一種相變儲熱器內翅片結構的快速優化算法

蔡肖，徐陽，楊超，鄭章靖

（中國礦業大學電氣與動力工程學院，江蘇省 徐州市 221116）

0 引言

通過添加翅片改善管殼式相變儲熱器性能的研究可以追溯到幾十年前。早期關于相變儲熱單元內翅片的實驗和理論研究主要集中在縱向和徑向翅片上。通過一系列實驗以及數值模擬研究，研究人員發現相比于徑向翅片，縱向翅片對管殼式相變儲熱器的強化效率要高一些。傳統的縱向翅片是指扁平翅片，其橫截面積不隨翅片的高度變化。然而，管殼式相變儲熱器的橫截面積沿其半徑逐漸變化。也就是說，傳統的縱向翅片并不是改善管殼式相變儲熱器熔化和凝固性能的最佳選擇。因此，需要對縱向翅片進行進一步的改善。

由于傳熱傳質的相似性，Y 形翅片已被廣泛用于提高管殼式相變儲熱器的熔化和凝固性能。Zhao 等人[9]比較了一級Y 形翅片和縱向翅片對熔化與凝固過程的影響，數值模擬結果顯示，與縱向翅片相比，一級Y 形翅片可分別減少70%和81%的熔化和凝固時間。Yu 等人[10]以相變儲熱單元的最小完全熔化時間作為優化目標，對用于增強管殼式相變儲熱器熔化性能的Y 形樹狀翅片進行了結構優化，研究結果表明，優化后的翅片結構可以使儲熱器的完全熔化時間縮短26.7%。Zhang 等人[11]以最小完全凝固時間作為優化目標，對水平管殼式相變儲熱器內的2 級Y 形翅片進行了優化研究，結果表明，優化后的翅片結構可以使儲熱器的完全凝固時間縮短66.2%。

上述研究表明，通過對翅片進行優化可以顯著提高相變儲熱單元的熔化或凝固效率。然而很多目標函數需要在完全熔化或凝固的基礎上得出，通過數值模擬對儲熱器的熔化或凝固過程進行研究需要消耗大量的時間，優化進度較慢。因此本文以翅片均勻布置為指導原則，提出以相變材料到翅片和冷源的距離最短為優化目標，并通過遺傳算法對管殼式相變儲熱器內的一級Y 形翅片進行結構優化。通過對比優化前后2 種翅片結構的管殼式相變儲熱器的凝固過程，對優化目標的可行性進行驗證。

1 物理模型

本文選取水平放置的管殼式相變儲熱器作為研究對象。該儲熱器由內管、外管、相變材料以及Y 形翅片組成。由于水平放置的管殼式相變儲熱器的軸向溫度梯度遠小于徑向溫度梯度，因此將凝固過程的相變儲熱單元簡化為二維的相變儲熱單元，如圖1 所示。此外，自然對流在凝固過程中很弱，傳熱以熱傳導為主[12]。因此，忽略自然對流，選擇圖1中模型的1/2作為計算域(見圖1中的虛線區域）。忽略壁厚的影響，內管的半徑Ri為10 mm，外管的半徑Ro為20 mm。為了便于優化分析，對Y 形翅片的各分支長度(l0，l1)、各分支寬度(w0，w1)以及一級分支的夾角(θ)進行無量綱化處理。無量綱翅片各分支長度(L0，L1)、厚度(W0，W1)以及一級分支的夾角(η)的定義如式(1)所示：

圖1 物理模型Fig.1 Physical model

同時利用翅片的分支寬度比δ對翅片各分支的寬度關系進行表示，如式(2)所示：

研究中，翅片的占比始終保持在10%。為了強化換熱，翅片為銅材質制作而成，選用石蠟作為相變材料。石蠟和銅的物性參數見參考文獻[13]。

兩組患兒治療后臨床療效比較 見表1。兩組患兒治療后臨床療效比較,治療組痊愈率和總有效率均有明顯提高,差異具有統計學意義。

2 數學模型

2.1 控制方程

如圖1 所示，模擬區域包括翅片區域和相變材料區域。在相變材料區域，焓-孔隙率模型用于描述固-液相變過程。因為自然對流的影響被忽略，所以相變材料區域的控制方程僅包括能量方程。相變材料區域以及翅片區域的能量方程參考文獻[14]。

