幾何直觀視角下數(shù)與代數(shù)教學(xué)設(shè)計(jì)研究

邵 楠

（南京師大附中江寧分校,江蘇 南京 210000）

作為小學(xué)階段的重點(diǎn)科目，數(shù)學(xué)對(duì)發(fā)展學(xué)生直觀想象能力、邏輯分析能力等有重要意義，通過(guò)對(duì)幾何直觀視角下的數(shù)與代數(shù)教學(xué)進(jìn)行研究，能極大豐富數(shù)學(xué)授課內(nèi)容，優(yōu)化教學(xué)形式，對(duì)提升數(shù)與代數(shù)教學(xué)質(zhì)量有重要意義。

一、概念

1.數(shù)與代數(shù)是小學(xué)階段數(shù)學(xué)課程的重點(diǎn)之一，能有力發(fā)展學(xué)生抽象思維、分析能力，為后續(xù)更深層次數(shù)學(xué)知識(shí)學(xué)習(xí)打下堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ)。

2.幾何直觀通常是指，將數(shù)學(xué)問(wèn)題結(jié)合圖形進(jìn)行分析、研究，是一種學(xué)生必須熟練掌握的技能，也是新課標(biāo)下數(shù)學(xué)核心能力的主要部分。

二、幾何直觀在小學(xué)數(shù)與代數(shù)教學(xué)中的意義

通過(guò)對(duì)教學(xué)內(nèi)容深入研究，樹(shù)立符合學(xué)生實(shí)情的教學(xué)目標(biāo)，引導(dǎo)學(xué)生更自主、直觀地學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)，能夠結(jié)合幾何直觀思想將數(shù)與代數(shù)問(wèn)題實(shí)行合理轉(zhuǎn)化。

（一）培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)造性思維

教師通過(guò)“數(shù)與代數(shù)”的知識(shí)內(nèi)容，幫助學(xué)生將數(shù)與形實(shí)行有效連接、整合，讓學(xué)生能結(jié)合數(shù)學(xué)概念計(jì)算幾何問(wèn)題，更高效、直觀地理解所學(xué)知識(shí)。在教師引導(dǎo)之下，學(xué)生面對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)要能從多層面實(shí)行分析，并利用幾何直觀思維處理問(wèn)題，在觀察、分析的基礎(chǔ)上形成一定的幾何直觀能力，進(jìn)而促使自身創(chuàng)造性思維進(jìn)一步發(fā)展。

（二）幫學(xué)生正確理解數(shù)學(xué)概念、內(nèi)容

幾何直觀思想涉及小學(xué)數(shù)學(xué)的很多層面，在數(shù)與代數(shù)的教學(xué)中，教師要結(jié)合幾何直觀思想幫助學(xué)生更好地理解數(shù)與形的關(guān)系，發(fā)展學(xué)生主動(dòng)思考、主動(dòng)理解的能力。數(shù)字與圖形在數(shù)學(xué)中有很深的關(guān)系，實(shí)行教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)，教師要將這兩個(gè)因素充分整合，利用圖形對(duì)數(shù)與代數(shù)的問(wèn)題實(shí)行生動(dòng)描述，幫助學(xué)生理清解題思路，提升學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)、數(shù)與代數(shù)概念的理解。在本課的教學(xué)設(shè)計(jì)中，教師要以“數(shù)與代數(shù)”為基石，著力發(fā)展學(xué)生空間思維能力，利用多彩的圖形幫助學(xué)生解決、思考數(shù)與代數(shù)問(wèn)題，增強(qiáng)他們的動(dòng)手解題能力，逐步掌握用幾何直觀能力解決、描述、分析問(wèn)題，高效完成教學(xué)任務(wù)。

（三）助力學(xué)生科學(xué)思維發(fā)展

數(shù)學(xué)概念在發(fā)展時(shí)主要的形式可總結(jié)為“直觀—抽象—直觀”，從這里可以看出，幾何直觀能力在數(shù)學(xué)教學(xué)中意義重大，是學(xué)生必須要掌握的技能之一。在“數(shù)與代數(shù)”這部分內(nèi)容中，學(xué)生要明確不同的數(shù)字類(lèi)型，比如負(fù)數(shù)、分?jǐn)?shù)、小數(shù)等，并利用幾何直觀的方式分析數(shù)字問(wèn)題，結(jié)合圖形理解教學(xué)內(nèi)容，從而發(fā)展自身的科學(xué)思維。

