壓電振動能量收集器的建模與響應分析

馮逸亭，劉文光，方孟翔，吳興意，高銘陽，陳紅霞

(南昌航空大學 航空制造工程學院,江西 南昌 330063)

0 引言

隨著無線傳感器網絡與便攜式電子移動設備的飛速發展，其應用涉及建筑、機械、車輛、航空航天等領域[1-3]。然而，如何為系統提供充足持久的電能供應成為研究者需要解決的問題。振動是常見的一種能量形式，如飛機飛行過程中機翼的振動、車輛運轉及大型機械作業時產生的振動等[4-5]。因此，研究振動能量收集技術對于解決無線傳感器與便攜式電子移動設備的供電問題具有重要意義。

振動能量收集技術主要有電磁式、靜電式及壓電式3類[6-8]。其中，壓電式振動能量收集器由于結構緊湊，無電磁干擾及易于微型化等優點成為研究者關注的焦點。目前，國內外研究者相繼研發了多種構型的壓電振動能量收集器。劉祥建等[9]提出了一種Rainbow型壓電能量轉換結構，實現了多個方向載荷作用下低功耗電子器件的供能。Zhang等[10]設計了一種弧形壓電雙穩態振動能量采集器，采集器運用磁耦合構建出雙穩態結構以提高能量收集效率。閆麗等[11]建立了雙端固支式壓電能量收集器的機電耦合振動模型，發明了梯形梁結構以降低諧振頻率和提高發電電壓。Nie等[12]將L型懸臂梁和壓電材料的非線性引入能量收集器，拓寬了振動能量收集器的頻帶范圍。Karadag等[13]設計了一種新型智能壓電振動能量收集器，它能自動調整自然頻率以維持系統共振、拓寬能量收集器的頻帶。Samah等[14]考慮懸臂梁的線性和二次形狀變化，設計出能夠在低頻振動環境下產生有效電能的壓電俘能結構。Juil等[15]提出了尖端激勵壓電收集器的新結構，通過形狀優化提高了能量收集器的最大輸出功率。

雖然研究者對壓電能量收集技術做了大量探索工作，提出了許多壓電收集器的結構，通過新構型及新方法提高其工作效率，但是多數研究局限于單方向振動模式，并普遍存在頻帶較窄的不足。實際應用中，外界振動具有多維度、隨機性及非線性等特點，只有合理設計壓電振動收集結構才能最大程度提高其電學輸出特性。因此，本文設計了一種多方向壓電能量收集器，不僅可以收集利用多個方向的振動能量，且引入了非線性磁力以實現自主調諧功能，拓寬了工作頻帶。對所設計的能量收集器建立機電耦合模型，利用COMSOL軟件建立能量收集器的有限元模型，仿真分析了不同結構參數下系統的電學響應特性。

1 動力學建模

1.1 壓電振動能量收集器結構

圖1為本文設計的多方向壓電振動能量收集裝置結構示意圖。

圖1 多方向壓電能量收集裝置結構示意圖

能量收集裝置由上下可調底座、上下可調永磁體、支撐梁、黃銅基底、永磁體質量塊及PZT-5H壓電陶瓷構成。其中，由螺旋狀黃銅基底和上下表面黏附的永磁體質量塊一起組成了能量收集裝置的振動系統，通過基底兩端與支撐梁側面固定連接。將4片壓電片分別粘貼于螺旋固支梁表面構成壓電振子。在兩個底座中心分別固定安裝方形永磁體，通過移動上下可調底座控制磁間距。整個壓電振動能量收集裝置呈現中心對稱而非軸對稱狀態，這使其受到外界激勵時彈簧基體發生扭轉變形，造成螺旋梁拐角處的應力集中現象。因此，在“L”型拐角處倒半徑為1 mm圓角，避免應力集中導致結構破壞。這種壓電振動能量收集裝置結構的空間占有率小,結構集成度高，可以同時收集橫向及縱向振動能量，并利用永磁體間的相互作用達到自主調諧的目的，提高了能量收集效率。

當裝置受到外界激勵時，振動系統將以永磁體質量塊為中心做橫向或縱向擺動。螺旋狀式基底可以起到平面彈簧的作用，產生振動與應變。此時粘貼于基底表面的PZT-5H壓電陶瓷利用正壓電效應將基底產生的振動與應變轉化為電能。