2.2 初始條件及邊界條件

如圖1所示，所涉及的邊界條件包括：1）內管壁為恒溫邊界，其溫度為300 K，即Tin=300 K；2）外管為絕熱邊界，即q=λ?T/?r=0，其中q，λ，r分別為熱量、導熱系數和極徑坐標。

管殼式相變儲熱器的初始條件為：相變材料與金屬翅片具有相同的溫度，初始溫度為321.66 K。

2.3 數值方法與驗證

數值模擬過程中計算域如圖1虛線區域所示。整個計算域用四邊形的結構化網格來劃分。采用有限體積法求解計算域內的能量方程。能量方程中的擴散項采用二階迎風格式進行離散。能量方程的收斂標準設定為10-6。

為了確保數值計算的準確性，進行了網格無關性驗證。此外，為了進一步減小數值結果的誤差，還進行了時間步長τ獨立性測試。本節采用了裝有一個Y 形翅片的相變儲熱單元進行網格無關性和時間步長獨立性試驗。翅片無量綱參數為：L0=0.5，W0=0.04，L1=0.1，W1=0.08。選取網格尺寸分別為0.05，0.1，0.2，0.5，1 mm的5種網格系統作為研究對象，時間步長為0.1 s。圖2為5種網格系統的完全凝固時間ttotal。結果表明，相對于尺寸為0.05 mm 的網格系統，尺寸為0.1 mm 的網格系統的完全凝固時間縮短了0.04%。因此，在綜合衡量計算精度與計算時長的情況下，本文選取了尺寸為0.1 mm的網格系統。另外，在網格無關性驗證的基礎上，分別研究了0.05，0.1，0.2，0.5 和1 s 五種不同時間步長對數值模擬結果的影響。5 種不同時間步長對應的液相分數隨時間的變化情況如圖3所示。從圖3中可以看出，當時間步長為0.05 s 時，液相分數的動態變化情況與時間步長為0.1 s時的變化情況一致。因此，本文選取的時間步長為0.1 s。

圖2 網格無關性驗證Fig.2 Grid independence verification

圖3 時間步長獨立性驗證Fig.3 Time step independence verification

2.4 模型驗證

通過與Ismail等人[15]的實驗結果對比，驗證當前所使用數學模型的可靠性。該實驗研究了4個縱向翅片對管殼式相變儲熱單元中凝固過程的強化作用。數值模擬中，相變儲熱單元的結構參數與文獻[15]中保持一致。系統的初始溫度為338.15 K，內管壁面溫度維持在313.15 K。選用商業石蠟作為相變材料，其物理性質見參考文獻[15]。圖4 顯示了數值模擬與實驗所得的凝固前沿，其中X、Y分別為水平和垂直方向翅片長度。從圖4 可以看出，本文所采用的數值模型的計算結果與實驗結果具有較好的一致性，驗證了在翅片強化作用下，本文所采用的數值模型具有一定的可靠性。

