帶有彈性振幅放大器的雙穩態壓電俘能器的二自由度非線性分布參數模型，結果表明，通過調節放大器和俘能器的質量和剛度比可以顯著強化外激勵，在更寬的頻率帶寬下提供更高的輸出；Galbier等[6]將線性彈性振幅放大器引入非線性俘能器中，數值模擬和實驗結果均表明，該組合系統在某些輸入頻率下能產生更大的輸出功率，且有更寬的頻率響應帶寬。張宇等[7]采用調和平衡法，獲得了雙穩態壓電俘能器與彈性振幅放大器組合系統的位移、輸出電壓和功率的解析表達式，并討論了擴大能量俘獲頻率范圍和提高能量俘獲效率的機理。

Jia等[8]和Mam等[9]的研究均表明,在外激勵的幅值大于激勵閾值，當系統發生共振的情況，參數激勵壓電俘能器的性能優于直接激勵壓電俘能器。

為了降低參數激勵閾值并產生內共振，人們采用了多種增加系統自由度的措施。這些措施在某種程度上也起到了振幅放大器的作用。Yang等[10]提出了一種具有低閾值激勵的參數共振俘能器，通過在系統中引入磁力非線性來降低參數共振的激勵閾值。研究結果表明，由于垂直梁的參數共振結合了硬化和軟化行為，俘能器表現出平坦且較寬的頻率響應帶寬。Jia等[11]在壓電梁底部增加了一個兩端固支的水平梁，當水平梁和壓電梁的固有頻率之比為1∶2時，能夠降低激勵閾值并增加俘能器工作帶寬。Xie等[12]提出了一種T型壓電俘能器，當外界激勵頻率接近俘能器的第一諧振頻率時將發生1∶3內部共振現象，此時的能量轉換效率和頻率響應帶寬明顯增加。

本文直接將彈性振幅放大器以質量-彈簧-阻尼引入到參數激勵壓電俘能器中，分析彈性振幅放大器在參數激勵壓電俘能器中的主要作用，重點研究彈性振幅放大器的剛度系數選取對參數激勵壓電俘能器的激勵閾值及工作帶寬的影響，以建立分析彈性振幅放大器各個參數對俘能器性能影響的方法，為彈性振幅放大器的設計提供依據。

1 帶彈性振幅放大器的壓電俘能器結構及動力學模型建立

1.1 帶彈性振幅放大器的壓電俘能器的物理結構

帶彈性振幅放大器的壓電俘能器的物理結構如圖1所示。壓電梁的梁長方向與振動體的振動方向z(t)一致。壓電梁的上末端裝有質量為M2的質量塊，梁長為La，厚度為ta，寬度為ba。壓電片貼在梁的下末端，壓電片長度為Lp，寬為bp，厚度為tp。壓電梁的下末端通過質量為M1的質量塊與彈性振幅放大器連接。

圖1 帶彈性振幅放大器的壓電俘能器結構示意圖

彈性振幅放大器主要參數有質量ms、剛度系數ks和阻尼比ξ。

設在外部諧波激勵z(t)的作用下，壓電梁產生的橫向和軸向位移分別為w(x,t)和u(x,t)，彈性振幅放大器的輸出位移為s(t)。

1.2 帶彈性振幅放大器的壓電俘能器動力學方程

本文采用擴展哈密頓原理[13]建立系統的動力學方程，擴展哈密頓原理可表示為

(1)

式中：q為壓電懸臂梁的廣義位移；t為時間；s為彈性振幅放大器的廣義位移；V為系統產生的電壓；L=T-U為拉格朗日函數，T為系統的總動能，U為系統的總勢能；δW為非保守力所做虛功的變分。

T包括梁、M1、M2及ms的動能，則T為

(2)

式中：ma為壓電梁單位長度的質量[14]；IM2為M2的轉動慣量；ψ為壓電梁的轉角，其轉角與梁的橫向位移和軸向位移的關系為

sinψ=w′

(3)

cosψ=1+u′

(4)

(5)

假設梁足夠細長且不可伸展，根據文獻[15]，其橫向位移和軸向位移的關系為

(6)

U包括梁的應變勢能和重力勢能、質量塊的重力勢能、彈性振幅放大器的重力勢能和彈性勢能及壓電片的電勢能，則有：

(7)

