基于無退化混沌系統的序列密碼研究

趙 亮 趙 耿, 馬英杰

1(西安電子科技大學 陜西 西安 710000)2(北京電子科技學院 北京 100070)

0 引 言

自1963年Lorenz發現第一個混沌系統以來，混沌已經被許多研究者廣泛研究。隨著研究的深入，人們逐漸認識到混沌運動的重要性。人們還發現混沌有許多實際應用，如安全通信、化學反應、神經網絡和經濟學。當混沌是有害的時，人們需要混沌控制來抑制甚至消除混沌；相應地，當需要混沌時，需要混沌反控制來增強混沌，使系統完全混沌。

在混沌系統的眾多特征中，正Lyapunov指數的個數和系統全局有界是兩個應用廣泛的混沌判據，Lyapunov指數是不定維空間中相鄰運動軌道平均指數發散強度的一種數值特征，具有多個正Lyapunov指數和唯一正Lyapunov指數的混沌吸引子相比，超混沌吸引子同時向兩個或多個方向擴展[1-3]。對于一個離散的混沌系統，當這個系統的正Lyapunov指數的個數等于系統維數，并且系統全局有界時，可以稱其為無退化混沌系統。但在連續混沌系統中，需要同時配置正、負和零的Lyapunov指數，所以要保證其Lyapunov指數中有一個為零，一個為負，其余全部為正，并且系統全局有界，這樣就可以稱其為無退化混沌系統。無退化混沌系統的各方面特性遠優于存在退化的混沌系統，這也是眾多學者研究無退化混沌系統的原因。

混沌系統的退化可能直接影響混沌加密系統的安全性[4]。目前，解決這一問題的方法有多種，對于連續時間混沌系統，主要包括狀態反饋控制方法[5-6]、試錯法[7]、弱耦合技術[8-9]和參數擾動[10]。雖然已經提出了一些相關的方法來解決一些連續時間混沌系統的產生問題，但大多數方法仍然遵循傳統的試錯法。該方法很難設計出高維混沌系統，也不能從理論上真正解決這一具有挑戰性的研究課題。

文獻[11]提出了一種配置多個正Lyapunov指數的方法，其通過給定受控系統的基礎上加入控制器，改變該受控系統的雅可比矩陣，該方法實現的目標就是使受控系統的正Lyapunov指數的個數達到最大，得到無退化的混沌系統。文獻[12]提出了一種對受控系統加入控制器得到高維無退化混沌系統的方法，該方法給定一個矩陣，通過對其相似變換得到想要的受控系統。由于受控系統是所給出的指定系統，對于每個維度，受控系統是同一個系統，即對于任給一個受控系統，該方法將不能適用。本文提出了一種新的Lyapunov指數配置方法，對于全局有界系統，根據Shilnikov定理，配置零和負Lyapunov指數很容易[13-17]，當系統的特征值具有r(r≤2)個正實部時，系統將能夠產生r個正Lyapunov指數[14-17]。對于任意的受控系統，通過引入兩個控制器，改變受控系統雅可比矩陣，配置系統矩陣的特征值與相對應的特征向量來配置正Lyapunov指數的個數，使系統的正Lyapunov指數個數達到最大，從而達到系統無退化的目的。因為本文方法對于任意受控系統都能適用，故相比文獻[11-12]方法通用性更強。

1 系統的超混沌系統配置方法

對于如下一個n維的連續時間線性系統：

(1)

(2)

接下來，本文設計了一個線性反饋控制器Bx，使得控制系統的原點為一個漸近穩定的不動點；以及設計了一個合適的非線性反饋控制器f(σx,ε)，使得控制系統能夠產生無退化的混沌行為:

(3)

Bx是一個線性反饋控制器，其中矩陣B為：

定義設A是n階方陣，如果數λ和n維非零列向量x使關系式Ax=λx成立，那么這樣的數λ稱為矩陣A特征值，非零向量x稱為A的對應于特征值λ的特征向量。

Ax=λx也可寫成(A-λE)x=0,它有非零解的充分必要條件是系數行列式|A-λE|=0，即:

這意味著對于式(1)中給定n的階方陣A，要配置指定的特征值，只須將矩陣A中n(n-1)個元素和給定的特征值λ1、λ2、…、λn代入上式，剩下的n個元素作為未知量，就可以得到一組方程，如下所示：

(4)

這個n維方程組中有n個未知數，因此一定有解，求解這個方程組可以得到剩余的n個元素，并用這些n個元素替換A中相應的元素，得到具有指定特征值的矩陣。

如上所述，矩陣的所有特征值都可以配置為任意值。因此，控制器Bx可以用來配置A+B的特征值，使得Ax+Bx的原點是漸近穩定的不動點。接下來，令：

(5)

假設控制器只包含一個非線性函數。考慮到耗散，控制器不應影響矩陣A的主對角線，因此可以選擇：

(6)

式中：fi是狀態變量x的第i個元素；xj(i≠j)是狀態變量x的第j個元素。顯然，這不會影響A的主對角線。接下來，設:

fi(σxj,ε)=εsin(σxj)i,j=1,2,…,ni≠j

(7)

式中：ε、σ為可以調整的控制器參數。

容易證明式(3)的所有解都是全局有界的[18]，區間如下所示：

(8)

式中：ε、σ是常數;x(0)是初始值。

(9)

