基于RBF神經網絡的PMSM分數階互補滑模控制

李海俠 黃致勇

(桂林理工大學機械與控制工程學院 廣西 桂林 541006)

0 引 言

永磁同步電機(PMSM)因具備結構簡單、功率密度高、可靠性高、占用空間小等特點,在交流伺服驅動系統領域應用普遍。但由于外部干擾、參數擾動等影響的存在,同時PMSM是一個非線性、變量多、耦合強的系統,導致其動靜態性能難以得到提升。近幾年,國內外相關研究人員為抑制PMSM系統的不確定性干擾,提高控制系統的相關性能,提出了多種先進控制策略,如：RBF神經網絡控制[1]、自抗擾控制[2]、反步終端滑模控制[3]、干擾補償控制[4]、分數階滑模控制[5-6]等。

RBF網絡具備較強的非線性逼近能力,在PMSM控制領域得到了廣泛應用。文獻[1]使用梯度下降法(Gradient Descent)修正RBF網絡的相關參數，提出了一種基于RBF神經網絡的PMSM PID控制方案,用以改善常規PID控制效果。文獻[2]將滑模控制與自抗擾控制策略相結合,通過優化控制系統誤差反饋控制律以及擴張狀態觀測器,提高了系統的響應速度和抗干擾能力。文獻[3]將終端控制與反步控制相結合,提出了一種基于終端滑模負載觀測器的反步控制方法,提高了系統的綜合控制性能。為抑制外部不確定性干擾,文獻[4]針對高精度直驅PMSM速度伺服系統,通過實時補償外部力矩干擾,提出一種基于同步測速法的外部干擾補償控制方法,但該方法僅考慮了慢時變干擾的影響。

眾所周知,滑模控制策略(SMC)的一大缺陷是在滑模面附近由于控制率不連續和頻繁切換引起的抖振現象。此外,由于其通常無法確定外部干擾的上界,往往將加重抖振現象。近些年來,為了克服這些缺陷,分數階滑模控制(FOSMC)被廣泛應用于控制領域,以更好地削弱抖振和抑制外部干擾。針對常規整數階滑模控制系統中存在的抖振問題,文獻[5]通過引入分數階微積分相關理論,使用分數階滑模面代替常規滑模控制器中的整數階滑模面,提出分數階滑模控制策略并應用到PMSM驅動控制系統中,利用分數階控制系統的相關特性削弱抖振;同時采用Fuzzy logic重心法實現開關函數的切換增益自整定,提高了PMSM的綜合性能。文獻[6]在文獻[5]的基礎上,在控制器趨近律的設計中引入分數階,提出一種基于分數階的積分時變滑模控制策略,削弱了系統抖振,減小了系統跟蹤誤差范圍。

為進一步增強PMSM系統的抗干擾能力,受以上文獻啟發,本文提出一種將RBF神經網絡和分數階互補滑模控制器相結合的控制策略。在分數階滑模控制策略基礎上,設計以飽和函數作為控制率切換函數的分數階互補滑模控制器,改善滑模控制的抖振現象,引入RBF神經網絡對不確定性干擾進行逼近估計,抑制其對系統的影響。仿真實驗結果表明所提出的控制方法具有較高跟蹤精度且能有效地抑制外部不確定的干擾。

1 PMSM數學模型

假定磁路不飽和,轉子永磁磁場成正弦波分布在氣隙中；不計磁滯及渦流損耗的影響,轉子不存在阻尼繞組,定子鐵芯飽和忽略不計。PMSM在dq坐標系下的數學模型如下[7]：

(1)

式中：id、ud分別為d軸上的電壓和電流分量；iq、uq分別為q軸上的電流和電壓分量；Lq、Ld分別為交、直軸電感；ψf為永磁體與定子交鏈磁鏈；Rs為PMSM的定子繞組電阻；ω為電機的角速度。

PMSM的轉矩方程為：

(2)

式中：Te為電機的電磁轉矩；p為永磁同步電機的極對數。對于表貼式永磁同步電機有Ld=Lq=L,所以可簡化PMSM轉矩方程為：

(3)

