點接觸混合潤滑中兩種求解模型的比較*

王 旭 梁 鶴 王文中

(北京理工大學機械與車輛學院 北京100081)

潤滑技術通過在摩擦表面之間形成具有法向承載能力而切向剪切強度低的潤滑膜以減少摩擦阻力和降低表面磨損。流體動壓潤滑是工程零部件的主要潤滑方式，而彈性流體動壓潤滑則是齒輪、滾動軸承等關鍵基礎零部件的主要潤滑機制。然而由于工況條件的變化、表面粗糙度的存在，零部件大多工作在混合潤滑狀態下?；旌蠞櫥且环N在接觸界面間同時存在流體潤滑和微凸體接觸的潤滑狀態。在混合潤滑的條件下，表面粗糙度會對潤滑接觸性能具有顯著的影響。

根據摩擦副表面粗糙度表征方式的不同，混合潤滑模型主要分為統計學模型和確定性模型[1]。受限于計算能力，早期的混合潤滑建模研究主要聚焦于統計學模型。統計學模型是利用少量的統計參數來描述表面特征，并且在一定的簡化假設下分析粗糙表面對接觸和潤滑的影響。其中GREENWOOD和TRIPP[2]提出的粗糙表面接觸模型，JOHNSON等[3]的載荷分配思想，PATIR、CHENG[4-7]提出的平均流量模型是混合潤滑統計學模型的主要基礎，并得到了廣泛的應用。值得注意的是，在統計學模型中由PATIR和CHENG提出的修正雷諾方程要求膜厚比Λ(hmin/σ)大于0.5,并且在粗糙峰的承載比大于70%時也需要注意，因為此時接近干接觸，即使膜厚比的值在正常范圍內，統計學模型的適用性也降低。

確定性模型的提出雖然早于統計學模型，但由于當時計算能力、表面形貌測量的局限性，并沒有得到充分的發展。隨著技術的發展以及設計過程中對壓力、膜厚等細節信息的迫切需求，混合潤滑確定性模型得到了進一步的發展。在早期的混合潤滑研究中，只計入表面粗糙度的影響，不考慮粗糙峰之間的接觸，這一狀態更多被稱為微彈流潤滑。當前混合潤滑確定性模型的重要進展是ZHU和HU[8-10]提出的統一雷諾方程法。該模型能夠考慮任意粗糙表面，對不同程度的粗糙峰局部接觸都具有良好的收斂性，并能夠計算摩擦因數、亞表面應力和接觸閃溫等潤滑性能參數。隨后WANG等[11-12]引入傅里葉變換加快表面彈性變形的計算，建立了瞬態點接觸熱混合潤滑模型。

確定性模型和統計學模型都可以得到接觸區的粗糙峰接觸承載比、平均膜厚等信息，但2種模型所得信息是否具有可比性，結果差別有多大，統計模型的適用范圍如何，缺乏系統的比較研究。本文作者基于MASJEDI和KHONSARI[13-14]所得統計學模型以及基于統一雷諾方程法的確定性模型，系統比較了不同粗糙表面下2種模型所得結果的異同。為控制粗糙表面的特征參數，文中采用快速傅里葉變換和有限濾波器[15]生成了具有指定統計參數的粗糙表面。

1 數學模型

1.1 統計學模型

MASJEDI和KHONSARI[13-14]在大量數值計算結果的基礎上進行回歸得到了混合潤滑中平均膜厚和粗糙峰承載比的擬合公式。

首先得到的是光滑表面平均膜厚的擬合公式，以便進行比較和基準測試。

G0.502k0.064(1-0.573e-0.74k)

(1)

在光滑表面公式的基礎上，得到粗糙表面平均膜厚、粗糙峰承載比的擬合公式。

U-0.884G-0.977k0.081)

(2)

U-2.90G-2.870)]

(3)

式中：k為橢圓度;σ為粗糙表面高度的標準差;Rx為接觸表面長軸方向等效曲率半徑;F為載荷;E′為等效彈性模量;μ0為常溫常壓下潤滑油的黏度;u為卷吸速度;α為壓力-黏度系數;ν為維氏硬度。

在該統計學模型中，輸入參數的取值范圍如表1所示。

表1 統計學模型中輸入參數范圍

統計學模型通過運用“平均”、“均化”等概念，能夠直接給出表征潤滑性能的參數，諸如承載力、平均膜厚等值。同時，統計學模型還能針對不同材料在不同加工工藝下得到的具有不同統計學特征的表面進行分析，方便工程實際應用。

1.2 確定性模型

混合潤滑狀態下，接觸區Ω分為流體潤滑區Ωl和微凸體接觸區Ωs，外載荷由兩接觸區共同承擔。采用統一雷諾方程法進行求解。

1.2.1 雷諾方程

流體潤滑區壓力pl滿足Reynolds方程

(4)

