數學核心素養和數學思想在小學數學教材中的體現
——以北師大版《乘法分配律》為例

■ 成都大學師范學院 何伶俐 王高悅

1 《乘法分配律》對小學生數學學習的重要性

《乘法分配律》(以下簡稱“本課”)是北師大版小學數學四年級上冊第四單元的第五課,這一單元主要是講運算律。在之前的學習中,學生已經積累了一定的經驗。在此基礎上,本單元第一次系統地學習運算律及其應用,為后續在小數、分數運算中應用運算律進行簡便計算打下基礎,具有承上啟下的作用。本課的學習,有利于學生理解四則混合運算方法的多樣性,在思考多樣化方法的過程中培養學生的發散性思維；有利于學生理解乘法分配律的意義和價值,遵循四則混合運算的運算順序,并能運用運算率進行簡便運算,讓學生在實際運算過程中不斷提高運算能力。

2 學情分析

之前,學生已經學習過混合運算:在二年級上冊,學習100以內數的連加、連減、加減混合運算；在三年級上冊,學習萬以內數的連加、連減、加減混合運算和乘(除)加、減的兩步混合運算,在實際情境體會先乘(除)后加(減)、先算小括號里的再算小括號外的運算順序,逐步提高運算能力。經過三年的數學學習,四年級學生對本課的學習已有一定的知識基礎,也有一定的數學能力,但抽象概括能力不強,具體形象思維占主導,對于一些較復雜的數學問題,其理解、掌握還不夠,還需要加強有關知識的學習與有關能力的培養。

3 數學核心素養在本課教材中的體現

3.1 符號意識

在本課的教材中,第三個問題是用字母表示乘法分配律。學生通過用字母表示乘法分配律,體會用字母表示運算規律的簡潔性和優越性。從(a+6)×c=a×c+6×c可以清楚地看到無論是從等式的左邊到右邊的變形,還是從右邊到左邊的變形,目的都是改變運算順序,并保持算式的值不變。

用字母表示運算律這個環節在前幾節課的學習中,學生已經積累了相關的經驗,在本課的學習中再次鞏固練習,通過讓每個學生都試一試、匯報、共同判斷,體會用語言到數學符號表達的過程,培養學生的符號意識,有利于學生進行數學表達和數學思考。

3.2 運算能力

小學階段學生學習乘法分配律,可以使學生理解算理、學會算法,靈活、迅速地進行計算。在本課的教材中,試一試里面有以下兩個問題。

第一個問題是對乘法分配律的正向應用。由于學生已經積累了運用規律進行簡便運算的經驗,所以學生在觀察算式的特點后,可以嘗試運用乘法分配律進行簡便運算從而逐步形成學生的簡算意識。

第二個問題是對乘法分配律的逆向運用,也是在學生觀察算式的特點后,思考能不能運用乘法分配律進行簡便運算。在學生獨立思考運算的方法和運算過程之中,再對比反思正常運算順序,更加能體會到簡算的優越性。這兩個問題的設計,提升了學生的運算能力。

3.3 推理能力

本課的學習可以提升學生的推理能力。在本課的教材中,試一試里面有兩個問題,第一個是觀察(80+4)×25的特點并計算,觀察34×72+34×28的特點并計算。其中第一個問題是對乘法分配律的正向應用,第二個問題是對乘法分配律的逆向運用——這種正逆訓練可以提升學生的邏輯推理能力,讓學生根據不同情況,靈活地學以致用。教材中的課后練習題,讓學生判斷并驗證5×10-5×3=5×(10-3)是否成立,給學生提供了機會進行猜想,培養了學生的猜想習慣,使學生在思考、猜想、驗證中不斷形成合情推理能力。

3.4 模型思想

在本課的教材中,第四個問題是讓學生結合4×9+6×9這個算式說明乘法分配律是成立的。學生可以畫9行10列的點子圖解釋乘法分配律:把這個點子圖圈出兩個部分,一部分是4列9行,另一部分是6列9行,這樣分別計算兩個點子圖,得到4×9+6×9,當然學生也可以從整體看點子圖,是4個9加6個9,應該等于(4+6)個9。學生通過在點子圖上畫一畫、圈一圈,能明白4×9+6×9與(4+6)×9各表示什么意思。在練一練的第2題即讓學生結合圖與同伴說一說等式3×6+4×3=(6+4)×3為什么成立,向學生提供了長方形格子圖,學生可以結合旋轉、拼接前后的長方形格子圖,說一說等式為什么成立——這個長方形格子圖作為乘法分配律的直觀模型,讓學生再次直觀地體會乘法分配律的意義與價值。