式中：EI為梁的抗彎剛度,E為梁的楊氏模量；θe為機電耦合系數；Cp為壓電電容。其表達式見文獻[16]。

非保守力所做虛功的變分為

(8)

假設梁在振動過程中一階振型占主導作用，則壓電梁的w(x,t)為

w(x,t)=φ(x)q(t)

(9)

式中：φ(x)為梁的一階振型函數；q(t)為只與時間相關的廣義位移函數。

根據文獻[12]，φ(x)為

(10)

將式(2)、(7)、(8)代入式(1)可得壓電俘能器的動力學方程為

(11)

其中：

IM2φ′2(La)

(12)

(13)

(14)

(15)

(16)

(17)

(18)

g1=M1+ms

(19)

g2=ks

(20)

(21)

g4=M1+M2+ms+ma

(22)

g5=(M1+M2+ms+ma)g

(23)

將式(11)無量綱化并轉換成狀態方程的形式，引入無量綱變換，則有：

(24)

(25)

(26)

τ=ω0t

(27)

(28)

(29)

將式(11)改寫成無量綱的動力學方程：

(30)

式中：r1，r2分別為梁和彈性振幅放大器的無量綱位移；β1，β2分別為無量綱的機電耦合系數；υ為無量綱電壓；ω=ωe/ω0為無量綱頻率；其余參數a，b，c，d，e，f，h，j，c1，λ，ε分別對應無量綱化后的參數k3，k4，k5，k6，g2，g3，g4，g5，C1，Cp，α2。

(31)

式中：x1，x2分別為梁的無量綱位移和速度；x3，x4分別為彈性振幅放大器的無量綱位移和速度；x5為無量綱輸出電壓。

2 帶彈性振幅放大器的壓電俘能器的特性分析

2.1 壓電俘能器系統參數及動力學性能

本文選取的壓電俘能器的系統參數及幾何尺寸如表1所示。表中，Ep為壓電片的楊氏模量，ρa為梁的密度，ρp為壓電片密度，d31為壓電常數，ε33為介電常數。

表1 壓電俘能器系統參數及幾何尺寸

在本文提出的俘能器結構中，M2的大小會影響壓電梁的固有頻率和系統的平衡點qe。

(32)

當k2>0時，式(32)只有1個解(0,0)，即系統只有1個穩定的平衡點(0,0)，壓電梁未發生屈曲，其固有頻率為

(33)

(34)

k2=0是壓電梁是否發生屈曲現象的分界點，稱此時的末端質量為臨界質量(M2c)。由式(13)中k2可得：

(35)

將表1中的參數代入式(35)可以得到M2c=0.062 56 kg。若以M2為變量，則f1及系統平衡點隨M2的變化曲線如圖2所示。

圖2 壓電梁的固有頻率和平衡點

由圖2(a)可知，當M2M2c時，f1隨著M2的增加而增大。從圖2(b)中可看出，當M2M2c時，系統有3個平衡點。

本文主要研究壓電梁在未發生屈曲時的動態響應，故在后續的分析中取M2=0.005 kg

2.2 無彈性振幅放大器參數共振時俘能器運動及俘能特性

為了對比分析彈性振幅放大器在參數激勵俘能器中的作用，本節研究無彈性振幅放大器參數共振時俘能器的運動及俘能特性。

將式(11)中涉及到的彈性振幅放大器廣義位移s的耦合項舍去，則可以得到無彈性振幅放大器參數激勵壓電俘能器的動力學方程：

(36)

式中qt,Vt分別為未附加彈性振幅放大器時梁的位移響應和輸出電壓。

本文采用數值仿真法進行分析，為使系統具有一定的初始形變能，取無量綱初始位移值為0.01，其余仿真初始值均取0，R=0.1 MΩ。為使系統產生共振，取Ω為壓電梁固有頻率的2倍，即Ω=7.64 Hz。在后續的分析中，若未加特別說明，仿真時均取相同的初始值和參數。

圖3為無彈性振幅放大器在不同外界激勵幅值下的運動特性。由圖3(a)可知，當A=7 m·s-2時，壓電梁的位移響應最終趨于0，穩定的動態響應輸出；由圖3(b)可知，當A=11 m·s-2時，壓電梁最終具有穩定的動態響應輸出。由此可看出，只有當A大于某一特定值時，參數激勵俘能器才能有穩定的動態響應輸出，將此特定值稱為激勵閾值。