PMSM的運動方程為：

(4)

式中：TL為負載轉矩；B、J分別為電機的摩擦系數和轉動慣量。

將式(4)代入式(3),可得：

(5)

考慮到電機參數變化及未建模不確定性,式(5)可以表示為：

(6)

式中：Δa、Δb、Δc為PMSM參數不確定性攝動。

為使PMSM參考角速度ω*能快速跟蹤實際輸出ω,現定義速度跟蹤誤差e=ω*-ω,對其求導得:

(7)

式中：d為不確定性干擾。

注記1文獻[5]假定不確定性干擾有界。本文則不需要這一假設。

2 基于RBF神經網絡的干擾逼近

由于式(7)包含不確定性干擾，現引入RBF神經網絡來對其進行非線性逼近。

目前,相關文獻對于外部干擾的觀測與估計假設較強,缺少有效方法,且大多數方案的控制器與擾動觀測器并不是共同設計建立的,往往都是首先設計控制器,然后再設計觀測器來重構觀測,并將控制器中的相應狀態變量直接用重構變量來替代,使得系統實際狀態變量與觀測變量相互影響,往往會削弱系統的控制性能。文獻[7]提出一種有限時間內穩定的非線性干擾觀測器，對不確定性干擾進行補償抑制,但是需要假設干擾連續且一階導數有界,較難符合實際應用環境。文獻[8]提出一種基于干擾觀測器的PMSM反推控制方法,同樣需要假定不確定性干擾有界且一階導數為0。文獻[9]提出一種快速二階滑模超扭曲算法控制(STA)對PMSM進行控制,設計一種擴張觀測器對外部不確定性干擾進行估計。文獻[10]針對PMSM無速度傳感器控制設計一種負載擾動觀測器,但它們仍需假設干擾一階導數為0。而RBF神經網絡的引入則不需要這些假定，無需確定不確定性干擾的上界,更具有實際意義。

RBF神經網絡采用如圖1所示的3層前向網絡,由于輸入層空間到輸出層空間是一非線性映射,而隱含層空間到輸出層空間是一線性映射,使得系統自我學習速度大幅提高且能有效防止局部極小值問題的出現[15]。

圖1 RBF神經網絡結構

采用RBF神經網絡逼近非線性干擾d,RBF網絡算法為[15]：

(8)

(9)

3 分數階互補滑模控制器設計

3.1 分數階微積分

分數階微積分是在整數階微積分基礎上的推廣和補充,近年來在控制、機器人相關領域得到了廣泛應用,首先給定以下必要知識：

定義1[11]對于正的非整數α，Caputo分數階導數定義為:

0≤n-1<α

下文中,使用Dα代表α階分數階導數。

引理1[12]分數階線性系統：

(10)

式中：x∈Rn×n,A=(aij)∈Rn×n,0<α<1。

漸近穩定的充要條件為：

|arg(spec(A))|>απ/2

式中：arg(·)為相角；spec(A)為矩陣A的所有特征值。

注記2由于式(10)的解為：

x(t)=Eα,1(At)x0

狀態轉移函數為：

當α=1時：

根據分數階系統的穩定條件可知,相對于傳統整數階系統,分數階線性系統穩定范圍更大,適用范圍更廣。除此之外,分數階控制系統收斂性的改變可以通過調節分數階導數的階數α來實現,以獲得系統控制性能的提升。

引理2[13]對于x(t)∈Rn,t≥t0時，有：

式中：P為n維正定矩陣。

3.2 基于RBF網絡的傳統分數階滑模控制

參考文獻[5],設計分數階滑模面為：

S=λe+Dαe

(11)

式中：λ>0,0<α<1。

對式(11)求α階導,得：

λDα-1(-ae-biq+aω*+d)+D2αe

(12)

為保證系統穩定性,設計FOSMC控制率為：

iq=ueq+uv

(13)

(14)