微凸體接觸區的壓力pc由HU和ZHU[9]提出的簡化Reynolds方程求得，

(5)

1.2.2 膜厚方程

(6)

式中:v為表面彈性變形，由Boussinesq積分計算，見式(7)；δ為粗糙表面高度值，粗糙表面由數值方法生成[15]。

(7)

1.2.3 載荷方程

(8)

1.2.4 潤滑油特性(牛頓流體)

潤滑油的黏度μ與密度ρ與壓力和溫度的關系分別采用Roelands黏度公式和Dowson-Higginson密度公式。式中μ0和ρ0為潤滑油的環境黏度和環境密度，α為Barus黏壓系數，γ為Reynolds黏溫系數。

(9)

式中各常數分別為：A1=lnη0+9.67，A2=5.1×10-9，A3=1/(T0-138)，A4=138/(T0-138)，z=α/(A1A2)，S0=γ/(A1A2)，γ=0.4，A=0.6×10-9m2/N，B=1.7×10-9m2/N，β=-0.000 7 K-1。

1.3 粗糙表面的生成

粗糙表面采用基于快速傅里葉變換的有限濾波器法生成[15]，采取的自相關函數為

(10)

式中:βx、βy分別為x、y方向上的自相關長度。

2 結果與討論

運用統計學模型，能夠非常直觀高效地計算出各個參數的變化對于中心膜厚和承載比的影響，有利于快速研究不同工況參數的變化對于潤滑性能的影響。如圖1所示，在量綱一化參數G=4 972，V=0.01，W=3×10-5時，隨著量綱一速度的增加，量綱一的膜厚增大，承載比降低。同時隨著量綱一的表面粗糙度增加，膜厚增加，粗糙峰承載比也增加。隨著橢圓度的增加，膜厚增加，到橢圓度k=8時，接近線接觸。值得注意的是，在承載比的擬合公式中，承載比不是橢圓度k的函數。這是由于存在2個相反的因素，一方面，橢圓度的增加導致膜厚的增加，減少了粗糙峰的相互接觸；另一方面，橢圓度的增加，會產生較小的接觸壓力，從而增加了粗糙峰的承載率。在統計學模型中，這2個因素產生的影響幾乎相互抵消，因此粗糙峰承載率不受橢圓度的影響。

相比于統計學模型能得到的膜厚、粗糙峰承載比等參數，確定性模型還能給出表面微凸體引起的壓力、膜厚和變形等的局部變化信息，而這些局部信息對于零部件的設計和性能分析至關重要。文中確定性模型采用統一雷諾方程系統法進行求解，計算表明該方法能夠求解任意粗糙表面的潤滑接觸問題，且接觸程度對計算收斂性無影響，非常方便研究粗糙表面的影響。圖2給出了接觸表面為粗糙表面時典型的膜厚、壓力分布以及Y=0截面上的壓力膜厚輪廓圖。

文中將重點比較在不同的工況條件下，對采用偏態Sk=0、峰度Ku=3、βx=βy=10 μm的各向同性高斯表面進行混合潤滑分析時，確定性模型和統計學模型所得結果的異同，為工程中不同模型的選擇提供參考。確定性模型計算中，網格數M=N=128，計算域-1.9

等效彈性模量E′為226.37 GPa，潤滑油的環境黏度μ0為0.026 2 Pa·s，壓力-黏度系數α為12.5 GPa-1，當量接觸半徑Rx=12.7 mm，Ry=36.13 mm，對應赫茲接觸半徑a=0.169 mm，b=0.338 mm，橢圓度k=2。

另外，在確定性模型中滑滾比s取0.2，統計學模型中量綱一硬度V取0.01，對應2.35 GPa的維氏硬度，適用于鋼鐵材料。

2.1 不同參數對膜厚及承載比的影響

2.1.1 表面粗糙度的影響

在不同粗糙度下采用確定性模型計算得到平均膜厚、粗糙峰承載比的值，并與統計學模型的結果進行對比。其中潤滑油環境黏度μ0=0.026 2 Pa·s，卷吸速度u=2.5 m/s，載荷F=100 N，對應最大赫茲接觸應力0.838 GPa。

當表面粗糙度與潤滑油膜的平均厚度在同一量級時，表面粗糙度的大小對油膜厚度及潤滑性能的影響不可忽視。由圖3(a)可見，在統計學模型中，隨著粗糙度的不斷增大，油膜厚度也隨著增大，且統計學模型計算出的值一直大于確定性模型。這是因為，在統計學模型中，外載荷一定時，粗糙度的增大，導致粗糙峰接觸增多，粗糙峰承載比增大，相對應的油膜承載比降低，所以膜厚會隨著粗糙度的增大而增大。統計學模型中膜厚的值一直大于確定性模型是因為2種模型關于膜厚的計算方式不同。在統計學模型中，潤滑計算部分只考慮了光滑表面的彈性變形，不考慮局部粗糙峰的變形，因此中心膜厚實際是粗糙峰高度平均線在接觸區中心處的距離，反映了平均膜厚的趨勢；在確定性模型中，平均膜厚的值是在接觸區中心一定范圍內實際膜厚的平均值，包含了粗糙峰的變形。