圖3 參數激勵無彈性振幅放大器動態響應特性

圖4為無彈性振幅放大器參數共振時俘能器俘能特性。

圖4 參數激勵無彈性振幅放大器的俘能特性

圖4(a)是P隨著A的變化曲線。由圖4(a)可知，當A>9.3 m·s-2時,P從0突然增大，有明顯的功率輸出，即系統的激勵閾值為9.3 m·s-2;隨著A繼續增大，P與A表現為近似的線性關系。

圖4(b)是A=11 m·s-2時，Vrms隨Ω的變化曲線。由圖4(b)可知，頻率響應曲線的左側出現了明顯的突變，表現出軟彈簧特性，且壓電梁在其固有頻率的2倍處，即Ω=7.64 Hz時，發生主參數共振，反向掃頻帶寬略寬于正向掃頻，此時壓電梁的頻率響應帶寬，即俘能器的俘能帶寬約為7.82-7.44=0.38(Hz)。

2.3 帶彈性振幅放大器參數共振時俘能器運動及俘能特性

2.3.1 帶彈性振幅放大器的壓電俘能器發生參數共振時的運動及特性分析

彈性振幅放大器的固有頻率為

(37)

當M2

(38)

由第2.1節分析可知f1=3.82 Hz。欲使系統產生參數共振現象，則f2=7.64 Hz。

圖5為由式(37)得到的f2隨著彈性振幅放大器剛度系數ks的變化曲線。由圖5可知，欲使f2=7.64 Hz，則取ks=60 N/m。

圖5 f2與ks之間的關系

本文重點研究ks對俘能器性能的影響，分析仿真中取彈性振幅放大器參數ξ=0.1，ms=0.016 kg。

圖6為A=0.15 m·s-2時壓電梁和彈性振幅放大器的時域圖。由圖可知，當A=0.15 m·s-2時，彈性振幅放大器的輸出位移能夠達到穩定，而壓電梁的動態響應最終趨于0，說明在A較小時，壓電梁不能產生參數共振現象。

圖6 A=0.15 m·s-2時壓電俘能器的動態響應

圖7為A=1.6 m·s-2時壓電梁和彈性振幅放大器的時域圖。由圖7(a)可知，當A=1.6 m·s-2時，在0～4 s，彈性振幅放大器的位移迅速增大；在4～10 s，彈性振幅放大器經過短暫調制后，位移輸出迅速減小，10 s后，彈性振幅放大器能夠產生穩定的動態響應。從能量的角度來看，前一階段彈性振幅放大器不斷吸收外部能量并產生位移輸出，隨后彈性振幅放大器將自身能量的一部分轉移給壓電梁，最終達到穩定運動。由圖7(b)可知，在0～4 s，壓電梁幾乎無位移響應；在4～10 s，由于壓電梁吸收了彈性振幅放大器的一部分能量，壓電梁的位移迅速增大，隨后經過短暫調制，位移輸出稍微減小，在這個過程中，相當于彈性振幅放大器“放大”外界激勵幅值，促使梁發生參數共振，而在10 s后，壓電梁能產生穩定的動態響應。綜上所述，激勵閾值為0.15～1.6 m·s-2。

圖7 A=1.6 m·s-2時壓電俘能器的動態響應

圖8為帶彈性振幅放大器參數共振時的俘能器俘能特性。

由圖8(a)可知，系統的激勵閾值為0.3 m·s-2，比無彈性振幅放大器的激勵閾值(9.3 m·s-2)小，說明引入彈性振幅放大器后，系統的激勵閾值會大幅度降低。圖8(b)為A=1.6 m·s-2時，帶彈性振幅放大器的壓電俘能器的Vrms隨Ω變化的關系。由圖8(b)可知，當A=1.6 m·s-2，即A大于激勵閾值時，頻率響應曲線左右兩側均出現突變，既有軟彈簧特性，也有硬彈簧特性，表現出雙跳躍現象[18]，正、反向掃頻的頻率響應略有差異，但梁的電壓響應帶寬約為8.2-7.05=1.15(Hz)，比參數激勵單梁俘能器電壓響應帶寬(0.38 Hz)提高了203%。