圖4 模型驗證結果Fig.4 Model verification results

3 優化算法

為了解決傳統優化過程耗時長的問題，本文以翅片均勻布置為指導原則，提出以相變材料到翅片和冷源的距離最短為優化目標。首先通過對計算域進行離散化處理，將其劃分為大小相同的網格，如圖5 所示。然后通過網格中心點坐標，判斷網格是否屬于翅片區域，并分別記錄翅片區域與相變材料區域的網格中心點坐標分別記錄。選取相變材料區域網格點Pn(n的取值范圍為1～m，m為相變材料區域網格數量)，其中心點坐標為(xPn，yPn)，通過逐一求取該網格點到翅片區域網格點(xQ,fin，yQ,fin)的距離，選取其中的最小距離即為相變材料網格點Pn到翅片最小距離dPn_fin，由式(3)計算得出。然后求取相變材料區域網格點Pn到冷源(內管)的距離dPn_wall，由式(4)計算得出。通過對比dPn_fin和dPn_wall，選取距離最小值dmin_Pn，如式(5)所示。dmin_Pn即為相變材料區域網格點Pn到冷源和翅片的最小距離。在不考慮相變材料到冷源的距離時，式(5)中的dmin_Pn為相變材料區域網格點Pn到翅片區域網格點的最小距離dPn_fin。以圖5 中相變材料區域網格點P1為例，P1點到冷源(內管)的距離為dP1_wall，翅片區域到P1 點距離最短的網格點為P1′網格點，其距離為dP1_fin。通過對比dP1_wall與dP1_fin，選取距離最小值。同樣的方法可以得到dmin_P2與dmin_Pn。通過逐一調取相變材料區域網格點，可以得到相變材料區域內各個網格點到冷源(內管)和翅片的最小距離。將所有相變材料區域網格點到冷源(內管)和翅片的最小距離求和，即得到相變材料到翅片和冷源(內管)的距離dsum，如式(6)所示。

圖5 最小距離計算示意圖Fig.5 Schematic diagram of minimum distance calculation

選取Y 形翅片的各分支無量綱長度、寬度比以及分支無量綱夾角為設計變量。翅片無量綱參數的變化范圍均為0～1。因此，本文的優化問題有4個設計變量。優化問題可表述如下：

目標函數：F=min(dsum)。

設計變量：L0=0～1，L1=0～1，δ=0～1，η=0～1。

基于達爾文進化理論的遺傳算法因具有全局搜索特性、對梯度信息的不依賴性和易于操作性，近年來被廣泛應用于解決多類組合優化問題[16]，故本文將遺傳算法引用到相變儲熱器中的翅片優化研究中。遺傳算法與前處理模塊、數據處理模塊相耦合的流程如圖6 所示。優化過程的主要步驟如下：1）首先通過前處理模塊，生成計算域網格，并將每個網格的中心點坐標輸出，存儲到共享文件1；2）通過遺傳算法生成初始種群，并將個體變量輸入到共享文件2中；3）利用數據處理模塊讀取共享文件1與共享文件2中的數據。利用共享文件2中的翅片參數判斷共享文件1中的網格是否在翅片區域內，通過計算得到相變材料到翅片和冷源(內管)的距離，并將計算結果輸入到共享文件3 中；4）遺傳算法從共享文件3 中讀取適應值，并對其進行適應度值評估。若滿足終止準則，則輸出最佳變量；若不滿足，則通過一系列雜交、變異產生新的種群，進而重復執行適應度值計算以及評估，直至滿足終止準則[17]。

圖6 優化程序流程圖Fig.6 Optimization program flow chart

4 結果與討論

4.1 單翅片優化結果

遺傳算法的種群數量在很大程度上影響算法的收斂速度和解的質量。種群數越小，算法收斂越快，但會導致解的精度不足；種群數越大，求解精度越高，但耗時越長。因此，首先研究種群數對于優化結果的影響。選擇單個Y 形翅片的無量綱夾角η作為優化變量，其變化范圍為0～1。各分支的無量綱長度L0，L1分別為0.5 和0.1，分支的寬度比δ為1。在優化過程中，通過改變翅片各分支的寬度來保證翅片的占比不變。本文研究了3種不同的種群數量(10、20和40)對于求解速度以及優化結果的影響，圖7顯示了3個種群數量下優化過程中產生的不同η及其對應的適應度值，其中適應度值為相變材料到翅片和冷源(內管)的距離dsum。從圖7 中可以看出，隨著種群數的增加，遺傳算法產生了更多的個體，種群數量為10、20和40 時產生的個體數量分別為15、36 以及44，更多的個體意味著更有可能找到最優的結果。但是，種群數量的增加也意味著優化所需的時間增加。當種群數為10時，最優個體為η=0.375，其適應度值為dsum= 195.373 7。當種群數為20 時，最優個體為η= 0.395，其適應度值為dsum=195.150 6。當種群數為40 時，最優個體為η=0.395，其適應度值為dsum=195.089 9。可以發現，當種群數由10增到20時，最佳個體的適應度值有所下降。但是，當種群數繼續增加到40時，優化獲得的最優個體與種群數為20時獲得的最佳個體相同。因此，在綜合衡量優化精度以及優化耗時的情況下，在后續的研究中均設置種群數為20。