點子圖、長方形格子圖可以幫助學生初步形成模型思想,建立空間觀念,促進學生的思維逐步由具體表象向抽象邏輯過渡。

3.5 應用意識

應用意識有兩層含義。一方面,運用數學的概念、原理和方法來解釋現實世界中的現象,解決現實世界中的問題。另一方面,我們意識到現實生活中有很多與數量和數字有關的問題,這些問題可以抽象為數學問題,用數學方法來解決。

乘法分配律作為小學數學的五大運算定律之一,掌握了乘法分配律,不僅可以加強學生對四則運算的理解,更重要的是對后續數學的學習、生活具有重要意義。

本課的內容以貼瓷磚問題情景導入,以購物問題、貨車拉水果問題、花圃籬笆的長度問題、植樹問題等生活中多種場景的實際問題作為練習,讓學生嘗試用乘法分配律來解決。通過對這些實際問題的探究、解決,不僅能夠幫助學生進一步理解、掌握乘法分配律,而且在解題過程中,學生可以發現乘法分配律的簡便妙用。

3.6 創新意識

學生發現并提出問題,是創新的基礎。在本課的教材中,為了積累學生發現、提出、解決問題的經驗,教材提出了四個問題:第一個問題是解決廚房貼瓷磚問題,交流列式計算的方法；第二個問題是從上一個問題中兩組算式的列式與算法中發現乘法分配律,即一個數乘兩個數的和等于這個數分別乘這兩個數所得的積的和；第三個問題是用a、b、c三個字母表示乘法分配律；第四個問題是結合算式4×9+6×9,說明乘法分配律是成立的。這四個問題的設計充分體現了“發現、提出、分析、解決問題”的全過程。學生通過尋找信息,提出問題—列出算式—觀察算式—用字母表示數—解釋規律,表述規律—應用規律這一過程的學習,觀察、解釋和表述學習活動,自己去發現問題,歸納、總結規律,積累合情推理的數學活動經驗,提升思維能力。

4 數學思想在本課教材中的體現

4.1 數形結合思想

本課教材上的第四個問題即讓學生結合4×9+6×9這個算式說明乘法分配律是成立的,向學生提供了點子圖,學生可以在點子圖上畫一畫、圈一圈——學生可能有幾種方式,如分別計算兩個點子圖,得到4×9+6×9；也可以從整體看點子圖,是4個9加6個9,應該等于(4+6)個9；還可以圈一圈4個9和6個9等。通過點子圖的畫一畫、圈一圈,學生更能理解乘法分配律的意義。在練一練的第2題即讓學生結合圖與同伴說一說等式3×6+4×3=(6+4)×3為什么成立,向學生提供了長方形格子圖,學生可以結合旋轉、拼接前后的長方形格子圖,說一說等式為什么成立。

總之,借助圖形,使復雜的數量關系形象化、直觀化、簡單化,不僅有利于學生分析數量關系,更利于活躍學生的思維,拓寬學生的解題思路,提高解題能力,促進智力的發展。

4.2 符號化思想

本課在內容的編排上,首先是結合“廚房貼瓷磚”的實際情境,讓學生提出并嘗試解決數學問題,然后讓學生觀察算式,再說說有什么發現。學生通過觀察兩組算式的列式與算法,直覺到算式的變化規律,然后在初步感悟算式變化規律的基礎上,進行總結歸納。這時,可能很多學生已經發現了規律,但是很難用語言清晰地表述規律,所以讓學生用a、b、c三個字母代替數,寫出規律,這是一種由具體數值計算到符號表達的過程,即由幾個特例的共性特點歸納概括出一般性的結論,從而簡練清晰地提出問題,同時讓學生感悟歸納推理的魅力。

恰當地利用教材,將在很大程度上提高教與學的質量,而恰當使用教材的前提是正確、合理地解讀教材。當然教材并不是唯一的課程資源,教師還應該有意識、有目的地開發和利用其他的各種課程資源,以求實現更高的教學質量。