直覺模糊知識粒的分解與合成研究*

張創邦 王青海

（青海師范大學計算機學院 西寧 810008）

1 引言

1982 年Pawlak 提出粗糙集理論，其作為一種處理不完備、不確定、不精確數據的數學工具，將人類客觀知識抽象為多元關系，構建粗糙集模型本質轉化為信息在多元關系下的關聯推理和知識發現［1～2］。該理論已在數據挖掘、機器學習、神經網絡等領域有很多成功應用［1，3］。

隨著人工智能理論及應用的迅猛發展，針對現實世界各領域數據日益復雜和智能建?，F實需求，對粗糙集模型科學擴展已成為粗糙集理論發展的關鍵瓶頸。Zadeh提出的模糊集是處理模糊性和不確定性知識的另一種數學工具［4］。模糊集能有效對模糊信息及不確定性信息進行客觀表達和有效度量，解決了很多的現實問題。例如：過濾冗余信息并提取關鍵特征的模糊決策［5］；從模糊前提集中得到模糊結論的模糊推理［6］；能明顯降低時間復雜度的模糊計算［7］；某些聚類問題中有更好聚類效果的模糊聚類［8］。模糊集已發展出豐富的推廣集，比如Zadeh 的二型模糊集能同時對個體內和個體間的不確定性建模［9］；Gorzafczany 的區間值模糊集更加適用于隸屬函數不易確定的情況［10］；Atanassov的直覺模糊集能更細膩的描述客觀世界的模糊性本質［11］；Yager 的Pythagorean 模糊集拓寬了直覺模糊集的適用范圍［12］；Cuong 等的圖片模糊集比直覺模糊集更加全面地描述模糊情景［13］。由于粗糙集與模糊集具有典型的互補性，兩者的結合一直是粗糙集模型擴展的重要方向。1990 年Dubois 等提出模糊粗糙集［14］，之后很多學者研究了vague 粗糙集［15］及模糊區間粗糙集［16］等，為模糊信息在模糊知識發現與近似推理提供了計算模型，有效解決了模糊信息屬性約簡及規則提取問題。1998 年Chakrabarty等提出直覺模糊粗糙集［17］，為直覺模糊信息的知識發現與近似推理提供了計算依據。隨著多論域、多異構、多需求數據的不斷出現，粗糙集模型及理論仍然是復雜數據智能約簡與科學建模的重要方法之一。

粒計算［18］是近年來發展迅速且融合了粗糙集、模糊集、商空間等多種理論的智能計算框架。其基本思想是人類抽象和表達知識的形式化方法。知識粒具有層次結構，通過分解與合成策略可將復雜問題粒與簡化問題粒進行映射和聚合，得到解決復雜問題的有效方法。吳明芬等為研究知識粒的分解而提出一種不同的雙論域粗糙集模型［19］，該模型在兩個近似空間(U,R1)和(V,R2)基礎上，構建出新的近似空間(U×V,R1∏R2)，并將其稱為積近似空間。其中R1ΠR2為笛卡爾積(U×V)上的一個二元等價關系。吳明芬等還將這種近似空間推廣到模糊環境［20］，提出積模糊粗糙集和積近似空間中可定義集的分解問題，將多維對象元組的積粗糙集數據處理問題轉化為一維粗糙集模型合成運算，以有效提高復雜模型計算效率，降低計算復雜度。

將直覺模糊積粗糙集進行分解與組合研究，探尋積模型可計算性和形式化表達，揭示其分解與組合之間轉換的客觀規律無疑具有重要意義。文章在吳明芬等提出的積模糊粗糙集基礎上將集合擴展到直覺模糊集，而且將算子擴展到更一般的三角模運算；定義了直覺模糊近似空間的積等價關系和直覺模糊近似空間的積近似空間；研究了基于直覺模糊知識粒的積粗糙集模型表示、分解及合成規律。

2 基礎知識

定義1［21］（直覺模糊集）設U是一個給定論域，則U上的一個直覺模糊集A={＜x,μA(x),γA(x)＞|x∈U}。其中μA(x):U→[0,1]和γA(x):U→[0,1]分別代表A 的隸屬函數和非隸屬函數，且?x∈U,0 ≤μA(x)+γA(x)≤1。U上的所有直覺模糊集構成的集合表示為IF(U)。

為表達簡潔，本文有時用格表示直覺模糊集［22］，即將上述映射A:U→L記為A(x)=(μA(x),γA(x))。其中L={＜μ,γ＞∈[0,1]2|μ+γ≤1}，其單位元為1L=(1,0)，零元為0L=(0,1)。后面出現的L含義相同。

