頻域稀疏采樣和激光成像方法*

崔岸婧 李道京 吳疆 周凱 高敬涵

1) (中國科學院空天信息創新研究院,微波成像技術國家級重點實驗室,北京 100190)

2) (中國科學院大學,北京 100049)

激光的單色性和自然圖像頻譜稀疏且集中在低頻區間的特點,使圖像頻譜稀疏采樣成像成為可能.基于小規模激光探測器,引入參考激光,本文提出了頻域稀疏采樣激光成像方法.介紹了頻域稀疏采樣激光成像的原理和成像系統結構,推導了激光回波重構復頻譜的表達式,給出了重構頻譜和復圖像的仿真結果并分析了信號參數對重構效果的影響,同時采用相干系數、均方誤差和結構相似度來評價其重構效果.規模為256 × 256的激光回波復圖像仿真表明,5 個拼接1/4 × 1/4 規模頻域探測器組成的近似十字型稀疏采樣結構,在約31.25% (5/16)的頻域稀疏采樣條件下,仍可獲得較好的重構頻譜和重構復圖像.

1 引言

目前大規模可見光探測器相機已達到30k ×30k 量級,高分辨率寬幅成像的需求在推動探測器規模不斷擴大的同時,也產生了數據量大、傳輸和處理困難等問題.

前端先大數據量采集,然后后端再數據壓縮,這似乎是一個前后矛盾的過程.激光具有窄帶性和單色性,由傅里葉光學成像4f實驗[1,2]和文獻[3,4]可知,利用激光探測獲取的目標信號在頻域稀疏且頻譜集中在低頻區間.在此基礎上,利用傅里葉透鏡將激光圖像變換到頻域,在其低頻區間實施稀疏采樣,進一步通過反演實現激光成像具有可行性.

將小規模面陣探測器設置在激光回波頻譜低頻區間,用頻域稀疏采樣的方式可等效對激光回波復圖像的二維低頻濾波,在僅丟失圖像部分高頻信息的情況下,以小幅犧牲分辨率為代價減少圖像數據量,或可大幅緩解探測器規模和高分寬幅成像的矛盾.近年快速發展的計算成像技術[5]為頻域稀疏采樣激光成像思路提供了一定程度的理論和實踐支持,如文獻[6,7]將傅里葉疊層成像技術用于遠距離遙感成像問題.

文獻[8]探討了圖像頻域稀疏激光成像問題,給出了一些初步仿真結果,基于激光本振相干探測技術體制,其技術實現原理清楚.2020 年美國Point Cloud 公司基于硅光芯片的FMCW 激光雷達相干陣列探測器(陣元規模為512(32 × 16))[9],使頻域稀疏采樣激光成像成為可能.考慮到目前大量應用的激光探測器仍然采用沒有激光本振的直接探測體制,主要實現信號平方律檢波功能,為便于區分,本文將其簡稱為直接探測器,本文在文獻[8]和時域相干探測[10]的基礎上研究了基于直接探測器的頻域稀疏采樣激光成像問題.

2 頻域稀疏采樣激光成像原理

基于直接探測器的頻域稀疏采樣成像系統結構如圖1 所示,其中F 為經接收望遠鏡聚焦后的激光回波復圖像,下文將激光回波復圖像簡稱為激光回波,f表示傅里葉透鏡的焦距.激光器發射相同的兩束激光,其中一束用于照射目標以獲取激光回波,另一束作為參考激光,經空間相位調制后用于激光回波頻譜的重構.激光回波經過傅里葉透鏡處理,其頻譜和參考激光的相干光由直接探測器接收.空間光調制器采用時分方式,對參考激光實現0°和90°相移處理,以獲取激光回波頻譜的實部和虛部.為減少數據量,采用小規模面陣直接探測器,并在低頻區由5 個1/4×1/4 規模頻域探測器構成十字型.

圖1 基于直接探測器的頻域稀疏采樣成像系統結構Fig.1.Structure of the frequency-domain sparse sampling imaging system based on direct detector.

在對基于頻域直接探測器的復圖像重構過程進行分析前,做出以下假設:

1)面陣探測器中各直接探測像元位于x-y平面上;

2)頻域采樣過程中,激光器、目標和傅里葉透鏡之間的距離固定,激光由激光器傳播至傅里葉透鏡所經過的光程為定值;

3)在空間光調制器對參考激光做0°和90°相移過程中,激光回波復圖像保持不變;

4)參考激光的幅度遠大于激光回波頻譜的幅度.

激光回波為復信號,經過傅里葉透鏡處理后所得頻譜為復數,因此可設置激光回波頻譜的表達式為

雙路參考激光的表達式為

參考激光經空間光調制器相移90°后的表達式為

式中,a1(x,y)和a2(x,y) 分別為回波頻譜和參考激光在探測器平面上的幅度,θ1(x,y,t)=2πf0t+φ1(x,y)和θ2(x,y,t)=2πf0t+φ2(x,y) 分別表示回波頻譜和參考激光在探測器平面上的相位,f0為激 光 載 頻,t為 快 時 間,φ1(x,y)和φ2(x,y) 分 別 為回波頻譜和參考激光在探測器平面上坐標 (x,y) 位置上的初始相位.