圖7 單翅片分支夾角作為變量的優化結果Fig.7 Optimization results of single-fin branch angle as a variable

是否考慮冷源對翅片最優結構的設計有著重要的影響。因此，本節選取單個Y 形翅片的各分支無量綱長度L0、L1，翅片寬度比δ以及無量綱夾角η作為變量，研究了是否考慮相變材料到冷源(內壁)的距離對優化結果的影響。2種約束條件下優化所得的翅片結構參數如表1 所示。其中：case0表示未考慮相變材料到冷源距離時優化所得的翅片結構；case1表示考慮相變材料到冷源距離時優化所得的翅片結構。圖8為2種約束條件下優化所得的翅片結構示意圖，可以看出，優化后的翅片結構呈現箭頭形。case1 得到的翅片比case0得到的翅片的分支之間的夾角要小。

表1 優化后翅片結構參數Tab.1 The optimized fin structure parameters

圖8 2種約束條件下優化所得的翅片結構示意圖Fig.8 Schematic diagram of fin structure optimized under two constraints

圖9為2種優化條件下所得的翅片對凝固過程的影響，可以看出，在凝固過程前期，2 種結構的凝固速率基本一致；隨著凝固過程的進行，case1 具有更好的強化性能，相比于case0，case1可以使完全凝固時間縮短24.99%。這是因為case1得到的翅片的各分支寬度大于case0。而隨著翅片寬度的增加，翅片的傳熱效率有所增強，從而加快了儲熱器的凝固速率。圖10 為2 種翅片結構下不同時間的液相與溫度分布云圖，可以看出，在凝固中后期，由于case1更加靠近外管壁面，能夠緩解凝固中后期case0在外管附近造成的傳熱滯后區問題，從而使得儲熱器的凝固速率得到提高。因此，在翅片優化過程中，考慮相變材料到內壁距離可以更好地強化翅片結構性能。

圖9 2種優化條件下所得翅片對凝固過程的影響Fig.9 Effects of fins on solidification process under two optimized conditions

圖10 2種翅片結構下不同時間的液相與溫度分布云圖Fig.10 Cloud images of liquid phase and temperature distributions at different times under two kinds of fin structures

通過對比傳統Y 形翅片和箭頭形翅片儲熱器內相變材料到翅片和冷源的距離以及完全凝固時間，來進一步說明優化目標的可行性。選取分支無量綱夾角為0.167、0.25、0.333、0.417、0.5，以及主翅的無量綱長度為0、0.1、0.3的傳統Y形翅片進行對比研究。圖11顯示了不同結構的翅片儲熱器內相變材料到翅片和冷源的距離。從圖中可以看出，優化后的箭頭形翅片儲熱器內相變材料到翅片和冷源(內管)的距離最短。圖12 顯示了不同翅片儲熱器的完全凝固時間，可以看出，通過優化得到的箭頭形翅片結構具有更好的強化效果。相比于傳統Y 形翅片，箭頭形翅片結構可以使完全凝固時間最少縮短62.1%。對比圖11 與圖12可以看出，雖然個別算例中距離與完全凝固時間具有一定的誤差，但利用本文提出的以相變材料到翅片和冷源距離最短作為優化目標獲得的新型結構具有一定的優越性。因此，該優化目標可以較好地對翅片結構進行優化。

圖11 不同結構的翅片管殼式相變儲熱器內相變材料到翅片和冷源的距離Fig.11 Distance between phase change material and fin and cold source in different finned shell and tube phase change heat storage

圖12 不同結構參數的翅片管殼式相變儲熱器的完全凝固時間Fig.12 Complete solidification time of finned shell and tube phase change heat storage with different structural parameters

