一種近似最優的大規模MIMO檢測算法

周 圍 陳星宇* 馬茂瓊 冉靜萱 彭 洋

1(重慶郵電大學通信與信息工程學院 重慶 400065)2(重慶郵電大學移動通信技術重慶市重點實驗室 重慶 400065)

0 引 言

隨著移動用戶數量每年都在急劇增長，用戶渴望更快的互聯網接入速度以及即時訪問多媒體服務，這就需要更高效的傳輸速率、更高的頻譜效率以及更好的移動性[1]。因此，研究人員提出了5G網絡來解決上述問題，應用高效的技術[2]部署在5G網絡中，例如設備對設備(D2D)通信、超密集網絡(UDNs)、頻譜共享、毫米波(mmWAVE)和大規模多輸入多輸出(MIMO)。第五代(5G)通信系統在6 GHz以下采用經典的大規模MIMO技術，在無線電信道中具有散射和多徑傳播特性。由于天線的尺寸較小，較大的陣列更容易在更高的頻率實現和封裝[3]。因此，大規模MIMO檢測技術適合在厘米波或者毫米波系統中發揮作用。

最早的大規模MIMO檢測器可以追溯到2008年，Vardhan等[4]提出了一種基于似然上升搜索的大規模MIMO檢測器。使用大量天線導致的直接問題是涉及高復雜度計算量，在接下來的幾年里，一些研究者提出使用局部搜索和置信傳播算法來實現接近ML的性能。

近年來，大規模MIMO[5]漸漸進入研究者們的視線中。文獻[6]表明，在發射天線數量較多的情況下，可以利用信道硬化現象來抵消小尺度衰落特性，當接收天線數N遠大于發射天線數K時，信道的每一列漸近正交，信道矩陣逐漸變為對角占優矩陣，信道硬化現象占主導地位。因此，一些傳統的算法如ML、MMSE又成為研究熱點[7]，ML算法是具備理論性最優性能的算法，但其窮盡搜索的方式應用在大規模矩陣時復雜度會隨著天線數增加而劇增，而MMSE線性檢測涉及到高維度的矩陣求逆運算。近些年來，針對如何避免MMSE檢測涉及到的矩陣求逆方案分為三類。

第一類為梯度搜索的方法，如共軛梯度[8]等，這類利用每一層進行梯度搜索的方法，優點是性能較好，但每一次迭代需要計算相應的梯度，極大地增加了計算量。第二類是多項式展開逼近近似解的方法，如諾伊曼級數展開[9]，利用諾伊曼級數展開項近似逆矩陣，此類方法當級數展開(i>2)時，算法的復雜度仍然很高。第三類是通過迭代的方式一步步逼近近似解的方法，如牛頓迭代[10]、高斯-賽德爾迭代[11]、超松弛迭代[12]等。牛頓迭代的方法在滿足文獻[10]的條件時，能實現快速的收斂，但在初始估計時需要更多的計算。高斯-賽德爾迭代的方法在基站與用戶單天線數比值為1時，依然具有良好的性能，但由于算法內部順序迭代結構，很難并行實現。超松弛迭代的方法復雜度低，在基站天線數與用戶數為較大比例時依然具備最優性能，缺點與高斯-賽德爾相似，很難并行實現，并且有一個不確定的松弛參數。

本文提出了一種近似最優MMSE線性檢測算法，不需要進行復雜的矩陣求逆運算，與高斯-賽德爾和超松弛檢測不同，提出的加權兩階段信號檢測由兩個半迭代組成，然后通過加權系數將兩個半迭代合并在一起，得到迭代解，從而降低了算法的復雜度，并通過SD算法良好的搜索性，優化WTS方案的收斂速度，有效地減少了多用戶干擾。數值結果表明，優化后的WTS方案在誤碼率以及收斂速度上都優于傳統的高斯賽德爾和超松弛類算法。此外，通過少量的迭代可以獲得最佳的性能。

1 系統模型

假設大規模MIMO基站(BS)端服務于K個單天線用戶。BS處設置N根接收天線，K個用戶與N根BS處天線之間的信道增益構成矩陣Hc∈CN×K，該矩陣為平坦瑞利信道，滿足獨立同分布。對K個用戶的信息位進行編碼，sc=[s1,s2,s3,…,sK]T為從用戶端發送K×1維的符號向量，其中sk∈Q是第k個用戶發送的符號向量，Q是調制符號集。令Hc∈CN×K為獨立且同分布的信道矩陣，因此BS處收到的N×1維信號矢量表示為：

yc=Hsc+nc

(1)