文獻[10]表明,同源同頻(同波長)參考激光和激光回波具有時域相干性,傅里葉透鏡對每個快時間時刻的激光回波復圖像在二維空間域做傅里葉變換,并未改變激光回波的時域相干性,因此激光回波頻譜與參考激光在時域也具有相干性.

激光回波頻譜和參考激光在探測器平面上相干后的光強[11,12]為

激光回波頻譜和相移90°后的參考激光在探測器平面上相干后的光強為

式中,*表示信號的共軛,θ1(x,y,t)-θ2(x,y,t)=φ1(x,y)-φ2(x,y)消除了激光載波的影響.

由假設3)可得a2(x,y)?a1(x,y),因此(4)式和(5)式中的(x,y) 可忽略.用功率計可獲取參考激光的光強(x,y),經換算可將(4)式和(5)式轉化為激光回波頻譜實部和虛部的表達式

由(6)式和(7)式組合可得復頻譜

因θ1(x,y,t)-θ2(x,y,t) 僅為x-y平面上的變量,該復頻譜在任意時刻固定.(8)式所示復頻譜與激光回波頻譜a1(x,y)ejφ1(x,y) 存在相位差,當參考激光的初始相位φ2(x,y)=0 時,激光回波頻譜恢復效果較好;當參考激光的初始相位φ2(x,y)=π/2時,激光回波頻譜的幅度仍能較好恢復,但重構頻譜與激光回波頻譜正交.

當設置參考激光的初始相位為0 時,(8)式重構頻譜經傅里葉逆變換可得激光回波,即實現圖像的重構.

3 頻譜與圖像重構的仿真分析

目前涉及激光雷達回波復圖像研究的文獻不多,與微波成像雷達[13]類似,激光成像雷達回波信號[14]的初始相位也應由目標斜距決定,因此激光回波復圖像的相位與其幅度應具有強相關性,部分傅里葉疊層成像文獻[15,16]對復圖像的幅度和相位不建立相關性,會造成復圖像物理意義不明確.

受實驗條件所限并使問題簡化,本文仿真中假定激光回波復圖像的相位與其灰度圖相同,傅里葉疊層成像[4,6,7]研究工作中也常做這種假定.

圖2 給出本文仿真分析所用的像素規模為256 × 256 的復圖像幅度圖,設置該復圖像的相位圖與幅度圖一致,且相位的變化范圍設置為0— 2π.根據第2 節中推導仿真激光回波頻譜和圖像的重構.本文在仿真中設置參考激光和激光回波頻譜的幅度關系為a2(x,y)=30μ[a1(x,y)],a2(x,y) 為不隨x和y變化的固定值,參考激光的初始相位φ2(x,y)=0,其中μ(·) 表示取均值,實際工作中可在沒有參考激光的條件下用頻域直接探測器大致估計a1(x,y) 的均值.

圖2 激光回波復圖像幅度圖Fig.2.Laser echo complex image amplitude diagram.

3.1 面陣探測器重構頻譜和圖像

在面陣中滿布256 × 256 個直接探測器的情況下,仿真激光回波頻譜和圖像的重構,仿真結果如圖3 至圖5 所示.由仿真結果可見,面陣探測器重構圖像與激光回波圖像基本一致.

圖3 面陣探測器頻譜實部重構 (a)頻譜幅度;(b)頻譜相位;(c)圖像Fig.3.Reconstruction of the real part of the plane array detector signals’ spectrum:(a) Amplitude of the spectrum;(b) phase of the spectrum;(c) image.

3.2 稀疏面陣探測器重構頻譜和圖像

用5 個1/4×1/4 規模頻域直接探測器拼接構成十字型的情況下,仿真激光回波頻譜和圖像的重構,探測器范圍如圖6 所示,仿真結果如圖7 至圖9所示.圖9 與圖5 對比可見,面陣探測器重構復圖像效果優于十字型探測器重構復圖像,頻域稀疏導致激光回波頻譜部分信息損失.

圖4 面陣探測器頻譜虛部重構 (a)頻譜幅度;(b)頻譜相位;(c)圖像Fig.4.Reconstruction of the imaginary part of the plane array detector signals’ spectrum:(a) Amplitude of the spectrum;(b) phase of the spectrum;(c) image.

圖5 面陣探測器頻譜重構 (a)頻譜幅度;(b)頻譜相位;(c)圖像Fig.5.Reconstruction of the plane array detector signals’ spectrum:(a) Amplitude of the spectrum;(b) phase of the spectrum;(c) image.

圖6 5個1/4 × 1/4 規模頻域探測器拼接構成十字型探測范圍Fig.6.Cross detection range constituted by five 1/4 × 1/4 scale frequency domain detectors.

圖7 稀疏面陣探測器頻譜實部重構 (a)頻譜幅度;(b)頻譜相位;(c) 圖像Fig.7.Reconstruction of the real part of the sparse plane array detector signals’ spectrum:(a) Amplitude of the spectrum;(b) phase of the spectrum;(c) image.