4.2 多翅片優化結果

Y 形翅片的數量N直接決定了管殼式相變儲熱單元中翅片的空間布局，對相變材料的能量釋放性能起著重要作用。選取數量為2和3的翅片結構進行優化研究。鑒于翅片是均勻分布設計，每個翅片具有相同的參數，因此優化變量的數量不隨翅片數量而變化，即優化變量始終為：分支無量綱長度L0、L1，翅片寬度比δ以及無量綱夾角η。表2 顯示了在不同翅片數量下優化所得的翅片結構參數，可以看出，翅片數量變化的同時，優化后的翅片結構參數也會發生改變。當翅片數量從2增加到3時，單個翅片的第0級分支的寬度減少了37.2%，第1 級分支的寬度減少了67.5%。優化后的翅片結構示意如圖13所示，可以看出，對于多數量的翅片，優化后的翅片仍呈現箭頭形。

圖13 優化后不同數量的翅片結構示意圖Fig.13 Schematic diagram of different number of fins after optimization

表2 不同數量下優化后翅片結構參數Tab.2 Optimized parameters of fin structure under different numbers

對于給定的翅片占比，翅片數量的有利于翅片和相變材料之間的傳熱，也會造成翅片其他參數發生變化。例如隨著翅片數量增加時，翅片的各分支寬度會減小，這會造成翅片的導熱效率降低。圖14 為不同翅片數量的儲熱器完全凝固時間，可以看出，隨著翅片數量的增加，儲熱器的凝固效果有所提高；當翅片數量從1 增加到3時，儲熱器的完全凝固時間縮短了57.7%，這表明翅片數量增加造成的凝固速率的提高超過了由于翅片寬度減小造成的傳熱惡化問題。

圖14 不同翅片數量的儲熱器完全凝固時間Fig.14 Complete solidification time of heat storage with different number of fins

選取分支無量綱夾角為0.167、0.25、0.333、0.417、0.5，主翅的無量綱長度為0、0.1、0.3 的傳統Y 形翅片與優化所得箭頭形翅片進行對比研究。圖15顯示了不同數量、不同結構翅片儲熱器內相變材料到翅片和冷源(內管)的距離，可以看出，箭頭形翅片儲熱器內相變材料到翅片和冷源的距離最短。圖16顯示了不同數量箭頭形翅片與傳統Y形翅片的完全凝固時間的對比，可以看出，箭頭形翅片結構具有更好的強化效果，當翅片數量為2 時，相比于傳統Y 形翅片，箭頭形翅片結構可以使完全凝固時間縮短52.8%以上；當翅片數量為3 時，相比于傳統Y 形翅片，箭頭形翅片結構可以使完全凝固時間縮短41.3%以上。

圖15 不同數量、不同結構翅片儲熱器內相變材料到翅片和冷源的距離Fig.15 Distance between phase change material and fin and cold source in different number and structures of fin heat reservoir

圖16 不同數量、不同結構翅片儲熱器完全凝固時間Fig.16 Complete solidification time of finned heat reservoir with different number and structures

5 結論

翅片強化作用下的相變儲熱器對太陽能的大規模利用至關重要。為了提高相變儲熱器的能量釋放性能，針對相變儲熱器內的翅片，提出了一種快速優化算法。該算法以相變材料到翅片和冷源的距離最短為優化目標，利用遺傳算法對翅片的結構進行優化。以適用于凝固過程的管殼式相變儲熱器內一級Y 形翅片優化為例，在滿足翅片材料用量一定的前提下，選擇Y 形翅片的各分支長度、寬度比以及分支夾角作為設計變量。通過優化研究，得到以下結論：

1）通過快速優化算法優化后的翅片結構呈現箭頭形。在所研究的放熱工況下，相比于傳統Y形翅片，當翅片數量為1～3時，箭頭形翅片結構可以使完全凝固時間縮短41.3%～62.1%。

2）以相變材料到翅片和冷源距離最短作為優化目標具有一定的可行性，可以較好地對翅片結構進行優化。