因式分解的“廬山真面目”

袁瑞玲

因式分解是初中數學中的重要知識，在中考試題中經常見到。我們在學習時，首先，要熟記乘法公式，知道因式分解和整式乘法互為逆運算;其次，要能熟練運用乘法法則進行因式分解。下面以近三年的中考題為例，瞧一瞧因式分解的“廬山真面目”。

一、提公因式

例1 （2019·江蘇蘇州）因式分解：x2-xy= 。

【分析】通過觀察，可知公因式是x，因此，提出x即可得出答案。

解：x2-xy=x（x-y）。

【點評】提公因式法因式分解是本題的考點，通過觀察，正確找出公因式是解題的關鍵。

例2 （2019·江蘇宿遷）因式分解：a2-2a= 。

【分析】觀察原式，找到公因式a，提出a即可得出答案。

解：a2-2a=a（a-2）。

【點評】例1、例2兩題主要考查了提取公因式法因式分解，正確找出公因式是解題關鍵。提公因式法因式分解的一般步驟是：一取多項式各項系數的最大公約數為公因式的系數，二把多項式各項都含有的相同字母（或因式）的最低次冪的積作為公因式的因式。

二、借助公式法

例3 （1）（2021·江蘇蘇州）因式分解：x2-2x+1= 。

（2）（2021·江蘇連云港）因式分解：9x2+6x+1= 。

【分析】此例考查的是用完全平方公式進行因式分解。

解：（1）x2-2x+1=（x-1）2。

（2）9x2+6x+1=（3x+1）2。

【點評】此例主要考查了用公式法因式分解，我們要熟記并理解完全平方公式a2+2ab+b2=（a+b）2，a2-2ab+b2=（a-b）2，正確應用公式是解題的關鍵。

例4 （2020·江蘇鎮江）因式分解：9x2-1= 。

【分析】式子符合平方差公式的結構特點，應熟記平方差公式a2-b2=（a+b）·（a-b），利用平方差公式分解即可。

解：9x2-1=（3x）2-12

=（3x+1）（3x-1）。

【點評】本題考查用平方差公式因式分解，我們應熟記平方差公式的特點：兩項平方項，符號相反。

三、運用綜合方法

例5 （2020·江蘇無錫）因式分解：ab2-2ab+a= 。

【分析】先提取公因式a，再利用公式法繼續分解。

解：ab2-2ab+a=a（b2-2b+1）=a（b-1）2。

【點評】本題考查了提公因式法以及公式法因式分解，正確應用公式是解題的關鍵。因式分解的一般步驟是“一提二看三查”。首先要看能不能提取公因式，如果有就要先提取，再觀察所剩項數，最后要注意分解徹底。兩項則考慮平方差公式，三項則考慮完全平方公式。

例6 （2021·江蘇無錫）因式分解：2x3-8x= 。

【分析】先提取公因式2x，再利用平方差公式分解即可。

解：原式=2x（x2-4）=2x（x+2）（x-2）。

【點評】解決本題的關鍵是掌握提公因式法和平方差公式。一個多項式有公因式，應首先提取公因式，然后再用公式法進行因式分解。同時，因式分解要徹底，要分解到不能分解為止。

四、明確因式分解的考查，“識得廬山真面目”

例7 （2019·江蘇徐州）若a=b+2，則代數式a2-2ab+b2的值為 。

【分析】由a=b+2，可得a-b=2，所求代數式變形后，整體代入即可。

解：∵a=b+2，

∴a-b=2，

∴a2-2ab+b2=（a-b）2=22=4。

【點評】本題考查了代數式求值，利用完全平方公式因式分解。熟記完全平方公式的結構特征是解決本題的關鍵。

例8 （2019·江蘇南京）因式分解（a-b）2+4ab的結果是 。

【分析】直接利用多項式乘法去括號，進而合并同類項，再利用公式法因式分解即可。

解：（a-b）2+4ab=a2-2ab+b2+4ab=a2+2ab+b2=（a+b）2。

【點評】本題主要考查了運用公式法因式分解，正確應用公式是解題關鍵。

總之，同學們要想在因式分解中不失分，就必須重視基礎知識，真正地看清它的“廬山真面目”，才能做到有的放矢。

（作者單位：江蘇省豐縣和集初級中學）

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