圖8 稀疏面陣探測器頻譜虛部重構 (a)頻譜幅度;(b)頻譜相位;(c)圖像Fig.8.Reconstruction of the imaginary part of the sparse plane array detector signals’ spectrum:(a) Amplitude of the spectrum;(b) phase of the spectrum;(c) image.

圖9 稀疏面陣探測器頻譜重構 (a)頻譜幅度;(b)頻譜相位;(c)圖像Fig.9.Reconstruction of the sparse plane array detector signals’ spectrum:(a) Amplitude of the spectrum;(b) phase of the spectrum;(c) image.

3.3 重構效果評價

本文采用相干系數[17]、均方誤差和結構相似度[18,19]評價激光回波復圖像和頻譜的重構效果.以下將在面陣探測器和稀疏面陣探測器的條件下,根據(8)式重構所得頻譜及其經傅里葉逆變換所得復圖像分別定義為面陣探測器重構頻譜、面陣探測器重構復圖像、稀疏面陣探測器重構頻譜和稀疏面陣探測器重構復圖像.

相干系數表示重構復圖像(頻譜)與激光回波復圖像(頻譜)之間的線性關系,其范圍為 [0,1],當相干系數接近1 時,復圖像(頻譜)的重構效果越好,其定義式為

式中,E(·) 表示計算數學期望,也可用平均值替代,S為激光回波復圖像或頻譜,為重構復圖像或頻譜.

均方誤差表征重構復圖像(頻譜)與激光回波復圖像(頻譜)的差異程度,其表達式為

式中N表示復圖像(頻譜)的規模,本文中N=256×256 ;和si分別表示重構復圖像(頻譜)和激光回波復圖像(頻譜)中第i個單元的值.均方誤差越小,表示重構效果越好.

結構相似度從對比度、亮度和結構等角度評價復圖像(頻譜)的重構效果,其表達式為

式中,D(·)表示計算方差,cov(·) 表示計算協方差,C1和C2均為常數矩陣.結構相似度的范圍為 [0,1],當 SSIM=1 時,兩幅復圖像(頻譜)完全相同;當SSIM=0時,兩幅復圖像(頻譜)不相關.

面陣探測器和稀疏面陣探測器重構頻譜和復圖像的相干系數、均方誤差和結構相似度如表1所示.由相干系數和均方誤差可見稀疏面陣探測器的頻譜重構效果較好,但由于利用傅里葉逆變換重構復圖像對頻譜的精確度較高,因此稀疏面陣探測器重構復圖像結構相似度明顯降低,均方誤差增大.

表1 面陣探測器和稀疏面陣探測器頻譜與復圖像重構效果Table 1.Spectrum and complex image reconstruction effect of the plane array detectors and the sparse plane array detectors.

3.4 參數變化的影響分析

上述仿真和分析均基于參考激光和激光回波頻譜幅度滿足a2(x,y)=30μ[a1(x,y)],參考激光的初始相位φ2(x,y)=0 的條件,以下基于相干系數分析幅度比值和φ2(x,y) 對重構效果的影響.

圖10 為φ2(x,y)=0條件下,不同R對應的稀疏面陣探測器重構復圖像的相干系數曲線.

圖10 R 與稀疏面陣探測器重構復圖像相干系數的變化曲線Fig.10.Change curves of the relationship between R and correlation coefficient of the reconstructed complex image of the sparse plane array detectors.

由仿真結果可知,參考激光幅度和激光回波頻譜幅度均值的比值R的增大可提升復圖像的重構性能.當R →30時,相干系數的增大趨于平穩.R=30條件雖在一定程度上犧牲了探測器的動態范圍,但能夠保證獲得較好的重構結果.

圖11 為R=30條件 下,不 同φ2(x,y) 對應稀疏面陣探測器重構復圖像的相干系數曲線.結果表明,參考激光的初始相位對激光回波復圖像的重構效果沒有明顯的影響.

圖11 φ2(x,y) 與稀疏面陣探測器重構復圖像相干系數的變化曲線Fig.11.Change curves of the relationship betweenφ2(x,y)and correlation coefficient of the reconstructed complex image of the sparse plane array detectors.

4 結論

本文研究了基于直接探測器的稀疏頻域采樣成像方法并給出了仿真結果,分析結果表明該方法具有一定可行性,后續將開展驗證實驗.

為基于直接探測器重構復頻譜,本文方法采用時分方式對參考激光實現的空間相位調制,這對高數據率成像造成了一定影響,因此本文方法適用于場景變化緩慢、需求對時效性要求不高的情景.與此同時,該方法要求參考激光的幅度較大,這在一定程序上降低了探測器的動態范圍.

本文在復頻譜重構過程中引入參考激光,其思路和數字全息成像[20,21]有相近之處.目前的數字全息成像采樣在圖像域完成,其重構工作主要是為了恢復圖像的幅度(灰度),對其相位的重構效果較差,將本文方法用于數字全息成像,不以稀疏采樣減少數據量為目的時,有可能獲得比現有數字全息方法更好的復圖像重構效果,持續相關研究工作具有重要意義.