三、結(jié)合案例，基于幾何直觀視角下的數(shù)與代數(shù)教學(xué)設(shè)計(jì)研究

（一）引入直觀情境，深化概念理解

【案例1】

在蘇教版五年級(jí)《倍數(shù)與因數(shù)》中，教材并沒(méi)有給出直接關(guān)于“倍”的定義，只是簡(jiǎn)單描述了兩個(gè)物體間的關(guān)系，以此讓學(xué)生理解相應(yīng)的倍數(shù)概念。在實(shí)際的授課中，如果教師沒(méi)有引入適合的教學(xué)形式，學(xué)生對(duì)這一課知識(shí)進(jìn)行認(rèn)知、學(xué)習(xí)時(shí)可能會(huì)出現(xiàn)思維混亂的情況。鑒于此，筆者開(kāi)展了如下的教學(xué)設(shè)計(jì)：

教師：前天有個(gè)小猴子到菜市場(chǎng)買(mǎi)了好多香蕉回來(lái)，現(xiàn)在各位同學(xué)請(qǐng)你們幫助小猴子將這些香蕉分成幾堆，說(shuō)一說(shuō)大家是怎么分的呢？

生1：有青香蕉、黃香蕉，還有不能吃的黑香蕉。

教師：那么，這三種香蕉分別有多少呢？

生2：其中有青香蕉2 個(gè)，黃香蕉6 個(gè)，還有黑香蕉10 個(gè)。

教師：青香蕉的數(shù)量是2，黃香蕉的數(shù)量是6，那大家知道6 和2 之間的倍數(shù)是多少嗎？

生3：6 是2 的3 倍，倍數(shù)是3。

教師：從這里我們能夠明白，黃香蕉是青香蕉的3倍，大家能夠明白什么叫倍數(shù)了嗎？

生（眾）：知道了。

教師：那么我現(xiàn)在問(wèn)大家一個(gè)問(wèn)題，你們誰(shuí)能告訴我，黑香蕉是青香蕉的多少倍呢？如果2 作為因數(shù)，那它和幾相乘能夠得到黑香蕉的數(shù)量呢？

生4：黑香蕉是青香蕉的5 倍。如果2 是因數(shù)，那么它和5 相乘便能得到黑香蕉的數(shù)量。

通過(guò)構(gòu)建這樣的一個(gè)直觀情境，利用三種香蕉間的數(shù)量關(guān)系開(kāi)展數(shù)與代數(shù)的教學(xué)，能讓學(xué)生在和教師的問(wèn)答之間對(duì)倍數(shù)與因數(shù)的概念產(chǎn)生更深入理解。

（二）借助直觀圖形，理解概念本質(zhì)

小學(xué)生記憶力較好，但理解能力不足。在這一特點(diǎn)下，很多學(xué)生常常是能在較短時(shí)間內(nèi)記住概念，但在理解其本質(zhì)方面存在一些困難。結(jié)合幾何直觀理念，教師可以利用直觀圖形對(duì)數(shù)與代數(shù)的概念進(jìn)行分析，幫助學(xué)生認(rèn)清不同概念間的區(qū)別，高效地抓住概念本質(zhì)內(nèi)涵。在實(shí)踐中，教師可以從教材入手，通過(guò)對(duì)數(shù)與代數(shù)知識(shí)進(jìn)行巧妙整合，實(shí)現(xiàn)數(shù)與形的有機(jī)結(jié)合，提升學(xué)生對(duì)概念本質(zhì)的理解水平。

