分類討論思想在初中數(shù)學解題教學中運用論述

蔡基德

(福建省南平市第九中學 353001)

在初中數(shù)學教學中，通過分類討論思想的恰當引用，既有助于學生數(shù)學思維靈活性的激發(fā)，也能夠促進授課效率的顯著提升，幫助學生積累更多解題思路，應(yīng)給予足夠重視.

1 分類討論思想

簡單來講，這一思想中的分類著重強調(diào)的就是在數(shù)學問題解決過程中，指導(dǎo)學生圍繞不同情況來進行分類，之后再一一討論，而討論思想則相對較為抽象，是一種思維方式，且常用在思考解決數(shù)學問題當中.該思想在解題中的巧妙運用，能夠?qū)⒃境橄蟆?fù)雜的數(shù)學概念合理轉(zhuǎn)化成學生比較熟悉的，或者是比較簡單的、零散的知識細節(jié)，然后再從不同角度進行分析、解答，從而實現(xiàn)對零散數(shù)學知識細節(jié)的全面梳理與有機整合，在此基礎(chǔ)上，再展開可靠分析.該思想在具體應(yīng)用中主要強調(diào)的是要從數(shù)學對象的本質(zhì)著手，結(jié)合數(shù)學對象本質(zhì)的異同來將其合理劃分成不同類別的數(shù)學思想.

2 分類討論思想的原則

第一，同一性.要引導(dǎo)學生在分類討論中堅持以同一種標準來對對象進行合理分類，要正確認識到，分類思想應(yīng)用的首要前提就是要明確研究對象，只有做到對研究對象特性的準確把握，才能夠?qū)崿F(xiàn)靈活引用.且還要圍繞同一屬性來對對象進行分類，防止同一組別中的對象產(chǎn)生屬性交集這一情況.

第二，層次性.在遇到多次分類的情況時，要實現(xiàn)對層次性這一準則的準確把握.結(jié)合概念差異來對研究對象進行合理分類.且整個過程中，一定要考慮全面，絕不能因為對對象某一屬性的忽略而導(dǎo)致結(jié)果出現(xiàn)錯誤.

3 分類討論思想在初中數(shù)學解題教學中的應(yīng)用

3.1 注重日常生活中分類討論思想培養(yǎng)

要想從整體上增強學生的分類意識，為學生分類討論習慣的培養(yǎng)帶來積極影響，除了要重視該思想在解題中的應(yīng)用，還要在實際生活中加強指導(dǎo)，引導(dǎo)學生在解決更多實際問題中靈活引用分類思想.同時，還需要注意的是，初中數(shù)學知識內(nèi)容的區(qū)塊化較為顯著，所以，在實際授課時之，教師一定要做好各項準備，對知識內(nèi)容作出合理分類后再進行講解，這樣學生在聽講過程中便可以自然的形成分類思想，且通過分模塊來進行相關(guān)知識內(nèi)容的講解，學生理解、掌握起來也更加輕松、高效.同時，學生也可以清晰把握各知識點之間的密切聯(lián)系，完善數(shù)學知識體系的構(gòu)架，全面激活學生的數(shù)學思維.

另外，通過在日常教學中加強分類思想的熏陶，學生能夠慢慢的對分類思想的意義產(chǎn)生透徹理解，也能夠正確認識到引用分類思想來解答習題的便利性.在今后的解題中，也會積極的模仿教師來進行分類討論，以此來為解題效率、準確性的提升奠定良好基礎(chǔ)，為之后的學習、應(yīng)用提供有力支持.

3.2 引用分類討論思想解決簡單問題

在初中數(shù)學教學中，絕對值、算術(shù)平方根等問題的分析過程通常都比較簡單.而在討論解決這類簡單問題時，若可以做到對分類討論思想的巧妙引用，可以幫助學生更好的把握分類對象與標準.且在教師的啟發(fā)指導(dǎo)下，學生若可以做出對分類討論思想具體應(yīng)用方法的掌握，之后，若再遇到函數(shù)、圖像等具有一定難度，分析解答起來較為復(fù)雜的問題時，便可以將其中有價值的信息快速提煉出來，準確的把握分類對象，高效解答問題.所以，為了給學生之后的學習、應(yīng)用奠定良好基礎(chǔ)，教師在解題教學中，應(yīng)循序漸進的滲透分類討論思想.