式中：nc為加性白噪聲向量，其項滿足高斯分布均值為0，方差為σ2IN。本文的重點在上行鏈路檢測，將復信道矩陣轉化為相同的實信道矩陣得到：

y=Hs+n

(2)

2N×1維的實數接收、發送、噪聲矢量分別為y=[{yc}T,{yc}T]T、x=[{xc}T,{xc}T]T、n=[{nc}T,{nc}T]T，H表示2N×2K維的等效信道增益矩陣：

(3)

MMSE檢測的主要思想是最小化傳輸的符號s與估計信號HHy之間的均方誤差，信號檢測的目的是在BS處對信號矢量y無差錯地經過判決恢復出發送信號矢量s，實驗證明，用MMSE檢測算法對所有K個單天線用戶的發射信號向量進行估計，效果是最優的。表達式如下：

(4)

W-1=(G+σ2IK)-1

(5)

式中：G=HHH為gram矩陣。將接收到的信號向量代入式(2)，得到第i個用戶發送的估計符號為：

(6)

(7)

2 方案設計

2.1 WTS方案

在大規模MIMO系統中，信道矩陣H的列是漸近正交的，因此W為正定的Hermite矩陣[13]。為了避免復雜的矩陣求逆，加快收斂速度，本文提出了一種WTS信號檢測方案，采用兩個半迭代，并將兩個半迭代與一個加權系數相結合，迭代求解如下：

1) 由于W是嚴格對角占優的Hermite矩陣，并且W的對角占優程度越高，收斂速度越快，我們將W分解為W=D+L+LH，其中L和D分別為嚴格的下三角矩陣和對角矩陣。為了加快迭代收斂性，本文首先提出兩個不含松弛參數的對稱半迭代：

(8)

(9)

前半段迭代可寫為：

(10)

后半段迭代可寫為：

(11)

D+LH和D+L是針對三角矩陣求逆變換，比直接求逆更簡單。

2) 為了減少近似誤差，提高收斂性能，將式(10)、式(11)合并，得到：

(12)

式中：θ為加權系數，通過數次模擬實驗，本文將θ設置為θ=(K/M)2；i為方案迭代次數；s(0)為K×1維的初始解。

本文提出WTS的信號檢測方案可以迭代地逼近MMSE所需復雜矩陣求逆，優點是更快的收斂速度以及更低的復雜度。現有的GS迭代、NS展開、SOR迭代利用類似的方法避免矩陣求逆，然而本文提出的WTS方案與現有的一些迭代法不同，相互對稱的迭代矩陣中不需要松弛參數，這說明該方案在實際應用中更具備魯棒性。此外，與GS和SOR算法相比，WTS方案更具備靈活性，當加權系數θ=0時，為SOR迭代，當加權系數θ=1時，為GS迭代。

2.2 改進的WTS方案

最速下降搜索[14]作為一種梯度搜索的方法，優點是在迭代初期會有很好的逼近解的趨勢，作為優化算法對低復雜度的WTS方案進行優化處理，在不增加復雜度的背景下對本文所提方案進一步加快收斂速度，并且實現逼近MMSE誤碼率曲線的性能，改進的WTS方案如下所示：

步驟1設置初始解，根據矩陣的對角近似原理，W為正定Hermite矩陣，隨著天線數的增加，呈逐漸對角占優趨勢，因此設置初始解為：

(13)

因為D-1為對角矩陣求逆，所以矩陣求逆復雜度降低，把s(0)作為最速下降法的初始解。

步驟2將本文提出WTS方案第二次的前半次迭代用SD算法來表示，第二次WTS前半次表示為：

s(1)+(D+L)-1r(1)

(14)

r(0)-μp(0)

(15)

s(3/2)=s(0)+μr(0)+(D+L)-1(r(0)-μp(0))

(16)

接下來將優化后的前半次迭代的解代入后半次迭代：

(17)

步驟3進行(i-1)次WTS方案，此處可以根據實際情況設置不同的i，如下所示：

(18)

(19)

(20)

2.3 近似對數似然比的計算

優化后的WTS方案通過迭代得到最優解向量，代替MMSE直接求逆運算，實現了復雜度從O(K3)下降到O(K2)的變化。為了解碼得到精確值，可以通過在信道譯碼時使用LLR軟信息。通過式(6)不難發現，第一步為了算出SINR，須對矩陣W進行求逆，復雜度又一次提高，下一步是降低求逆帶來的計算量。因為信道發生硬化，利用矩陣主對角線占優的特性，用W-1化簡為D-1來做下一步運算，信道增益以及方差可以表示為：