式中：iq為總控制率；ueq為等效控制率；uv為切換控制率。

文獻[5-6]采用基于符號函數的指數趨近率函數進行滑模面設計,設計方法雖然簡便易于實現,但是仍然容易引起抖振現象。不同于文獻[5-6],本文采用以飽和函數作為切換函數的指數趨近率,即：

(15)

式中,飽和函數滿足:

(16)

式中：Φ為邊界層厚度。

結合式(13)-式(15),分數階滑模控制率為：

(17)

當系統進入滑模狀態(S=0)時:

Dαe=-λe

(18)

因為λ∈R+,故有|arg(-λ)|=π>απ/2，根據引理1,分數階滑模系統漸近穩定。

(19)

對式(19)求α階導并綜合式(12),結合引理2有:

S[λDα-1(-ae-biq+aω*+d)+

(20)

將RBF神經網絡逼近的不確定性干擾代入式(17),并綜合式(9)、式(20),有：

(21)

設計自適應律為:

(22)

得:

(23)

根據李雅普諾夫穩定性理論,閉環系統漸近穩定。

綜上,基于RBF網絡的傳統分數階滑模控制率為式(17),滑模面設計為式(11),神經網絡算法為式(8),網絡權值自適應律設計為式(22)。

(24)

可以看到,上述控制方案雖然使用以飽和函數作為切換函數的指數趨近率削弱了抖振,但同時也使系統跟蹤誤差過大。

3.3 基于RBF網絡的分數階互補滑模控制

為進一步減小邊界層內的跟蹤誤差,針對式(7)設計一種分數階互補滑模控制器(CFOSMC)。滑模面采用廣義滑模面Sg和互補滑模面Sc相結合,滑模控制率采用等效控制率和切換控制率組合而成。

廣義滑模面Sg設計為:

Sg=Dαe+2λe+λ2D-αe

(25)

互補滑模面Sc設計為:

Sc=Dαe-λ2D-αe

(26)

λ為正常數,與前文一致。

對式(25)-式(26)求α階導,有:

DαSg=D2αe+2λDαe+λ2e

(27)

DαSc=D2αe-λ2e

(28)

綜合式(25)-式(28)可以得到兩滑模面之和為：

(29)

且存在以下關系:

(30)

為保證系統穩定性,設計CFOSMC控制率為:

iq=ieq+iv

(31)

(32)

(33)

綜合式(31)-式(33),得到分數階互補滑模總控制率為：

(34)

將RBF神經網絡逼近的不確定性干擾代入式(34),得:

(35)

(36)

對式(36)求α階導并綜合式(30),根據引理2有:

(37)

得:

(38)

根據李雅普諾夫穩定性理論,閉環系統漸近穩定。這表明系統從任何初始狀態開始都能在有限時間內到達邊界層內,且沿著兩個滑模面的交集向零點的領域滑動。

綜上,基于RBF網絡的分數階互補滑模控制率為式(34),滑模面設計為式(25)-式(26),神經網絡算法為式(8),網絡權值自適應律設計為式(37)。

(39)

與式(24)相比,閉環系統跟蹤誤差范圍減小一半。因此,與傳統分數階滑模相比,提出的分數階互補滑模控制方法進一步減小了跟蹤誤差,削弱抖振,提高了系統穩定性。

4 仿真結果與分析

為驗證基于分數階互補滑模與RBF神經網絡的控制器對PMSM控制系統的有效性,對提出的算法進行仿真研究,控制系統框圖如圖2所示。仿真采用MATLAB/Simulink環境,表貼式PMSM的主要參數設置為:極對數p=4,阻尼系數B=0.008 N·m·s/rad,電感Lm=0.000 85 mH,轉動慣量J=0.000 35 kg·m2,磁通量φf=0.175 WB,定子電阻R=2.875 Ω。