【案例2】

在教授《分?jǐn)?shù)的意義和性質(zhì)》時(shí)，蘇教版的教材上對(duì)分?jǐn)?shù)的定義給出了準(zhǔn)確描述：通過(guò)平均分一個(gè)物體或者一個(gè)正方形、圓等，取其中的一份或幾份就是分?jǐn)?shù)。在教學(xué)實(shí)踐中，教師要重視對(duì)幾何直觀思維引入，讓學(xué)生除了能夠利用圖形表示分?jǐn)?shù)，還可以結(jié)合圖形對(duì)分?jǐn)?shù)的概念進(jìn)行闡述。通過(guò)這樣的訓(xùn)練方式，促使學(xué)生的幾何直觀能力、對(duì)知識(shí)本質(zhì)的理解水平得到進(jìn)一步提升。在實(shí)踐方面，筆者的教學(xué)設(shè)計(jì)如下：

教師：如果把一個(gè)月餅平均切成4 份，將其中的三份送給別人，留下的這一份占整個(gè)月餅的多少？

生1：占整個(gè)月餅的1/4。

教師：相信大家對(duì)于分?jǐn)?shù)的概念都有了一定了解，現(xiàn)在大家請(qǐng)看黑板上的圖形，你們能知道它們分別代表多少嗎？（教師在黑板上畫(huà)出三個(gè)圖形，并將其進(jìn)行分割、涂色。）

生2：這些圖形分別代表1/4、2/5 和3/4。

教師：看來(lái)大家對(duì)于分?jǐn)?shù)的意義、性質(zhì)都有了初步了解，現(xiàn)在你們能?chē)L試畫(huà)出3/8 的圖形嗎？

生（眾）：能。

借助幾何直觀思想，學(xué)生能對(duì)本課涉及的概念產(chǎn)生更深入理解。學(xué)生除了能夠用不同的方式表達(dá)分?jǐn)?shù)，還能逐漸明白整體與部分的關(guān)系。實(shí)際上，單位“1”表示的不僅僅是一個(gè)物體，還可以是一組物體。通過(guò)在實(shí)際教學(xué)中對(duì)學(xué)生進(jìn)行引導(dǎo)，啟發(fā)他們將數(shù)與代數(shù)知識(shí)結(jié)合圖形思考，能大幅增強(qiáng)學(xué)生思維能力發(fā)展，使其更深入理解概念背后的深刻含義。

【案例3】

教授蘇教版五年級(jí)《負(fù)數(shù)的初步認(rèn)識(shí)》時(shí)，教師可以結(jié)合生活中的“氣溫”和“存折”等概念開(kāi)展授課，以此讓學(xué)生對(duì)兩個(gè)相反意義的量進(jìn)行認(rèn)識(shí)。比如，氣溫升高、存款增加可以用正數(shù)表示，氣溫下降、存款減少可以用負(fù)數(shù)表示。另外，在實(shí)際授課中，數(shù)學(xué)教師可以結(jié)合幾何直觀理念，幫助學(xué)生深入理解負(fù)數(shù)的概念，讓學(xué)生不再只是記憶有“-”號(hào)的就是負(fù)數(shù)，使其對(duì)負(fù)數(shù)的認(rèn)識(shí)上升到一個(gè)更深的層次。

具體的教學(xué)設(shè)計(jì)如下：

教師：同學(xué)們，我們都知道帶有“-”號(hào)的數(shù)表示負(fù)數(shù)，那么氣溫計(jì)上顯示的-15℃、存折上標(biāo)記的-200元，表示什么意思？

生1：氣溫計(jì)上的-15℃代表氣溫在零下15 攝氏度，存折上的-200 元，表示支出了200 元。

教師：請(qǐng)大家回想關(guān)于數(shù)軸的知識(shí)點(diǎn)，思考一下-5、0、5 分別在數(shù)軸的什么位置，不同數(shù)字表示怎樣的含義？

生2：5 和-5 在數(shù)軸上表示相反的意思。

教師：為什么-5 在0 的左邊呢？

生3：因?yàn)? 的右邊表示的數(shù)越來(lái)越大，在相反的方向，越往左邊數(shù)越小。

從這里可以看到，教師借助數(shù)軸能夠更直觀地將負(fù)數(shù)表示出來(lái)，幫助學(xué)生對(duì)負(fù)數(shù)產(chǎn)生更深入的認(rèn)知。