(11)

由圖3(b)可見，不論是統計學模型還是確定性模型，粗糙峰的承載比都隨著粗糙度的增大而增大；在小粗糙度(σ<0.2 μm)下，2種模型的計算結果基本重合，此時潤滑狀態接近彈流潤滑，粗糙峰承載比近乎為0。隨著粗糙度的增大，差別隨之變化，當σ在0.2～0.4 μm之間時，確定性模型承載比大于統計模型；隨著粗糙度的持續增大，確定性模型承載比的增長速度低于統計學模型，當σ大于0.4 μm時，統計學模型計算出的粗糙峰承載比大于確定性模型，且隨著粗糙度的增大，差別也隨之增大。當σ=0.7 μm時，統計學模型計算出來的粗糙峰承載比為67%，確定性模型的計算結果為57%。綜合上述的分析，在其他工況條件不變時，引入各向同性的粗糙表面，統計學模型和確定性模型的計算結果總體趨勢相同，但隨著表面粗糙度的變化而產生差別，在小粗糙度情況下，承載比的差別不大，隨著粗糙度的增大，2種模型所得平均膜厚吻合性較好，但粗糙峰承載比的差別變大。

2.1.2 卷吸速度的影響

速度對于潤滑性能有著非常關鍵的影響。圖4示出了速度的變化對于混合潤滑中2種模型計算結果的影響。其中潤滑油環境黏度μ0=0.026 2 Pa·s，表面粗糙度σ=0.4 μm，載荷F=100 N。

如圖4所示，不論是統計學模型還是確定性模型，平均膜厚均隨著卷吸速度的升高而增大，粗糙峰承載比隨著速度的增大而減小，到u=11 m/s(此時U接近1×10-10)時，粗糙峰承載比趨近0，潤滑狀態接近彈流潤滑。卷吸速度增大，卷吸效應增強，膜厚也隨之增大，符合Hamrock-Dowson公式中膜厚與卷吸速度的指數冪成正比的規律。同時在其他工況不變的情況下，膜厚的增大，膜厚比Λ增大，潤滑狀態逐漸接近彈流潤滑，所以粗糙峰承載比也逐漸減小。

如圖4(a)所示，低速時，2種模型計算出的平均膜厚吻合性較高，而隨著卷吸速度的升高，平均膜厚的相對差別ε1隨之增大。當u=1 m/s時，統計學膜厚與確定性膜厚最接近，相差1 nm，ε1=0.45%。當u=11 m/s時，統計學膜厚與確定性膜厚差值為247 nm，ε1也達到最大差值，為25.6%。

如圖4(b)所示，隨著卷吸速度的增大，2種模型關于承載比的計算吻合度較好。在u=0.5 m/s時，統計學模型計算出的承載比為70%，確定性模型的承載比為59%，粗糙峰承載比的相對差別ε2=16.2%(計算公式見式(12))，達到最大值。承載比相對差別最小值出現在u=2 m/s時，ε2為0.5%。隨著卷吸速度的變化，相對差別ε2的平均值為6.1%。

(12)

綜合上述的分析，在其他工況條件不變時，引入各向同性的粗糙表面，統計學模型和確定性模型的計算結果總體趨勢相同，但隨著卷吸速度的變化而產生差別。在整個速度范圍內，2種模型承載比的差別不大；低速時2種模型平均膜厚的吻合性優于高速。

2.1.3 載荷的影響

圖5示出了載荷對于2種模型計算結果的影響。在其他參數不變的情況下，最大赫茲接觸壓力隨著外載荷的增大而增大，在該統計學模型中，最大赫茲接觸應力的允許范圍為0.4～2.3 GPa。當潤滑油環境黏度μ0=0.026 2 Pa·s，表面粗糙度σ=0.4 μm，卷吸速度u=2.5 m/s時，載荷F=2 000 N對應的最大赫茲接觸應力為2.27 GPa。

如圖5(a)所示，不論是統計學模型還是確定性模型，隨著載荷的增加，平均膜厚減小，且統計學模型與確定性模型的相對差別ε1隨之增大。當載荷增加到2 000 N時，膜厚差值為134 nm，ε1達到最大值40%。