(21)

(22)

3 復雜度與仿真結果分析

3.1 復雜度分析

(1) 初始解與第一次迭代。初始解需要2K次實乘運算，首次迭代分別計算r(0)、p(0)、μ需要4K2、4K2、4K次實乘運算，結合式(16)及式(17)，初始解與首次迭代合計需8K2+10K的實乘運算。

改進的WTS方案所有實乘次數由以上三部分組成，共需(12K2+12K)+(i-1)(2K2+4K)次乘法。 因此，提出的改進的WTS方案的總復雜度為O(K2)。

3.2 仿真結果分析

為了進一步證明提出方案的性能以及可行性，以直接矩陣和對角元素求逆的MMSE檢測誤碼率性能為比較基準，在MATLAB R2016b軟件上進行了仿真實驗。假設CSI已知，表1為仿真背景。

表1 仿真背景

圖1為本文提出WTS檢測方案與Neumann級數展開檢測、MMSE檢測、Gauss-Seidel檢測之間的復雜度比較。可以發現，當i=2時，WTS方案的復雜度明顯低于MMSE檢測算法，略低于Gauss-Seidel檢測算法。當i=4時，WTS方案的復雜度與Gauss-Seidel檢測基本相同，并且明顯優于Neumann級數展開法與MMSE檢測。

圖1 算法之間復雜度對比

圖2設置收發天線數為128×16規模的陣列，下圖為差錯性能BER(Bit Error Rate)曲線，對比了Neumann級數展開檢測、Gauss-Seidel檢測、MMSE精準求逆和本文提出的WTS方案在軟判決中的性能。可以看出，本文所提方案不僅收斂快，BER性能同樣優于Gauss-Seidel檢測以及Neumann級數展開檢測，當i=2時，逼近MMSE最優性能。

圖2 WTS方案與不同算法軟輸出BER比較

圖3中仿真規模同樣設置為128×16根天線，列舉了各種方案與MMSE算法的BER比較，并在信道譯碼中采用軟判決。采用優化后的WTS方案與傳統的檢測算法做比較，如圖3所示，當迭代次數增加，基于Neumann級數展開的信號檢測器、基于Gauss-Seidel的信號檢測器以及優化后的WTS方案的誤碼率性能都有所提升，并且提出的方案性能明顯優于其余算法。當SNR=6 dB且i=1時，優化后WTS方案的BER能達到2.6×10-5，從圖2可知，未優化的WTS方案在相同仿真背景下BER僅能達到3.6×10-3左右，優化后的WTS方案在性能上有極大的提升，通過一次迭代就逼近MMSE檢測曲線，與MMSE檢測BER只相差0.1×10-4左右。當i=2時，優化后的WTS方案已經與MMSE曲線基本重合。與圖2中的未優化WTS相比，優化后的WTS方案明顯收斂速度更快了。容易得出，優化后的WTS方案不僅比WTS方案更快收斂，而且BER性能優于Neumann級數展開法以及Gauss-Seidel迭代等傳統算法，不超過兩次迭代就能逼近MMSE的最優檢測。

圖3 優化后WTS方案與不同算法軟輸出BER比較

圖4為提出的優化WTS方案與未經優化的WTS方案之間收斂性能比較，即誤比特率BER在定量分析SNR的情況下與迭代次數的關系。可以看出，當信噪比逐漸提高，本文提出的兩種方案的BER有明顯的變化，未經優化的WTS需要2～3次迭代達到平穩，而優化后的WTS方案僅僅通過1～2次迭代便接近最優性能，收斂速度得到明顯的提升。

圖4 不同SNR的兩種方案與迭代次數的關系

4 結 語

本文首次把WTS方案應用于大規模MIMO軟輸出信號檢測，通過加權系數將兩個半迭代合并在一起，并利用SD算法的快速收斂性對WTS算法進行進一步改進，在算法的收斂性與復雜度之間進行新的權衡，代替了MMSE算法中的直接求逆運算，復雜度從O(K3)下降到O(K2)。本文對提出WTS方案進行優化，進一步提升了算法的收斂性，再將優化后的WTS方案采用近似對數似然比的方法應用在軟判決中，最后對BER性能以及收斂性能仿真，并與一些傳統算法作對比。結果表明，本文提出的改進的WTS方案在保持較低復雜度的前提下，僅通過少量迭代就能達到最優的MMSE線性檢測性能。