剖析中考中冪的運算

高靈敏

中考中對冪的運算相關知識點的考查主要出現在選擇題和解答題中。2021年江蘇省13個設區市有11個市涉及冪的運算，其中常州、徐州、鹽城、淮安、宿遷5個市將冪的運算相關知識點設計在兩道題目中。

下面我們先來具體回顧一下冪的運算性質：

1.同底數冪的乘法：am·an=am+n（m、n是正整數）;

2.冪的乘方：（am）n=amn（m、n是正整數）;

3.積的乘方：（ab）n=anbn（n是正整數）;

4.同底數冪的除法：am÷an=am-n（a≠0，m、n是正整數，m>n）。

在規定了零指數冪a0=1（a≠0）和負指數冪a-n=[1an]=（[1a]）n（a≠0，n是正整數）的意義后，同底數冪的除法運算性質擴展為：am÷an=am-n（a≠0，m、n是整數）。

基本知識點不多，而且簡短，可為什么作為必考點，同學們的得分率卻不高呢？其一，公式過于相似，對于死記硬背的同學來說容易混淆;其二，命題人混入了其他外形相近的式子，在下面的例題中老師會具體闡述。

先解決第一個問題，am是冪的形式，表示m個a相乘，同理an表示n個a相乘，那么am?an就表示m+n個a連乘，故寫成冪的形式是am+n;am÷an表示m個a相乘的結果除以n個a相乘的結果，得m-n個a相乘，故寫成冪的形式是am-n;（am）n表示n個am相乘，利用同底數冪相乘，底數不變，指數相加，n個m相加得mn，故結果為amn;（ab）n的底數是ab，該式表示n個ab相乘，利用乘法的交換律和結合律可以得到n個a的乘積再乘n個b的乘積，寫成冪的形式就是anbn。這樣我們把4個冪的運算性質又推導了一遍，在理解的基礎上記憶，就能避免混淆。同時，再觀察這4個冪的運算性質，我們會發現，等號右邊的運算級別總比左邊低一級，這也是這幾個公式的特征點。

例1 （2021·江蘇南京）計算（a2）3·a-3的結果是（ ）。

A.a2 B.a3 C.a5 D.a9

【分析】根據冪的運算性質即可求出答案。

解：原式=a6?a-3=a3。故選B。

【點評】本題主要考查冪的乘方及同底數冪的乘法，掌握這兩個運算性質是解決本題的關鍵。

例2 （2021·江蘇宿遷）下列運算正確的是（ ）。

A.2a-a=2 B.（a2）3=a6

C.a2?a3=a6 D.（ab）2=ab2

【分析】根據合并同類項和冪的運算性質即可求出答案。

解：A選項，原式=a，考查合并同類項，系數相加（減），字母及指數不變;B選項，原式=a2×3=a6，考查冪的乘方;C選項，原式=a2+3=a5，考查同底數冪相乘;D選項，原式=a2b2，考查積的乘方。故選B。

【點評】本題綜合考查合并同類項和冪的運算性質，熟練并準確掌握合并同類項和4個冪的運算性質是解決本題的關鍵。當多種計算法則聚于一題，如此題的冪的乘法、乘方、合并同類項等，就要求同學們對相關知識要理解透徹并準確記憶。

例3 （2021·江蘇徐州）計算：[-2]-20210+[83]-（[12]）-1。

【分析】根據絕對值、零指數冪、負指數冪、開立方的概念即可求出答案。

解：原式=2-1+2-2=1。

【點評】本題作為解答題的第一道題，綜合考查絕對值、零指數冪、負指數冪、開立方等4個知識點，熟練并準確掌握這4個知識點是解題的關鍵。解題的難點在于負指數冪的應用。當底數是分數時，利用底數取倒數，指數取相反數（簡稱“底倒指反”），無論在書寫時還是在計算時都會更簡單。

冪的運算性質和兩個規定，一定要深刻理解，準確記憶，這樣才能把相關的分數收入囊中。

（作者單位：江蘇省豐縣初級中學）

小試牛刀

1.計算a2?a的結果是（ ）。

A.a3 B.a2 C.a D.2a2

2.計算（m2）3的結果是（ ）。

A.m5 B.m6 C.m8 D.m9

3.下列計算正確的是（ ）。

A.（a3）3=a9 B.a3?a4=a12

C.a2+a3=a5 D.a6÷a2=a3

4.下列計算正確的是（ ）。

A.a3+a3=a6 B.a3?a3=a6

C.（a2）3=a5 D.（ab）3=ab3

5.下列計算正確的是（ ）。

A.a2+a=a3 B.（a2）3=a5

C.a8÷a2=a4 D.a2?a3=a5

6.（-3）0等于（ ）。

A.0 B.1 C.3 D.-3

7.計算：（π-1）0+[8]-4sin45°。

8.計算：[4]-（-1）2-（π-1）0-2-1。

9.計算：（1-[2]）0-2sin45°+[2]。

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