基于有限時間擾動觀測器的四旋翼編隊控制

張 閱

(大連海事大學(xué)船舶電氣工程學(xué)院 遼寧 大連 116026)

0 引 言

近年來四旋翼飛行器(以下簡稱四旋翼)因其結(jié)構(gòu)簡單、可操作性強(qiáng)且具有垂直起降與定點懸停等優(yōu)點，在軍事及民用領(lǐng)域得到了廣泛的應(yīng)用。比如，近海監(jiān)察、區(qū)域搜索、災(zāi)害救援、農(nóng)業(yè)植保、航拍和貨物運輸?shù)萚1-2]。然而在實際的應(yīng)用過程中，四旋翼飛行時間短、載荷有限和覆蓋區(qū)域小等局限性逐漸地顯現(xiàn)出來。針對于上述問題，令多個四旋翼進(jìn)行團(tuán)隊協(xié)作來共同完成任務(wù)是一種有效的解決辦法，因此，對多四旋翼進(jìn)行協(xié)同編隊控制成為了目前的熱點研究方向之一。

當(dāng)前，四旋翼編隊控制方法主要有l(wèi)eader-follower法[3]、基于行為法[4]、虛擬結(jié)構(gòu)法[5]和圖論法[6]等，但是對于在復(fù)雜飛行環(huán)境下所受的外界干擾，很少有文獻(xiàn)能夠說明以上控制方法可以對擾動進(jìn)行有效的抑制。考慮到上述方法的不足，為進(jìn)一步提高編隊系統(tǒng)的控制性能，國內(nèi)外的學(xué)者們提出了很多先進(jìn)控制方法，比如反推控制[7]、模型預(yù)測控制[8]、自適應(yīng)控制[9]和滑模控制[10]等。文獻(xiàn)[7]應(yīng)用反推控制策略解決了多個水下機(jī)器人的編隊軌跡跟蹤控制問題，但是該方法要求精確的系統(tǒng)模型，建模過程中產(chǎn)生的誤差會影響系統(tǒng)的跟蹤效果?？紤]到編隊系統(tǒng)的輸入及狀態(tài)約束問題，文獻(xiàn)[8]采用了模型預(yù)測控制策略實現(xiàn)了多個移動衛(wèi)星的編隊跟蹤問題。為解決四旋翼編隊的一致性問題，文獻(xiàn)[9]采用自適應(yīng)控制策略實現(xiàn)了編隊隊形的形成與保持。在實際應(yīng)用中，滑模控制策略作為一種魯棒性較強(qiáng)的控制技術(shù)主要用于處理一類具有時變不確定性、易受外界擾動影響的非線性系統(tǒng)。文獻(xiàn)[10]采用滑?？刂撇呗允咕庩犗到y(tǒng)中每一個移動機(jī)器人的實際位置與期望位置誤差能夠漸進(jìn)地穩(wěn)定到零，進(jìn)而使得編隊中相鄰個體之間保持恒定的距離。文獻(xiàn)[11]將反推控制策略與滑?？刂葡嘟Y(jié)合，得到了較好的跟蹤效果，但是采用兩種時間尺度分離的方法需要更大的內(nèi)環(huán)增益來保證閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性，增加了控制器的設(shè)計難度。以上控制策略只有在時間趨于無窮大時誤差變量才能收斂到原點附近的鄰域中，無法在有限時間內(nèi)收斂到零，因此以上具有漸進(jìn)收斂特性的控制策略收斂速度慢、精度低。

為實現(xiàn)有限時間收斂性能，文獻(xiàn)[12]提出了一種終端滑?？刂撇呗?，該方法響應(yīng)速度快、控制精度高并具有強(qiáng)魯棒性，同時具有的有限時間收斂特性是該方法的一大優(yōu)勢，被廣泛地應(yīng)用在機(jī)械臂控制及地面車輛、衛(wèi)星等的編隊控制中。然而在傳統(tǒng)終端滑?？刂浦校捎诖嬖谪?fù)的分?jǐn)?shù)次冪，奇異性的問題不可避免。為了解決該問題，文獻(xiàn)[13]提出了一種非奇異終端滑模控制策略，在解決了奇異性問題的同時也保證了系統(tǒng)的有限時間穩(wěn)定，取得了良好的控制效果。為進(jìn)一步加強(qiáng)有限時間控制效果，文獻(xiàn)[14]提出了一種快速非奇異終端滑?？刂撇呗?，該方法相比于前述控制策略具有更高的控制精度及更快的收斂速度，其控制效果更佳。