圖9為A不同時，帶彈性振幅放大器的壓電俘能器Vrms隨Ω變化曲線。由圖可知，A越大，Vrms越大，頻率響應帶寬也越大，并且頻率響應曲線向右彎曲的部分更多，表現出更強的硬彈簧特性。當A=8 m·s-2時，頻率響應帶寬可增加到2.3 Hz。

圖9 激勵幅值對系統頻率響應的影響

2.3.2 剛度系數對帶彈性振幅放大器俘能器俘能特性的影響

本文重點研究ks對系統激勵閾值和系統俘能特性的影響,對其余兩個參數的分析，可仿照本文方法進行。

取ksr=7.64 Hz,圖10為ks對系統激勵閾值的關系曲線圖。由圖10可知，帶有彈性振幅放大器的激勵閾值變化曲線整體呈現下凹趨勢，即隨著ks的增大，俘能器的激勵閾值具有非對稱先減小后增大的趨勢。取ks=40 N/m，50 N/m，60 N/m，70 N/m，80 N/m時，對應的激勵閾值分別為2.8 m·s-2，1.3 m·s-2，0.3 m·s-2，1.0 m·s-2，1.7 m·s-2。ks=60 N/m時激勵閾值最小，由第2.3.1節的分析和圖5可知，此值恰好為使系統產生內共振的剛度系數，稱為共振剛度系數ksr。由圖還可知，在ksksr時激勵閾值的變化率。這說明在ksksr時的影響。

圖10 剛度系數ks對系統俘能特性的影響

ks對P的影響如圖11所示。由圖可知，ks=ksr=60 N/m時，激勵閾值最小，但是P并不總是最大。當A<3 m/s2,ks=60 N/m時的P始終大于其余ks的P，而當A<3 m/s2,ks=70 N/m時的P比ks=60 N/m時的大。ks=60 N/m，70 N/m和80 N/m時，隨著A的增大，P的曲線趨于重合；而ks=40 N/m，50 N/m時，ks越大，則P越大，并且這種規律并不隨A的變化而發生變化?？傊?，在ks>ksr時，ks對P的影響不大，即只有在A較高時，ks對P的影響才不明顯；而在ks

圖11 ks對系統激勵閾值的影響

圖12 ks對系統頻率響應的影響

由圖12可知，隨著ks的增加，頻率響應曲線整體逐漸向右移動。另外，ks對頻率響應帶寬及均方根電壓峰值均有影響。表2為ks與頻率響應帶寬之間的對應關系。表3為ks與均方根電壓峰值之間的對應關系。

表2 不同ks對應的頻率帶寬

表3 不同ks對應的均方根電壓峰值

從表2、3可看出，頻率響應帶寬隨著ks的增加而增大，均方根電壓峰值隨著ks的增加而先增大后減少，在ks=60 N/m，即為共振剛度系數ksr時達到最大值。這說明只有f2越接近主參數共振頻率，彈性振幅放大器的放大效應越明顯，均方根電壓峰值越大。但此時頻率響應帶寬卻不是最大的。

3 結束語

本文對彈性振幅放大器在參數激勵壓電俘能器中的作用進行了仿真分析。研究表明，彈性振幅放大器的加入可使壓電梁發生參數共振。當系統發生共振時，系統結合軟、硬彈簧特性，不僅能大幅度降低系統發生參數共振的激勵閾值，且擴寬了系統的頻率響應帶寬。

彈性振幅放大器的剛度系數對系統性能的影響較復雜。共振剛度系數ksr可以根據系統產生共振的條件由系統的動力學方程得出。在此剛度系數下，彈性振幅放大器的放大效應較明顯。但當剛度系數偏離了ksr時，系統的俘能性能的變化卻不同。當剛度系數小于ksr時，平均輸出功率、頻率響應帶寬及均方根電壓峰值均隨著剛度系數的增大而增大；而當剛度系數大于ksr時，頻率響應帶寬隨著剛度系數的增大而增大，均方根電壓峰值隨著剛度系數的增大而減小，而平均輸出功率會趨于相同。

鑒于彈性振幅放大器的參數對參數激勵壓電俘能器的影響較復雜，本文后續工作將根據俘能器的應用場景，提出確定各個參數的策略和方法，以使俘能器獲得最佳性能。