對于任一非空子集A?L，?(μ,γ)∈A，A的上下確界有如下定義：

定義2［22］直覺模糊三角模［22］T（直覺模糊t-模），S（直覺模糊s-模）稱為t-可表示的，若存在對偶模糊t- 模t和s- 模s滿足，?x,y∈L，T(x,y)=(t(x1,s(x2,y2))和S(x,y)=(s(x1,y1),t(x2,y2))。

一對t-可表示的直覺模糊t-模T和直覺模糊s-模S關于標準直覺模糊否定算子N對偶，即

一種特殊的直覺模糊三角?！猌adeh 算子（模糊環境下Zadeh算子為∧，∨）：

定義3［21］（單論域上的直覺模糊關系）設論域U，直積U×U上的一個直覺模糊集R稱為一個直覺模糊關系，記為R(x,y)={＜(x,y),μR(x,y),γR(x,y)＞|(x,y)∈U×U}其中(μR(x,y),γR(x,y))∈L。

定義4［21］設R∈IF(X×Y)，P∈IF(Y×Z)是兩個直覺模糊關系，則它們的合成關系R?P∈IF(X×Z) 定義為R?P={＜(x,z),μR?P(x,z),γR?P(x,z)＞|x∈X,z∈Z}。其中：

為直覺模糊集A在近似空間IFSA上的粗糙集。其中ψ為直覺模糊蘊含算子。

對偶性不是任意直覺模糊粗糙集都具備的，所以在這里有近似空間算子上的限制——蘊涵算子限制為直覺模糊S-蘊涵算子ψN,S。具有對偶性的直覺模糊粗糙集可以用矩陣簡單表示。

定理2 設IFAS=(U,R,ψS,N,T)（各參數含義同定理1），論域U={u1,u2,…,un}，U上的一個直覺模糊等價關系R，記為R=(rij)n×n。 ?A∈IF(U)，記為A=(a1,a2,…,an)T。則，

其中矩陣乘運算“*”中的元素乘運算為T運算，元素“乘積”的和運算為求上確界運算sup。

證明：根據矩陣運算的形式對照即可得到式（1）。根據定理1，另外直覺模糊集的補運算算子是標準的直覺否定算子，即為對合算子，可知式（2）必然成立。

作為直覺模糊粗糙集的矩陣表示，式（1）只是在表達方式上和矩陣運算進行了對應，故不需要限制條件，而式（2）建立在直覺模糊粗糙集的對偶性基礎上。

3 直覺模糊近似空間的積近似空間

將吳明芬等的積模糊粗糙集模型推廣到直覺模糊的情況，并將算子推廣到三角模。同時為保留更好的性質，將定義中用到的模糊t-模和s-模限定為一對對偶算子。在此前提下給出直覺模糊積等價關系和相應近似空間的定義，構造相應的粗糙集模型。

3.1 直覺模糊積等價關系

引理1 對于三角模T（模糊或直覺模糊的t-模或s-模）有T(T(a,b),T(c,d))=T(T(a,c),T(b,d))

證明：根據T的交換律和結合律：

定理3 定義7 在U×V上的直覺模糊關系R1∏R2為等價關系。

證明：只證傳遞性。

又因為R1，R2是傳遞的，即R1?R1(u,u″)≤R1(u,u″)，R2?R2(v,v″)≤R2(v,v″)，且T具有單調性，可知

3.2 計算積直覺模糊等價關系的算法原理

直覺模糊元素A(xi)=(μA(xi),γB(xi))組成的矩陣上可定義類似兩個矩陣Kronccker積的運算。

定義8 設A=(aij)n×n，B=(bkl)m×m，aij,bkl∈L

其中L={（μ,γ)|μ,γ≤1且μ+γ≤1}，則A，B矩陣的廣義Kronccker 積為A?B=(T(aij,B))mn×mn，其中T(aij,B)=(T(aij,bkl))m×m，從而

證明：由定義7和定義8可得出結論。

定理4 可作為基于兩個直覺模糊等價關系的積關系算法的原理。具體算法省略。

3.3 直覺模糊近似空間的積近似空間

定義9 設(U,R1)，（V,R2)為兩個直覺模糊近似空間，則稱(U×V,R1∏R2)為這兩個直覺模糊空間的積近似空間，即為一個二維積近似空間。

定義10 設兩個直覺模糊近似空間(U,R1)，（V,R2) 的積近似空間(U×V,R1∏R2) ，對于?(u,v)∈U×V，?M∈IF(U×V) 關于直覺模糊等價關系R1∏R2的上、下近似分別為