1.2 機電耦合動力學建模

為分析方便，多方向壓電能量收集器的振動系統在受到質量塊重力F0作用下，其一階模態振動模型可簡化為圖2所示的兩端固支梁結構。

圖2 結構一階振型簡化示意圖

假設系統等效質量為Meq，等效剛度為Keq，等效阻尼系數為ceq。系統振動時，Z(t)為振動位移，α為機電耦合系數，RL為等效負載電阻。圖3為能量收集器直接外接電阻作為負載時的集中參數等效模型。

圖3 外接純電阻時能量收集器的集中參數等效模型

當外界激勵F(t)作用于能量收集器時，系統會產生相應的振動，導致質量塊兩側的壓電振子彎曲變形，表面將輸出電壓，即RL兩端電壓V0(t)。由牛頓第二定律可導出系統壓電振子的動力學方程：

(1)

其中：

(2)

式中：βM,βK分別為質量阻尼和剛度阻尼；mp,mb及ma分別為壓電陶瓷片、基底及永磁體質量塊的質量；l,lp分別為基底和壓電陶瓷片的長度；hp,h分別為壓電陶瓷片和基底的厚度；w為基底寬度；Ep,Eb分別為壓電陶瓷片和基底的彈性模量。

文獻[16]研究表明，壓電振動能量收集器可等效為電流源與外接電阻RL的并聯。因此，根據基爾霍夫定律，電路中的回路電流滿足：

(3)

式中Cp為等效電容。

聯合式(1)、(3)可得外接純電阻負載時壓電振動能量收集器的機電耦合方程。求解方程組可得壓電振動能量收集器的振動模態和電學輸出特性，并分析不同結構參數(如結構剛度、外接負載阻值及附加質量等)對系統電學響應的影響。考慮到振動能量收集器結構的復雜性及實際振動過程的多變性，直接求解方程組分析結構力學性能較難，本文采用COMSOL多物理場仿真軟件對多方向壓電振動能量收集器進行分析，探究了系統電學響應特性。

2 響應分析

2.1 振動模態

為提高振動能量收集器的電學響應特性，設計時必須了解系統的振動模態[17]。由于系統的模態頻率和電學響應等特性主要由平面彈簧、PZT-5H壓電陶瓷及永磁體質量塊集成的振動系統決定，因此，在構造能量收集器模型時需做出合理簡化，以提高仿真計算效率。表1為壓電振動能量收集器簡化模型的主要結構參數。圖4為簡化后的壓電振動能量收集器的有限元仿真模型。

表1 多方向壓電振動能量收集器結構參數

以壓電振動能量收集器有限元模型(見圖4)為對象進行模態分析。在網格劃分時，對壓電層進行細化的網格劃分，而其余部分采用常規的網格劃分，以確保滿足收斂性的同時減少計算時間。通過分析計算得到壓電振動能量收集器的前三階振動模態(見圖5)，結果表明，一、二階模態諧振頻率分別為92.02 Hz和114.09 Hz。在前兩階模態下，系統主要以永磁體質量塊為中心、沿著z方向上下振動。此時，振動系統的幾何中心處位移最大，沿著平面彈簧向外逐漸減小。三階模態諧振頻率為170.31 Hz，振動系統沿幾何中心做旋轉運動，平面彈簧只在靠近中心部分有少量位移，其余部分均無變形。振動能量收集過程中，應避免這種狀況出現，主要利用一階諧振頻率92.02 Hz附近的振動能量，以便在較低的諧振頻率下獲得更好的電學響應特性。

圖4 振動系統有限元模型

2.2 電學響應

為了探討各參數對壓電振動能量收集器電學響應的影響，分析時將兩條螺旋梁的端部設置為固定約束，分別沿z、y軸兩個方向對整個振動系統施加1g(g=9.8 m/s2)加速度體載荷，外接負載電阻(100 kΩ)以模擬開路條件，計算頻域范圍為88～96 Hz，得到負載電壓、負載功率隨頻率的變化情況，如圖6、7所示。

圖6 y、z方向負載電壓頻域響應

圖7 y、z方向負載功率頻域響應

由圖6、7可知，分別從y、z兩個方向施加載荷時，負載電壓和功率都在振動系統的一階諧振頻率92.02 Hz處取得最大值，并且在y方向的載荷激勵下壓電振動能量收集器具有更好的電學響應效果，負載電壓峰值可達37 V，最大負載功率為6.9 mW。因此，在實際應用中應加大對y方向振動的利用，以提高能量收集效率。