比如：以“不等式與不等式組”為例，在實際教學中，就可以先帶領(lǐng)學生對|x-3|>3與|x|>3中x的取值范圍進行分別討論.在這一環(huán)節(jié)，學生只需要對|x|>3進行簡單的分類討論便可以獲得x>3或x<-3的結(jié)果.而在討論|x-3|>3中x的取值范圍時，學生則需要通過計算來得到最終的答案x>6或x<0.而通過對比分析這兩道絕對值不等式的解題情況，便可以引導(dǎo)學生清楚的認識到，|x|>3之所以能夠在討論中直接得出取值范圍，是因為其絕對值內(nèi)的未知數(shù)只有x這一個，所以，這里的分類對象恰巧就是x，但一般情況下，未知數(shù)x并非是決定分類對象的關(guān)鍵，一般都是由絕對值來決定的，絕對值內(nèi)的數(shù)或者是式子才是分類討論的對象.

3.3 引用分類討論思想解決幾何問題

在解決幾何問題過程中引入分類討論思想，有助于學生空間想象力的培養(yǎng).但與數(shù)和式的分類討論不同，幾何問題中的分類討論過程，一般都需要對圖形展開空間想象，所以，若學生缺少想象力，極易在分類討論中出現(xiàn)遺漏，導(dǎo)致學生雖然投入了大量精力和時間，但最終得出的答案卻不是準確、完整的.對此，為了學生在之后的學習中可以準確的引用這一思想高效的完成幾何問題的解答，在解題教學中，可以聯(lián)系實際，通過新穎有效的輔助方法，或者是借助與之相關(guān)的道具來更直觀、形象的展現(xiàn)出問題中涉及到的圖形.這樣有助于提升解題教學效率，對其中涉及到的圖形圖案的理解上也會更加透徹.且在此背景下，學生可以高效解決問題，在之后的習題解答中，若再遇到類似的圖形問題，學生的想象、分析也會更加具體、全面.

比如：以“勾股定理”為例，就可以圍繞“已知一直角三角形兩邊長分別為3cm與5cm，求三角形未知邊邊長”這一問題來進行講解.在以往的學習中，學生經(jīng)常會接觸到3∶4∶5比例的三角形，所以，在實際解答中，大多都難以做到對題目中未規(guī)定給出的5cm是否是三角形斜邊這一情況做出充分考慮，因此，未進行分類討論，這樣最終得出的結(jié)果只有一種.基于此，為了進一步優(yōu)化教學成果，可以在講授之前，先利用多媒體直觀、形象的展現(xiàn)出由這兩條線段組成的兩種直角三角形的動圖.然后，為學生提供一定的自由空間，讓學生結(jié)合現(xiàn)有知識經(jīng)驗對這兩個三角形的具體構(gòu)成情況做出更全面、細致的觀察討論，使得學生可以在同學之間的相互啟發(fā)中對另一種答案情況進行想象構(gòu)建，完成對幾何圖形中多種分類討論項的全面認識.同時，也能夠從整體上提升學生的空間想象力，幫助學生輕松、準確且高效的解決這類問題.