式中：e=0,±1,…。

由式(9)，本文定義如下行列式：

(10)

k=1,2,…,n

(11)

k=1,2,…,n

由式(11)可以得到：

(12)

其中K為斜率，其計算如下：

(13)

(14)

(15)

然后，令斜率|K|?1。假設所有的平衡分布非常接近水平軸，所以cos(σxj)≈±1(e=0,±1,…,±E/2)。

因此，式(3)的系統只包含兩種鞍焦點平衡，相應的雅可比矩陣如下：

(16)

詳細設計標準如下：

(1) 全局有界設計準則。使標稱系統Cx為漸近穩定的線性系統，式(6)所示的非線性反饋控制器一致有界。然后，式(2)的n維控制系統是全局有界且滿足式(8)區間。

(2) Lyapunov指數設計準則。設計控制系統(式(2))滿足以下條件：對于n維連續系統，所有平衡點對應的特征值至少具有r=n-2個正實部和r=n-2個不同的發散方向。因此，式(2)的n維控制系統具有L=n-2個正Lyapunov指數。

具體的設計步驟如下：

1) 對于任意一個連續系統(式(1))，設計一個合適的控制器Bx，該控制器可以將標稱系統Ax+Bx配置為以原點為穩定焦點的漸近穩定線性系統。需要保證λ1,λ2,…,λn的實部為負，使其穩定焦點為原點，由式(4)得到了一個方程組如式(17)所示。

(17)

其中λ1,λ2,…,λn可以任意給定，只需要保證其實部均為負，所以這個方程組只有b1,b2,…,bn為未知數，所以該方程組一定有解。

2) 設計合適的控制器式(6)、式(7)，上述控制系統可通過調節參數ε和σ有效控制。具體地說，對于式(16)所示的雅可比矩陣，特征值的正實部的個數是確定的。同樣地，由式(4)可以得到：

(18)

(19)

同樣，λ′1,λ′2,…,λ′n和λ″1,λ″2,…λ″n為任意給定的值，根據Lyapunov指數設計準則，本文只需要保證其實部為r1=n-1和r2=n-2。這兩個方程組的未知數都只有b1,b2,…,bn和εσ，共n+1個，所以式(18)、式(19)也一定有解。

3) 聯立式(17)、式(18)、式(19)三個方程組，有3n個方程，只有n+1個未知數，理論上解有無數組。求解這三組方程，就能得到線性反饋控制器Bx以及非線性反饋控制器f(σx,ε)。

4) 對于得到的系統，如果系統的簡并度d>0，返回步驟3)，得到另一組解。當d=0時，整個循環停止。最后，正Lyapunov指數的數目達到最大值L=n-2。

2 有兩個正Lyapunov指數的四維混沌系統

給定一個四維連續系統：

其中，假定系統矩陣為:

設非線性反饋控制器為:

由式(3)，可以得到：

由具體設計步驟1)-步驟2)，能得到三組方程如下：

由具體設計步驟3)，得到一組解εσ=225，

由于在求解方程之前，所有矩陣特征值已被設置為滿足設計準則，令ε=15和σ=15，則受控矩陣的正Lyapunov指數的個數是L=min{r1,r2}=2，也就是說，該混沌系統具有兩個正Lyapunov指數，該系統是一個無退化混沌系統，如圖1所示。

圖1 四維無退化混沌系統的Lyapunov指數譜

3 混沌系統量化與性能分析

3.1 混沌序列的生成

為了生存混沌序列密碼，必須將混沌系統的輸出x(t)轉換為二進制的序列S(t)。因此引入不可逆函數Tn(x(t))，轉換函數Tn(x(t))的定義如下：

(20)

3.2 混沌序列性能分析

3.2.1游程測試

游程是指序列中連續不間斷的同一比特所構成的子序列。游程測試的目的是計算待測序列中游程的個數，判斷“0”或“1”的游程個數是否與隨機序列相近似。若以20 000比特長度的序列進行游程測試，如果各個游程長度所對應的子序列個數與滿足相應的范圍要求，則可以認為通過測試。表1為游程測試的范圍要求和結果對比。

表1 游程測試

3.2.2相關性檢驗

相關性包括序列自相關性和互相關性。

序列的均值為：

(21)

式中：S(t)為系統輸出的二值序列。

設S′、S″為兩個混沌二值序列，k為整數。如果自相關函數r(k)滿足：r(k)=0(k≠0)；互相關函數p(k)滿足：p(k)→0，則序列通過檢驗。γ(k)、p(k)計算如下：

(22)

(23)

序列的相關性函數如圖2所示。

圖2 方案一相關性函數

3.2.3初值敏感性測試

對初值微小改變后，序列變化率能反映序列的產生對初值的敏感性。理想情況下，序列變化率應為50%。本文在原初值的基礎上增加10-10，仿真得到變化率為49.97%，由此可知，序列的產生有很強的初值敏感性。

4 結 語

本文提出了一種基于改變矩陣特征值配置具有多個正Lyapunov指數連續混沌系統的構造方法。通過引入兩個反饋控制器，配置任意受控系統軌道全局穩定，并且將正Lyapunov指數的個數配置為最大。通過本文方法，將配置正Lyapunov指數的問題轉化為求解方程組。如果受控系統任意給定，按照本文方法能夠很好地配置正Lyapunov指數。之后對無退化混沌系統進行量化，經過性能分析，量化后的序列能很好地應用在序列密碼之中。