本文針對在復(fù)雜未知環(huán)境下的四旋翼編隊跟蹤控制問題，設(shè)計一種基于有限時間擴(kuò)張狀態(tài)觀測器的主從編隊控制方法(FTESO-LFFC)。對于領(lǐng)航者子系統(tǒng)，提出一種ISM控制策略，通過引入的積分項，消除了傳統(tǒng)滑模控制中的趨近階段，提高了系統(tǒng)的魯棒性。對于跟隨者子系統(tǒng)，提出一種NTSM控制策略，通過引入的超扭趨近律削弱了抖振情況。對于四旋翼系統(tǒng)所受的外界擾動，引入FTESO實現(xiàn)了對于擾動的有限時間觀測，以上所設(shè)計的控制策略均具有有限時間收斂特性，其收斂速度更快、控制精度更高。最終，穩(wěn)定性分析證明了閉環(huán)系統(tǒng)的有限時間穩(wěn)定性。

1 預(yù)備知識及問題描述

1.1 預(yù)備知識

引理1[15]存在如下系統(tǒng):

(1)

引理2[16]存在如下系統(tǒng):

(2)

式中:ζ1、ζ2為系統(tǒng)狀態(tài)；1、2、φ1、φ2均為正常數(shù)；若滿足則該系統(tǒng)是有限時間穩(wěn)定的。

引理3[17]存在如下非線性系統(tǒng):

x(t)=f(x(t))

(3)

式中:x=[x1,x2,…,xn]T為系統(tǒng)狀態(tài)；f(·)是在原點鄰域上的非線性函數(shù)。如果存在一個正定標(biāo)量函數(shù)V(x)滿足如下條件:

(4)

式中:δ1>0;δ2>0;0

1.2 問題描述

令Ξn=[zn,xn,yn]T表示地理坐標(biāo)(OE,XE,YE,ZE)下四旋翼進(jìn)行垂直與平移運動的位置信息，Γn=[φn,θn,ψn]T表示機(jī)體坐標(biāo)系(OB,XB,YB,ZB)下四旋翼進(jìn)行旋轉(zhuǎn)運動的橫滾角、俯仰角和偏航角信息，其中下標(biāo)n=0,1,2分別代表領(lǐng)航者與兩個跟隨者四旋翼，基于文獻(xiàn)[11]，可得如下的四旋翼動力學(xué)模型:

(5)

式中:c(·)與s(·)分別代表cos(·)與sin(·)函數(shù)；a1=(Iy-Iz)/Ix;a2=Jr/Ix;a3=(Iz-Ix)/Iy;a4=-Jr/Iy;a5=(Ix-Iy)/Iz;b1=Iq/Ix;b2=Iq/Iy;b3=1/Iz;m為四旋翼的質(zhì)量;Iq為四旋翼質(zhì)心與旋翼之間的距離;Ix、Iy、Iz和Jr分別表示機(jī)體的轉(zhuǎn)動慣量與旋翼的轉(zhuǎn)動慣量;d1n至d6n表示四旋翼飛行過程中所受的外界擾動;ω1n至ω4n表示四旋翼四個電機(jī)的旋轉(zhuǎn)速度且它們之間的關(guān)系為ωn=ω1n-ω2n+ω3n-ω4n;u1n、u4n、u5n、u6n為四旋翼的四個控制輸入。

由于四旋翼是一個具有四輸入六輸出的欠驅(qū)動系統(tǒng)，因其無法控制所有的狀態(tài)，所以令zn、xn、yn和ψn跟蹤期望軌跡znd、xnd、ynd和ψnd同時引入兩個虛擬控制變量u2n和u3n來表示俯仰角、橫滾角與機(jī)體沿x軸及y軸運動之間的關(guān)系，具體形式如下:

(6)

對式(6)進(jìn)行反解運算可得橫滾角和俯仰角信息的期望值，即:

(7)

進(jìn)一步簡化x與y通道的動力學(xué)模型，得到：

(8)

如圖1所示，基于一領(lǐng)航者、兩跟隨者的編隊結(jié)構(gòu)，領(lǐng)航者與跟隨者的相對距離關(guān)系可表示為:

圖1 xy平面下的領(lǐng)航者-跟隨者編隊結(jié)構(gòu)

(9)

式中:Ixn、Iyn(n=1,2)是跟隨者1和跟隨者2與領(lǐng)航者的相對距離ln在x軸和y軸上的投影。v0、vn與vx0、vxn、vy0和vyn分別為領(lǐng)航者與跟隨者1、跟隨者2的線速度及其分量，由式(9)得：

(10)

式中:lxnd、lynd為領(lǐng)航者與跟隨者的期望相對距離，xnd、ynd是在領(lǐng)航者位置信息已知情況下根據(jù)相對距離關(guān)系解算出來的跟隨者平移運動的期望位置信息。

(11)

式中:fin,gin,i=1,2,…,6為其對應(yīng)的非線性函數(shù)。

考慮四旋翼的軌跡跟蹤誤差系統(tǒng)如下:

ein=x1ind-x1in

(12)

式中:x1i0d=(z0d,x0d,y0d,φ0d,θ0d,ψ0d),x1ind=(znd,xnd,ynd,φnd,θnd,ψnd)為領(lǐng)航者與跟隨者的期望軌跡。

本文的控制目標(biāo)是，考慮一組受外界擾動影響的四旋翼系統(tǒng)，對于領(lǐng)航者，基于給定的期望軌跡z0d、x0d、y0d、ψ0d，通過設(shè)計有限時間控制律ui0使得跟蹤誤差ei0在有限時間內(nèi)收斂到零。對于跟隨者，將領(lǐng)航者的高度z0、偏航角ψ0，以及基于領(lǐng)航者位置信息解算出的xnd、ynd作為跟隨者的期望軌跡，通過設(shè)計有限時間控制律uin使得跟蹤誤差ein在有限時間內(nèi)收斂到零。對于外界擾動，設(shè)計有限時間擴(kuò)張狀態(tài)觀測器實現(xiàn)對于擾動的有限時間觀測。

假設(shè)1擾動din滿足連續(xù)可微且有界，即:

(13)

式中:L是有界正常數(shù)。

2 FTESO-LFFC控制策略設(shè)計

本文提出一種基于有限時間擴(kuò)張狀態(tài)觀測器的四旋翼主從編隊控制策略，主要分為擾動觀測器的設(shè)計，領(lǐng)航者子系統(tǒng)與跟隨者子系統(tǒng)控制器設(shè)計，具體設(shè)計方案如下。

2.1 有限時間擴(kuò)張狀態(tài)觀測器

考慮式(11)，一種有限時間擴(kuò)張狀態(tài)觀測器可以設(shè)計為如下形式:

(14)

式中:z1in、z2in、z3in分別為x1in、x2in、din的觀測值；β1>0,β2>0,β3>0為所設(shè)計的正常數(shù)。這里sig函數(shù)具體表示為:

sigα(x)=|x|αsign(x)

(15)

2.2 領(lǐng)航者子系統(tǒng)控制器設(shè)計

結(jié)合式(11)與式(12)，領(lǐng)航者的軌跡跟蹤誤差可表示為：

ei0=x1i0d-x1i0

(16)

誤差變量的一階導(dǎo)數(shù)形式為:

(17)

結(jié)合式(16)和式(17)，一種積分滑模面設(shè)計如下:

(18)

式中:ci>0，ki>0為所設(shè)計的正常數(shù)。

考慮假設(shè)1及式(16)-式(18)，積分滑?？芈稍O(shè)計如下:

fi0-z3i0+kiei0)

(19)

式中:hi>0，ηi>0，t>0，κ>0為所設(shè)計的正常數(shù)。

2.3 跟隨者子系統(tǒng)控制器設(shè)計

同理可得跟隨者的軌跡跟蹤誤差及其導(dǎo)數(shù)為:

ein=x1ind-x1in

(20)

(21)

結(jié)合式(20)和式(21)，一種非奇異終端滑模面設(shè)計如下:

(22)

式中:λ>0;p和q是正奇數(shù)，且1

基于假設(shè)1及式(20)-式(22)，設(shè)計如下的非奇異終端滑?？刂坡?