通過(guò)對(duì)上述案例進(jìn)行分析能夠明確得知，幾何直觀理念能幫助學(xué)生對(duì)數(shù)與代數(shù)的概念產(chǎn)生更深入理解。教師在開(kāi)展教學(xué)時(shí)，要重視引導(dǎo)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念本質(zhì)的探究，并利用圖形輔助教學(xué)，讓講解變得更清晰、直觀，在無(wú)形中降低學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解、認(rèn)知難度。

（三）強(qiáng)化直觀操作，重視知識(shí)應(yīng)用

在對(duì)數(shù)學(xué)中數(shù)與代數(shù)部分知識(shí)進(jìn)行直觀講解后，學(xué)生能否會(huì)用便成了教學(xué)關(guān)鍵。小學(xué)生在理解數(shù)學(xué)知識(shí)的內(nèi)涵后，如果不能正確應(yīng)用，將極大影響學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)意義的理解。因此，在開(kāi)展教學(xué)實(shí)踐時(shí)，教師要在其中加入動(dòng)手操作的部分，在鍛煉學(xué)生思維的同時(shí)增強(qiáng)其對(duì)知識(shí)的應(yīng)用水平。

例如，在學(xué)生理解《分?jǐn)?shù)的意義和性質(zhì)》后，教師可以安排一個(gè)“折一折”的課堂活動(dòng)。學(xué)生可以將正方形紙片折成1/3、1/4、1/6 等。在這個(gè)過(guò)程中，學(xué)生可能會(huì)逐漸發(fā)現(xiàn)，不同的折法都能表示同樣的分?jǐn)?shù)，這些都可以看作是對(duì)分?jǐn)?shù)知識(shí)的再認(rèn)識(shí)。

同理，教師還可以安排“畫(huà)一畫(huà)”活動(dòng)，學(xué)生在活動(dòng)中能對(duì)一個(gè)圓形紙片進(jìn)行涂色，以此表現(xiàn)出1/4、3/4、5/4 等。在這個(gè)過(guò)程中，思維能力、空間能力得到有效培養(yǎng)，無(wú)形中讓學(xué)生對(duì)分?jǐn)?shù)知識(shí)更深入認(rèn)知。

本文通過(guò)引入二極管—電感并聯(lián)網(wǎng)絡(luò)[15-16],構(gòu)建了一個(gè)新型的改進(jìn)型文氏橋混沌振蕩器,簡(jiǎn)化了電路的復(fù)雜度[12]。

再如，學(xué)習(xí)了“倍數(shù)與因數(shù)”的知識(shí)之后，教師可以安排“擺一擺”活動(dòng)。學(xué)生結(jié)合教師的要求，將小木棍和圓片擺成兩堆，要求小木棍是圓片的5 倍或者圓片是小木棍的3 倍。通過(guò)“擺一擺”活動(dòng)，學(xué)生對(duì)于倍數(shù)、因數(shù)的理解將更深入，在擺的過(guò)程中學(xué)生也會(huì)對(duì)結(jié)果進(jìn)行思考。

通過(guò)此類(lèi)活動(dòng)，教師能將靜態(tài)的知識(shí)動(dòng)態(tài)化，以此引發(fā)學(xué)生思維發(fā)展，促使其思維能力水平得到進(jìn)一步提升。

（四）結(jié)合幾何信息，讀懂?dāng)?shù)量關(guān)系

理解數(shù)量關(guān)系是進(jìn)行數(shù)與代數(shù)教學(xué)的第一步，學(xué)生在進(jìn)行數(shù)與代數(shù)的計(jì)算時(shí)，首先要對(duì)數(shù)量關(guān)系建立清晰認(rèn)知，明白數(shù)量關(guān)系表示的意思。只有在腦海中明確數(shù)量間的關(guān)系，學(xué)生才能更精準(zhǔn)地實(shí)施計(jì)算。為此，教師可以在教學(xué)中引入幾何圖形，引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)讀圖的方式讀懂?dāng)?shù)量關(guān)系，以此促使學(xué)生的幾何直觀意識(shí)得到進(jìn)一步發(fā)展。

