實數的六個命題點

劉瓊瓊

實數是中考重點考查的知識點之一，但許多同學認為實數內容相對簡單，不太重視實數的學習，從而在解決與實數相關的題目時出現會做但做錯的現象。現從六個命題點進行知識梳理，查漏補缺，以期對同學們的復習有所幫助。

命題點一：絕對值、相反數、倒數

例1 （1）-2021的絕對值是（ ）。

A.[12021] B.[-12021] C.-2021 D.2021

（2）[-13]的相反數是（ ）。

A.[13] B.[-13] C.3 D.-3

（3）實數100的倒數是（ ）。

A.100 B.-100 C.[1100] D.[-1100]

【解析】根據絕對值、相反數、倒數的概念解題。（1）D;（2）A;（3）C。

【點評】（1）正數的絕對值是它本身，負數的絕對值是它的相反數，0的絕對值是0。（2）一個正數的相反數是負數，一個負數的相反數是正數，0的相反數是0。（3）求一個數的倒數有以下技巧：①求整數的倒數，可以把整數看成是分母為1的分數，再把分數的分子、分母顛倒位置即可;②求真分數的倒數，直接把分數的分子、分母顛倒位置即可;③求一個小數的倒數，先把小數化成分數，再求其倒數;④求一個帶分數的倒數，先把帶分數化成假分數，再求其倒數。

命題點二：科學記數法

例2 （1）2021年揚州世界園藝博覽會以“綠色城市，健康生活”為主題。在某搜索引擎中輸入“揚州世界園藝博覽會”，約有3020000個相關結果，數據3020000用科學記數法表示為 。

（2）原子很小，1個氧原子的直徑大約為0.000000000148m，將0.000000000148用科學記數法表示為 。

（3）據國家衛生健康委員會發布，截至2021年5月23日，31個省（區、市）及新疆生產建設兵團累計報告接種新冠病毒疫苗51085.8萬劑次，將“51085.8萬”用科學記數法表示為（ ）。

A.0.510858×109 B.51.0858×107

C.5.10858×104 D.5.10858×108

【解析】科學記數法是把一個數寫成a×10n的形式，1≤[a]<10，n為不等于0的整數。（1）3.02×106;（2）1.48×10-10;（3）D。

【點評】把一個數用科學記數法表示的方法：（1）a值的確定，1≤[a]<10。（2）n值的確定，當原數的絕對值≥10時，n是正整數，n的值等于原數的整數位數減1或原數變為a時小數點向左移動的位數;當0<原數的絕對值<1時，n是負整數，n的絕對值等于原數中左起第1個非零實數前零的個數（包括小數點前面的0）或原數變為a時小數點向右移動的位數。另外還要注意原數字后面的萬、億等單位，以及結果是否需要計算。

命題點三：數軸的應用

例3 實數a、b在數軸上的對應點的位置如圖所示，下列結論中正確的是（ ）。

A.a>-2 B.[a]>b

C.a+b>0 D.b-a<0

【解析】觀察數軸得出a<-2，b>0，[a]>[b]，故A選項錯誤，B選項正確;根據有理數的加法法則a+b<0，C選項錯誤;因為b>a，所以b-a>0，D選項錯誤。故選B。

【點評】觀察數軸上的數應從三個方面入手：（1）數的正負性;（2）絕對值大小;（3）利用數軸比較大小（數軸上右邊的數總大于左邊的數）。解決此題需要把數與形結合起來，體現了數形結合思想。

命題點四：平方根、算術平方根、立方根

例4 （1）49的平方根是 。

（2）4的算術平方根為 。

（3）64的立方根是 。

【解析】根據平方根、算術平方根、立方根的概念解題。（1）±7;（2）2;（3）4。

【點評】非負數a的平方根是[±a]，算術平方根是[a]，實數b的立方根是[b3]。

命題點五：無理數的估算

例5 若m<[27]

【解析】因為[27]=[28]，[25]<[28]<[36]，所以5<[28]<6，所以m=5。

【點評】估算[a]的取值范圍，需從兩個方面入手：（1）確定與a相鄰的兩個完全平方數，即比a大和比a小且最接近a的兩個完全平方數;（2）分別求出這些完全平方數的算術平方根，從而得出m的值。

命題點六：實數的運算

例6 （1）[-2]-20210+[83]-（[12]）-1。

（2）（[-13]）0+[3-3]+tan60°。

【解析】（1）和（2）涉及絕對值、零指數冪、立方根、負指數冪、特殊角的三角函數值等考點。在計算時，我們首先應針對每個考點分別進行計算，然后根據實數的運算法則求得計算結果。

（1）原式=2-1+2-2=1。

（2）原式=1+3-[3]+[3]=4。

【點評】實數的運算通常將絕對值、算術平方根、立方根、零指數冪、負指數冪、特殊角的三角函數等考點集于一題，綜合考查運算能力。解題時要注意以下幾點：（1）零次冪，a0=1（a≠0）;（2）負整數指數冪，a-p=[1ap]（a≠0，p為正整數），特別地，a-1=[1a]（a≠0）;（3）熟記特殊角的三角函數值;（4）注意各項的符號。

（作者單位：江蘇省豐縣常店初級中學）

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