采用單一變量原則，設置z方向的1g加速度體載荷作為外界激勵，圖8～10為不同結構參數下壓電振動能量收集裝置的頻域響應情況。具體結果如下：

1) 由圖8可知，當壓電層厚度不斷增加時，振動系統的剛度隨之變大，振幅逐漸減小，導致壓電單元受到的應變降低。負載電壓頻域響應的諧振頻率向右移動，從88.4 Hz增至99.4 Hz，負載電壓峰值由24 V降至18 V。因此，為了在較低諧振頻率下獲得較高電壓輸出，應在滿足壓電層強度的條件下選用厚度較薄的壓電陶瓷。

圖8 壓電層厚度對負載電壓頻域響應的影響

2) 由圖9可知，基底厚度的改變對振動系統的共振頻率及負載電壓有較大的影響。當基底厚度由1.0 mm增至1.3 mm時，共振頻率由72.8 Hz大幅增至112.1 Hz，同時，負載電壓幅值也由30 V降至17 V。可見隨著基底厚度的增加，平面彈簧剛度明顯增大，使得壓電單元輸出效率降低。

圖9 基底厚度對負載電壓頻域響應的影響

3) 由圖10可知，永磁體厚度的改變實際上是對振動系統附加質量的增減，永磁體厚度的增加伴隨著諧振頻率的降低及輸出電壓的升高，故增加附加質量更有利于提高振動能量的收集效率。

圖10 永磁體厚度對負載電壓頻域響應的影響

在壓電俘能系統中，外接負載阻抗匹配可以有效增加能量輸出，下面進行主要結構參數的負載功率阻抗匹配分析，使壓電能量收集器的輸出功率達到最大化。圖11～13為不同厚度對負載功率-阻抗匹配的影響。具體結果如下：

1) 由圖11可知，隨著壓電層厚度的增加，最大輸出功率呈現下降趨勢，由10.7 mW降至5.4 mW；同時阻抗匹配隨之增加，由5 kΩ增大至20 kΩ。負載的增加意味著更多的能量耗散，不利于振動系統對于外界能量的收集。

圖11 壓電層厚度對負載功率-阻抗匹配的影響

2) 由圖12可知，基底厚度對最佳負載的影響較小，而對功率幅值的影響較大。隨著基底厚度的增加，匹配阻抗略微減少，且都集中于10 kΩ附近，負載功率幅值降低了50%。

圖12 基底厚度對負載功率-阻抗匹配的影響

3) 由圖13可知，永磁體厚度即附加質量的增加對負載功率幅值影響呈正相關趨勢，但對最佳阻抗匹配阻值無影響，最佳負載均為10 kΩ。

圖13 永磁體厚度對負載功率-阻抗匹配的影響

為了研究非線性磁力對壓電能量收集器電學輸出特性的影響，在仿真實驗原有的物理場中加入磁場作用。設置下方磁體對振子磁體的作用力為吸力，上方磁體對振子磁體作用力為排斥力，由此形成豎直向下的磁場(見圖14)。首先計算相鄰永磁體之間的磁力作用，然后將磁力作為邊界載荷以正弦形式加載到振動系統中。通過改變磁間距d，分析了不同磁力下壓電能量收集器的頻域響應情況(見圖15)。由圖可知，壓電能量收集器引入豎直向下的磁場后負載電壓略有下降，但隨著永磁體間距的減小，負載電壓只有輕微的降低，而共振頻率增高。據此規律，根據外界激勵調節磁間距大小可拓寬裝置工作頻帶，以適應不同環境下的振動頻率。

圖14 永磁體間磁力計算模型

圖15 不同磁間距對負載電壓頻域響應的影響

3 結論

設計了一種多方向壓電振動能量收集器的結構，建立了系統的機電耦合動力學模型，分析了不同結構參數對能量收集裝置負載電壓及負載功率阻抗匹配的影響，并引入非線性磁力實現自主調諧功能。主要結論如下：

1) 基底和壓電層厚度的減小伴隨著負載電壓及負載功率的增加，但永磁體質量增減與二者的變化呈負相關趨勢。

2) 在負載阻抗匹配方面，壓電層厚度的增加導致負載阻抗大幅增大，由5 kΩ增大至20 kΩ，而隨著基底厚度的增加，最佳負載阻值略有減小且均集中于10 kΩ附近，永磁體質量對阻抗匹配阻值無影響。

3) 將磁場引入原有機電耦合場中可以改變諧振頻率的大小，在對輸出電壓影響較小的情況下實現自主調諧，以拓寬能量收集器的頻帶。