3.4 引用分類討論思想解決函數(shù)問題

函數(shù)問題一直都是初中數(shù)學教學中的重點，占據(jù)的比例很大，也是考試中的難點.在以往的解題教學中，雖然也會引導(dǎo)學生進行分類討論，但很多學生都存在考慮不周的情況.如，在引導(dǎo)學生求解函數(shù)問題“已知函數(shù)y=ax2+2x+3,a為常數(shù),若函數(shù)圖像和x軸存在一個交點時,則a的取值是多少？”過程中，其主要考察的就是分類討論思想.但在具體解答中，一些學生因為對二次函數(shù)概念的理解不夠透徹、準確，所以一遇到這類問題便融入陷入到某種誤區(qū)，將該函數(shù)直接視為二次函數(shù)，但其實必須要保障二次函數(shù)的定義，必須要確保a不為0，由此可見，a是否為零便是這一題目的難點所在.教師可以將其視為例題，引入到分類討論思想的講授當中.一方面，要確保學生能夠做到對教材中相關(guān)概念的準確掌握，能夠清晰的明確一次函數(shù)、二次函數(shù)存在怎樣的區(qū)別；另一方面，要對參數(shù)所在位置做出細致觀察，若參數(shù)所處位置較為特殊，那么一定要給予著重考慮.

3.5 平面幾何歸類教學

初中是培養(yǎng)、發(fā)展空間能力的關(guān)鍵時期，而幾何知識的講解則能夠為這一能力的形成發(fā)展提供有力支持.幾何學在人們?nèi)粘Ｉ钌a(chǎn)中有著廣泛應(yīng)用，同時，幾何圖形也存在較為顯著的可區(qū)別性，且種類相對較少.基于這一特點數(shù)學教師應(yīng)基于充分把握，靈活引用分類教學模式來優(yōu)化數(shù)學課堂教學環(huán)節(jié)，幫助大家更輕松、準確且全面的掌握平面幾何的相關(guān)知識點.

在初中階段的幾何課上，除了要引導(dǎo)大家對不同的幾何圖形的特征做出深入了解之外，還要實現(xiàn)對各圖形面積計算、具體引用的準確靈活掌握.為此，在具體講授中，對于幾何多相似這一特點的利用應(yīng)充分重視，通過不斷增強分類教學有效性為幾何解題授課品質(zhì)提供一定保障.比如：針對平行四邊形的教學，就可以在授課前進行普通、特殊兩類四邊形的劃分.對于特殊這一類，主要涉及到長方形、正方形，還有菱形等平行四邊形.而在進行面積習題的講解時，則可以鼓勵大家以長乘高、分割法等不同的方式來解題，或者是結(jié)合實際來進行分類教學活動組織，讓學生在分類討論解題中對四邊形有更全面、深入的了解，從整體上提升大家對四邊形面積的解題能力.除此之外，在其他幾何課上，也可以結(jié)合實際授課需求，以類似于分類教學的方式，為大家進行系統(tǒng)化的歸類，幫助大家快速、準確的理清思路，增強幾何解題教學有效性.

3.6 分類討論直線型習題

對于直線型習題來講，主要是圍繞線段、三角形來展開的分類討論，尤其是對三角形高的相關(guān)問題的討論.

比如：已知一個三角形為等腰三角形，兩邊的邊長分別是3cm、6cm，請計算這個三角形的周長.很多學生在解答這一習題時都容易出現(xiàn)錯誤.在剛閱讀這一習題時，有的學生可能會覺得沒有什么難度，非常快速的就完成了解答，但之后一和答案對照卻發(fā)現(xiàn)自己的答案是錯誤的.之后再思考的時候才明白自己錯在了哪.很多學生在遇到這類習題時，習慣性的馬上解答，很少會對解題的第二種方案作出細致考慮，進而導(dǎo)致最終沒有得出完整的答案.而之所以會出現(xiàn)片面的答案，其中一個主要原因就是因為大家未做到對分類討論思想的準確、靈活掌握.因此，不論是為了學生現(xiàn)階段解題準確性與效率的提升，還是為了大家未來的學習發(fā)展，都要重視起分類討論思想在日常解題教學活動中的有效滲透.

綜上所述，在初中數(shù)學教學活動開展中，通過分類討論思想的恰當引入，既可以幫助學生明確分類討論對象與標準，也能夠引導(dǎo)學生從不同角度來作出深入思考與探究.這樣既有助于學生空間想象力的激活，也能夠促進學生解題效率與準確性的顯著提升，為生動、高效數(shù)學課堂的構(gòu)建提供有力支持.同時，學生也能夠在分類討論中逐漸養(yǎng)成良好的思維習慣.