因為直覺模糊積粗糙集本質上依然是直覺模糊粗糙集，其關系本質上依然是二元關系，所以直覺模糊積粗糙集依然具有直覺模糊粗糙集的基本性質、單調性、冪等性、對偶性等。同樣對偶性目前也僅限于(U×V,R1∏R2,ψS,N,T)直覺模糊積近似空間。

3.4 求直覺模糊積粗糙集的算法原理

根據定義8、定義10、定理2、定理4 以及直覺模糊積近似空間(U×V,R1∏R2,ψS,N,T)上的上、下近似的對偶性，給出其粗糙集的算法原理，具體算法省略。

4 直覺模糊積近似空間知識粒的分解

積近似空間是將兩個論域的等價關系合成一個論域的等價關系，本質上是知識粒合成。反過來，能不能將一個論域的等價關系分解為兩個論域的，即進行知識粒的分解？吳明芬等首先提出這種分解的思想和概念，并研究了精確集和模糊集的情況，但對積模糊粗糙集的分解退化到了粗糙模糊集的情況，如下面所引定理5。為進一步研究直覺模糊積粗糙集的分解，本文補充研究了積模糊粗糙集的分解。

先補充說明模糊集和精確集的表示方法。分別用F(U)和P(U)表示論域U上的所有模糊集和精確集。

定義11 設M∈F(U×V) ，若存在X∈F(U) ，Y∈F(V)，對?(u,v)∈U×V，有模糊三角模t，使得M(u,v)=t(X(u),Y(v))成立，則稱模糊集M是t?？煞纸獾摹?特別如M∈P(U×V) ，且存在X∈P(U) ，Y∈P(V) ，使得M=X×Y，則稱集合M是清晰可分解的。

此定義將吳明芬等的模糊可分解定義［20］擴展到了模糊t-?？煞纸狻?/p>

定義12 設兩個模糊近似空間(U,R1)，（V,R2)的積近似空間(U×V,R1∏R2)，模糊等價關系R1∏R2((u,v),(u′,v′))=t(R1(u,u′),R2(v,v′)) 。對于?(u,v)∈U×V，?M∈F(U×V)關于直覺模糊等價關系R1∏R2的上、下近似分別為

定義13 設M∈IF(U×V)，若存在X∈IF(U)，Y∈IF(V), 使 得 對 ?(u,v)∈U×V,M(u,v)=T(X(u),Y(v))成立，則稱直覺模糊集M是T可分解的。

定理7 設有限論域U，V。M∈IF(U×V)是T可分解的，當且僅當存在X∈IF(U)，Y∈IF(V)，直覺模糊t-模T，使得M=X?Y。

證明：根據定義8和定義13可知結論成立。

例：設U={u1,u2}，V={v1,v2}，U×V={(u1,v1),(u1,v2),(u2,v1),(u2,v2)} ，若有M∈IF(U×V) ，且M=(＜0.6,0.2 ＞,＜0.4,0.6 ＞,＜0.3,0.5 ＞,＜0.7,0.1 ＞)T,則可驗證M不是直覺模糊TM模可分解的。

定理8 設(U1,R1,∨,∧)，(V,R2,∨,∧)是直覺模糊近似空間，M∈IF(U×V)是直覺模糊Zadeh算子∧可分解的，即存在X∈IF(U)，Y∈IF(V)，使得對?(u,v)∈U×V，均有M(u,v)=X(u)∧Y(v) 成立，則對?(u,v)∈U×V有

從以上結果可知，二維模糊積近似空間的模糊可分解集確實可用一維模糊近似空間的知識粒表示。同樣，直覺模糊積近似空間的直覺模糊可分解集也可用一維直覺模糊近似空間上的知識粒來表示。

5 結語

本文基于直覺模糊知識粒視角研究了直覺模糊環境下積模型的分解與合成：通過一維直覺模糊知識粒合成了相應的二維模糊知識粒，分析了任意二維直覺模糊知識粒的分解性問題，驗證了存在不可分解的情況，得到了直覺模糊積模型變換的一些重要結論。目前對于復雜模糊知識粒的分解和合成問題仍處于初級研究階段，深入研究復雜模糊知識粒的相互轉化這一科學問題，尤其是復雜模糊知識粒可分解性判定和直覺模糊邏輯研究對于復雜模糊場景建模與推理具有重要的現實意義，這也是本文下一步研究方向。