【案例4】

教授《分?jǐn)?shù)加法和減法》時(shí)，教師可以畫(huà)一個(gè)圓形圖展示不同類(lèi)型生活垃圾所占的份額，學(xué)生在計(jì)算前要理解不同類(lèi)型垃圾占整體份額的多少，這樣方可實(shí)施準(zhǔn)確計(jì)算。

具體的教學(xué)設(shè)計(jì)如下：

教師：從圖中你能算出廢紙和廢銅在生活垃圾中有多少占比嗎？（利用媒體設(shè)備，展示餅狀圖。）

生1：廢紙占所有垃圾的3/10，廢銅占所有垃圾的1/4。

教師：如果想知道這兩種垃圾在所有垃圾中的占比，可以直接將兩個(gè)數(shù)值相加嗎？如果可以，結(jié)果是多少？如果不可以，請(qǐng)說(shuō)出原因。

生2：不能將兩個(gè)數(shù)值直接相加，因?yàn)檫@兩個(gè)分?jǐn)?shù)的分母不一樣。

教師：如何才能將兩個(gè)數(shù)相加呢？

生3：可以將兩個(gè)分母都轉(zhuǎn)化成20，這樣便可相加了。3/10+1/4=6/20+5/20=11/20。

通過(guò)在教學(xué)中引入幾何圖形，能幫助學(xué)生對(duì)數(shù)量關(guān)系知識(shí)更深入理解，學(xué)生對(duì)知識(shí)的應(yīng)用、遷移能力也會(huì)得到大幅提升。

四、基于幾何直觀對(duì)“數(shù)與代數(shù)”教學(xué)設(shè)計(jì)總結(jié)及反思

通過(guò)將幾何直觀思維引入到數(shù)與代數(shù)的教學(xué)中，教師能幫助學(xué)生更深入地理解相應(yīng)的數(shù)學(xué)概念、明確數(shù)學(xué)計(jì)算原理，幫助他們?cè)诮鉀Q問(wèn)題時(shí)找到更加可行的策略。當(dāng)然，在利用幾何直觀思維教學(xué)時(shí)教師要把握好一個(gè)“度”，并不是所有問(wèn)題都要強(qiáng)行利用幾何直觀思維解決。一般來(lái)說(shuō)，在遇到復(fù)雜、難理解的問(wèn)題時(shí)，可以通過(guò)幾何直觀教學(xué)幫助學(xué)生將問(wèn)題簡(jiǎn)單化、直觀化，提升教學(xué)效率。

通過(guò)本次教學(xué)活動(dòng)，能幫助學(xué)生逐漸形成幾何直觀意識(shí)，從而在無(wú)形中促使學(xué)生的數(shù)學(xué)思維、數(shù)學(xué)技能、數(shù)學(xué)素養(yǎng)得到進(jìn)一步發(fā)展。

在開(kāi)始本研究前，筆者為了突出新穎性和前沿性，將研究?jī)?nèi)容鎖定在了《課程標(biāo)準(zhǔn)（2011 年版）》的核心概念“幾何直觀”方面，并嘗試運(yùn)用理論構(gòu)建幾何直觀的水平劃分，以實(shí)證作為支撐，遇到的困難是需要編制的幾何直觀水平測(cè)試題難度大，需要深入不同學(xué)校做大樣本測(cè)試，僅憑個(gè)人力量無(wú)力完成。然后，筆者轉(zhuǎn)向研究幾何直觀的認(rèn)知，教師大都在用直觀圖形教學(xué)，從根底上剖析幾何直觀為什么會(huì)對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)產(chǎn)生正面效果，也就是學(xué)理分析。由于筆者研究水平有限，理論分析不深，研究得很膚淺，設(shè)計(jì)的案例難免有不合理的地方，選取的大量案例和例證難免帶有個(gè)人經(jīng)驗(yàn)主義色彩，僅對(duì)幾何直觀教學(xué)設(shè)計(jì)的要求、方法和途徑、設(shè)計(jì)部分案例作了粗淺的研究，只能起到拋磚引玉的作用。