如圖5(b)所示，當載荷為100～2 000 N時，隨著載荷的增大，2種模型粗糙峰承載比降低，且確定性模型承載比隨載荷的變化幅度遠低于統計學模型；粗糙峰承載比的相對差別ε2也隨之增大。當F=100 N時，ε2的值最小，為3.8%，當F=2 000 N時，ε2的值達到最大，為45.7%。

如圖5(c)所示，以確定性模型為例，橫坐標F取1 000～9 000 N，對應的赫茲接觸壓力為1.81～3.76 GPa。隨著載荷的不斷增大，粗糙峰承載比呈現先減小后增大的趨勢。載荷小于2 000 N時，粗糙峰承載比隨著載荷的增大而減小；載荷大于2 000 N時，粗糙峰承載比隨著載荷的增大而增大。粗糙峰承載比先降低后升高是因為，當載荷小于2 000 N時，隨著外載荷的增加，流體壓力增大，受黏壓效應的影響，潤滑油黏度增大，油膜承載能力不斷增強;同時，如圖6(a)所示，當載荷小于2 000 N時，粗糙峰接觸面積Ar基本不變，接觸微凸體的數量一定，所以在此區間內，油膜承載比例升高，粗糙峰承載比例降低。如圖6(b)所示，隨著外載荷繼續增加，粗糙峰的接觸面積開始增大，粗糙峰承載能力加強，同時油膜厚度減小，使得微凸體的承載比例不斷增大。

綜上，在其他工況條件不變時，引入各向同性的粗糙表面，統計學模型和確定性模型的計算結果總體趨勢相同，但隨著載荷的變化而產生差別。低載荷下，2種模型的平均膜厚與粗糙峰承載比的吻合性皆好于高載荷，且隨著載荷的增大，相對差別也隨之增大。

2.1.4 黏度的影響

潤滑油的環境黏度μ0對于潤滑性能有著重要的影響。圖7示出了潤滑油環境黏度的變化對于混合潤滑中2種模型計算結果的影響。其中卷吸速度u=2.5 m/s，表面粗糙度σ=0.4 μm，載荷F=100 N。

如圖7所示，不論是統計學模型還是確定性模型，平均膜厚均隨著潤滑油環境黏度的增大而增大，粗糙峰承載比隨著潤滑油環境黏度的增大而減小，直至趨近0。這是因為隨著潤滑油黏度增大，成膜能力增強。

如圖7(a)所示，潤滑油的環境黏度較低時，2種模型計算出的平均膜厚吻合度較高，而隨著潤滑油環境黏度的升高，平均膜厚的相對差別ε1隨之增大。當μ0=0.01 Pa·s時，統計學膜厚與確定性膜厚基本一致，ε1=0.28%。當μ0=0.11 Pa·s(此時U接近1×10-10)時，統計學膜厚與確定性膜厚差值為245 nm，ε1也達到最大差值，為26%。

如圖7(b)所示，隨著潤滑油環境黏度的變化，2種模型關于承載比的計算吻合度較好。在μ0=0.01 Pa·s時，統計學模型計算出的承載比為60%，確定性模型的承載比為54%，粗糙峰承載比的相對差別ε2=9.8%，達到最大值。相對差別最小值出現在μ0=0.02 Pa·s時，ε2為0.14%。隨著潤滑油環境黏度的變化，粗糙峰承載比的相對差別ε2的平均值為5.25%。

綜上，在其他工況條件不變時，引入各向同性的粗糙表面，統計學模型和確定性模型的計算結果總體趨勢相同，但隨著潤滑油環境黏度的變化而產生差別。在整個潤滑油環境黏度范圍內，2種模型承載比的差別不大；低環境黏度時2種模型平均膜厚的吻合性優于高環境黏度。

3 結論

系統比較了不同工況條件下采用統計學模型和確定性模型進行混合潤滑分析時所得平均膜厚和粗糙峰承載比的差別，主要結果如下：

(1)在小粗糙度情況下，2種模型計算得到的承載比的差別不大，且統計學模型所得平均膜厚一直大于確定性模型。隨著粗糙度的增大，2種模型所得平均膜厚吻合性較好，但粗糙峰承載比的差別變大。

(2)在整個速度范圍內，2種模型得到的承載比的差別不大，且統計學模型所得平均膜厚一直大于確定性模型，低速時2種模型的平均膜厚的吻合性優于高速。

(3)外載荷較低時，2種模型的平均膜厚與粗糙峰承載比的吻合性皆好于高載荷，且隨著載荷的增大，平均膜厚與承載比的相對差別都隨之增大。同時在外載荷較低時，統計學模型計算出的平均膜厚一直大于確定性模型，統計學粗糙峰承載比的值小于確定性模型。

(4)在整個潤滑油環境黏度范圍內，2種模型的承載比的差別不大且統計學模型的平均膜厚一直大于確定性模型，低環境黏度時2種模型的平均膜厚的吻合性優于高環境黏度。