(23)

式中:ρ1i>0,ρ2i>0，為所設(shè)計的正常數(shù)。

3 穩(wěn)定性分析

定理1FTESO-LFFC考慮滿足假設(shè)1的式(11)，在式(14)、式(19)、式(23)的作用下，系統(tǒng)所受的擾動可在有限時間內(nèi)被觀測到，同時式(16)、式(20)中的跟蹤誤差ei0、ein，可以在有限時間內(nèi)收斂到零，其實際狀態(tài)可以在有限時間內(nèi)跟蹤上期望值。

證明:證明過程分為三步，首先證明擾動din可以由式(14)實現(xiàn)有限時間觀測，其次證明領(lǐng)航者的跟蹤誤差ei0可以在有限時間內(nèi)收斂到零。最后證明跟隨者的跟蹤誤差ein同樣可以在有限時間內(nèi)收斂到零。

步驟1定義擾動觀測誤差如式(24)所示。

(24)

結(jié)合式(11)和式(14)，對式(24)求導(dǎo)得:

(25)

由引理1可知，式(14)對應(yīng)系統(tǒng)可以實現(xiàn)有限時間穩(wěn)定，同時觀測誤差μ1in、μ2in、μ3in可以在有限時間內(nèi)收斂到零，即:

z1in≡x1in,z2in≡x2in,z3in≡din

(26)

進(jìn)一步可得:

z3in-din=0

(27)

步驟2對于領(lǐng)航者子系統(tǒng)，建立如下的Lyapunov函數(shù):

(28)

對式(28)求導(dǎo)可得:

(29)

將式(19)與式(27)代入式(29)中可得:

(30)

對整個領(lǐng)航者子系統(tǒng)，建立如下Lyapunov函數(shù):

(31)

對式(31)求導(dǎo)得:

(32)

由引理2可知，領(lǐng)航者系統(tǒng)的跟蹤誤差ei0可以在有限時間內(nèi)收斂到零。

步驟3對于跟隨者子系統(tǒng)，對式(22)求導(dǎo)可得：

(33)

將式(23)與式(27)代入式(33)中可得：

(34)

(35)

對式(35)求導(dǎo)得:

(36)

由引理3可知，所設(shè)計的非奇異終端滑模面能夠在有限時間內(nèi)收斂到零，進(jìn)一步，根據(jù)式(22)可知，跟隨者的跟蹤誤差ein同樣可以在有限時間內(nèi)收斂到零。

根據(jù)以上分析可知，式(14)、式(16)-式(19)、式(20)-式(23)可以實現(xiàn)有限時間穩(wěn)定，進(jìn)一步來看，整個編隊系統(tǒng)也可以實現(xiàn)有限時間穩(wěn)定。

4 仿真研究

為了驗證所提出控制策略的有效性與可行性，本文采用文獻(xiàn)[11]中的四旋翼飛行器進(jìn)行仿真研究，具體參數(shù)為m=2.2 kg,g=9.81 m/s2,lq=0.235 m,b=3.14×10-5m·s-2,d=7.6×10-7N·s-2,Ix=Iy=6.228×10-3kg·m-2,Iz=1.125×10-2kg·m-2,Jr=1.54×10-5kg·m2。

令領(lǐng)航者期望軌跡為(z0d,x0d,y0d,ψ0d)=(0.1t,sin(0.2t),cos(0.2t),0.1)。領(lǐng)航者與兩個跟隨者的初始位置為(0,-0.5,1)、(0,-1,2)和(0,-1,0)，同時其期望相對距離在兩坐標(biāo)軸的投影為lx1d=ly1d=1,lx2d=ly1d=-1。

