基于Adams-Bashforth-Moulton 預估校正法的NURBS 插補算法研究*

李錢寬 張永林

（江蘇科技大學 鎮江 212003）

1 引言

高速、高精、高質量的復雜曲線曲面加工技術在航空航天、精密儀器等行業中有著非常重要的國家戰略意義［1］。NURBS（Non-Uniform Rational BSplines）曲線在復雜工件幾何形狀的描述和控制上具有優異的表現能力。隨著工件型面復雜度和加工精度需求的提高，傳統直線插補的方法已經無法滿足加工要求，NURBS 曲線直接插補是目前最有效的解決方法［2～3］。

目前，NURBS 曲線插補中應用最廣泛的是Taylor級數展開法［4～5］，此方法雖然可直接得到插補點參數，但在計算時需要求取插補曲線的一階導數和二階導數，計算繁雜，影響算法的實時性；而且截斷誤差較大，當増加保留項數時，可降低截斷誤差，但計算量會大幅增大。

為解決這種問題，國內外學者提出基于“預估-校正”的新算法［6～10］，通過二階Taylor 展開法或Adams 微分方程預估插補點參數，進而計算實際步長與理想步長間偏差，以降低該步長偏差為目標，迭代反饋校正參數值，使實際加工步長與理想值間偏差小于設定的約束極限。

為了提高NURBS 曲線插補參數計算的準確性，降低插補過程中的速度波動，本文在以上研究的基礎上提出了一種基于Adams-Bashforth-Moulton（以下稱ABM）預估-校正的NURBS 插補算法。通過分析NURBS 曲線插補算法的原理，首先考慮插補速度規劃，在弓高誤差和進給方向加速度的約束下計算期望步長；然后在插補速度波動的約束下利用Adams-Bashforth-Moulton 預估校正法得到下一點插補參數。最后使用Matlab 仿真平臺進行了仿真實驗。

2 NURBS曲線插補算法

2.1 NURBS曲線的定義

一條有n+1 個控制點的k次NURBS 曲線的有理分式定義為

2.2 插補速度約束

插補過程中不僅需要對誤差進行控制，還需要保證插補速度的平穩性。NURBS 曲線插補進給速度vi主要受到以下條件約束：最大弓高誤差emax、最大法向加速度aNmax、最大法向加加速度JNmax及指令速度Fmax［13］。

1）弓高誤差條件約束

采用圓弧近似法計算弓高誤差。如圖，首先計算當前插補點Qi處的曲率半徑ρi，計算公式為

2）機床動力學參數條件約束

設插補點Qi處的曲率半徑為ρi，給定最大的法向加速度aNmax，最大法向加加速度JNmax，則在法向加速度和加加速度約束下，插補點Qi處的最大進給速度分別為

3 基于Adams-Bashforth-Moulton法的預估校正算法

3.1 基于Adams-Bashforth-Moulton 法的參數預估

基于Adams-Bashforth-Moulton 法預估校正算法預估下一點插補參數。結合了顯式的四步四階Adams-Bashforth 方法和隱式的三步四階Adams-Moulton方法進行預估計算，方法如下［14］：

由于同階的隱式方法比顯式方法的截斷誤差更小，所以使用式（3）計算ui+1能獲得更準確的計算結果。

計算中，先按照式（5）進行一次預估，然后再代入式（6）進行一次校正，從而得到較為精確的預估值u?i+1。

得到預估值后對其進行校正，以預估步長和期望步長之差為指標。校正之前依次計算期望步長和預估步長，計算預估步長采用預處理矩陣法［15］，計算期望步長采用速度約束進行規劃。

3.2 基于速度波動控制的插補參數校正

根據以上計算得到的當前點插補最大進給速度和插補周期可以得到預估插補步長Li=viT，構造關于插補點參數的速度波動函數［15］：

ui+1,k是第k次迭代之后的計算參數值，ui+1,0=u?i+1。為盡可能提高計算效率，使用Steffensen 法簡化求導［16］，用差商形式替代導數得到插補參數迭代計算式為

4 仿真驗證

為驗證本文所提出的插補算法的有效性和準確性，采用Matlab 平臺對NURBS 曲線進行仿真分析。為體現本文算法的優越性，在仿真中與傳統基于Taylor 展開式及文獻［7］所提的NURBS 曲線插補算法進行對比分析。仿真曲線參數如表1 所示，曲線軌跡如圖1所示。

表1 NURBS曲線參數

圖1 插補曲線軌跡

設定的曲線插補參數如表2所示。

表2 曲線插補參數

選定速度波動率ε作為算法的評價標準，分別采用二階Taylor 展開法、文獻［8］中提出的Hamming預估法和本文所提算法進行仿真對比，采用本文的迭代方法，仿真結果如圖2～圖4所示。

圖2 二階Taylor展開法速度波動率

圖3 Hamming預估法速度波動率

圖4 本文ABM預估法速度波動率

可見三種方法的速度波動率都被控制在限定值以內。為了較好的分析，采用速度波動率平均值作為直觀的評價指標［17］。

n為插補周期數，各方法結果為表3所示。

表3 各方法速度波動率平均值

由結果可知，本文提出的算法相較于二階Taylor 展開法和文獻［8］所提算法在速度波動率控制方面具有更優越的表現。

5 結語

本研究提出了基于Adams-Bashforth-Moulton法的插補參數預估校正算法。該算法首先進行插補速度規劃，在弓高誤差和進給加速度的約束下計算期望步長；基于Adams-Bashforth-Moulton預估校正法得到下一點插補參數預估值，并在速度波動控制下采用Newton-Rapson 迭代法進行插補參數校正得到最終參數值。

仿真結果表明，預估參數計算精度高，插補準確性高，在速度波動率控制方面具有更好的效果。