圖2 系統框圖

電機的初始跟蹤速度設定為1 200 r/min,在0.6 s時設定跟蹤速度為1 000 r/min。電機初始負載轉矩為零,在0.4 s時設定為10 N·m。

以FOSMC為例,不同階次FOSMC在PMSM啟動階段及0.6 s時轉速發生變化時的轉速響應曲線如圖3及圖4所示,結果表明所設計的分數階滑模面的階次將影響系統的超調量、調節時間及穩態誤差,分數階滑模面階次越大,系統超調量越大,調節時間也越長,但穩態誤差越小;分數階滑模面階次越小,系統超調量越小,調節時間也越短,但穩態誤差越大。

圖3 不同階次FOSMC轉速啟動響應

圖4 不同階次FOSMC轉速突變響應

電機轉速度跟蹤對比結果如圖5所示,三條曲線分別為基于RBF網絡分數階滑模(RBF-FOSMC)、基于RBF網絡分數階互補滑模(RBF-CFOSMC)和基于RBF網絡整數階互補滑模(RBF-CSMC)控制方法的速度跟蹤曲線。仿真結果表明,電機轉速在三種方案下都能較好地跟蹤給定速度。0.4 s時加入負載轉矩10 N·m,三種控制方法對系統的干擾抑制效果明顯。

圖5 電機轉速跟蹤對比

初始時刻電機運行轉速的比較結果如圖6所示,結果表明互補滑模控制明顯抑制了超調。圖7表明在0.4 s加入外部干擾的情況下RBF-CFOSMC能明顯抑制干擾,效果優于RBF-CSMC和RBF-FOSMC。圖8表明在0.6 s轉速發生變化時RBF-CFOSMC及RBF-CSMC均有快速響應的性能,但能明顯看到RBF-CFOSMC響應速度快于RBF-CSMC。

圖6 初始時刻電機轉速比較

圖7 0.4 s轉速比較

圖8 0.6 s轉速比較

改善抖振的情況如圖9所示,結果表明抑制抖振情況CFOSMC>CSMC>FOSMC,所設計的CFOSMC相對于傳統整數階互補滑模及常規分數階滑模控制方法進一步削弱了抖振,且具有更好的快速轉矩響應性能。

圖9 抖振性能比較

采用文獻[10]所提出的方案設計的負載擾動觀測器(DOB),與本文所提出的RBF神經網絡進行干擾抑制對比,在0.4 s時加入10 N·m的負載轉矩,兩種方案對干擾的抑制情況如圖10所示。結果表明,兩種方案都能有效抑制干擾,但本文所提出的RBF神經網絡方案對不確定性干擾的抑制效果優于文獻[10]所提出的擾動觀測器方案,同時,在設計過程中無須假定不確定性干擾有界、連續或者一階導數為0等假定條件,更具有實際意義。

圖10 干擾抑制效果對比

圖11表明三相電流幅值與電機轉矩的變化相一致,且成正比例關系。當電機轉速發生突變時,尖峰電流隨之產生,電流的頻率也與所給定的電機轉速相對應。

圖11 定子電流

圖12表明電機轉矩在0.4 s時能很好地跟蹤外部給定的10 N·m負載轉矩,轉速在0.6 s時降低至1 000 r/min，使得轉矩瞬態出現改變。

圖12 電機轉矩

綜上,本文提出的PMSM速度跟蹤控制方法,能較好地跟蹤給定轉速及電磁轉矩,引入的RBF神經網絡能有效地逼近不確定性干擾并進行干擾補償,相對于傳統滑模控制,分數階互補滑模系統響應速度更快,超調更小,抑制負載干擾更強,通過調節分數階導數的階數α可以改變系統的收斂性,獲得系統控制性能的提升。

5 結 語

本文采用RBF神經網絡與滑模變結構相結合的控制方法,利用基于分數階的互補滑模控制器實現電機系統動、靜態跟蹤性能,通過基于RBF神經網絡的反饋控制器以補償外部不確定的干擾,從而保證系統的快速響應性和魯棒性。仿真結果表明,本文提出的方法控制效果明顯,相對于傳統的整數階滑模控制方法具有更高的跟蹤精度和響應速度,為提高PMSM的調速系統的動態品質提供了一種有效途徑。