假設(shè)領(lǐng)航者與兩個跟隨者在飛行過程中所受擾動為di0=cos(0.5t),di1=sin(0.5t),di2=cos(0.5t)+sin(0.5t),i=1,2,…,6。同時，其控制器與觀測器的參數(shù)選擇為c1=c2=c3=10，c4=c5=c6=60,ki=1,hi=1,ηi=1,ρ1i=30,ρ2i=1,i=1,2,…,6,ι=1,κ=2,λ1=λ2=λ3=1,λ4=λ5=λ6=10,p=7,q=5,β1=β2=β3=10。

仿真結(jié)果如圖2-圖10所示。圖2-圖3給出了領(lǐng)航者與跟隨者1、跟隨者2的軌跡跟蹤情況與姿態(tài)角變化曲線，可以看到領(lǐng)航者與跟隨者都可以在較短時間內(nèi)跟蹤上其對應(yīng)的期望狀態(tài)，具體來看，兩者實際的位置與偏航角曲線在5 s內(nèi)就可以穩(wěn)定地跟蹤期望值，但受四旋翼固有欠驅(qū)動特性的影響，橫滾角與俯仰角跟蹤較慢，但在10 s內(nèi)也可以達(dá)到穩(wěn)定。為了突出本文所設(shè)計控制策略的優(yōu)越性，引入傳統(tǒng)的滑模控制(SMC)策略進(jìn)行對比仿真研究，由圖2和圖3可以看出，在存在外界擾動的情況下，本文所設(shè)計控制策略穩(wěn)定性更強(qiáng)，而傳統(tǒng)的滑?？刂撇呗詿o法保證穩(wěn)定的軌跡跟蹤效果。在實現(xiàn)上述軌跡跟蹤控制的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步對外界擾動進(jìn)行了觀測，圖4-圖9給出了領(lǐng)航者與跟隨者所受擾動及其觀測值的情況，可以看到所設(shè)計的擾動觀測器具有良好的觀測效果，可以在短時間內(nèi)跟蹤上實際的擾動。如圖10所示是編隊系統(tǒng)的空間軌跡跟蹤效果圖，可看出相比于傳統(tǒng)的滑模控制策略，本文所設(shè)計的控制策略與擾動觀測器，可以實現(xiàn)快速、穩(wěn)定的編隊跟蹤控制效果。

圖2 領(lǐng)航者與跟隨者的位置跟蹤曲線

圖3 領(lǐng)航者與跟隨者的姿態(tài)跟蹤曲線

圖4 領(lǐng)航者所受擾動d10至d30的觀測情況

圖5 領(lǐng)航者所受擾動d40至d60的觀測情況

圖6 跟隨者1所受擾動d11至d31的觀測情況

圖7 跟隨者1所受擾動d41至d61的觀測情況

圖8 跟隨者2所受擾動d12至d32的觀測情況

圖9 跟隨者2所受擾動d42至d62的觀測情況

圖10 編隊飛行的三維軌跡跟蹤效果圖

5 結(jié) 語

本文提出一種基于有限時間擴(kuò)張狀態(tài)觀測器的主從編隊跟蹤控制策略，實現(xiàn)了四旋翼編隊在外界干擾下的快速、穩(wěn)定的軌跡跟蹤控制。該方法采用有限時間擴(kuò)張狀態(tài)觀測器實現(xiàn)了有限時間內(nèi)對系統(tǒng)擾動的觀測，提高了系統(tǒng)的抗干擾能力。同時對于整個編隊系統(tǒng)，將其分為領(lǐng)航者與跟隨者子系統(tǒng)，分別對其采用積分滑模與非奇異終端滑?？刂撇呗?，這兩種方法均具有有限時間收斂特性，相比于傳統(tǒng)的漸進(jìn)穩(wěn)定控制策略，所得到的有限時間穩(wěn)定使得閉環(huán)系統(tǒng)的控制精度更高、收斂速度更快。仿真實驗驗證了所提出控制策略的可行性與有效性。