思維生長：讓深度學習在課堂教學中得以真實發生

林日福

[摘 ?要] 文章以“角的問題”一課的教學為例，通過課前助學單助力學生探究性學習、遞進式問題鏈助力學生提高問題解決能力、結構化教學板書讓思維可視，從而促進學生思維生長，使課堂深度學習得以真實發生.

[關鍵詞] 深度學習;思維生長;角的問題;數學素養

對數學深度學習的理解

深度學習是指，在教師的引導下，學生圍繞具有挑戰性的學習主題，全身心積極參與、體驗成功、獲得發展的有意義的學習過程. 課堂是教學的主陣地，倡導深度學習或深度教學的根本目的是促進學生的發展，助力學生知、情、意的生長. 誠如有學者所言，當前大多數研究都認為深度教學“深在學生參與，倡導主動、積極;深在課程內容，倡導知其所以然;深在學習任務，倡導挑戰性、高投入;深在學習過程，倡導問題解決、知識運用與創新;深在學習結果走向批判、創造等高階思維，或整合認知與非認知的割裂，發展情感、價值觀或追尋意義.[1]”數學具有高度的抽象性、邏輯的嚴謹性及應用的廣泛性等特點，對學生的數學學習來說是極大的挑戰，他們要真正掌握好數學知識，學會數學學習，就必須積極主動地參與到數學學習活動中.與其他學科的學習不同，數學學習活動要求學生積極地全程參與，思維高度集中，在活動過程中積極與所研究的數學對象進行對話，與自己的思維進行對話，與學習伙伴（包括教師、其他學生等）進行對話，并且在對話的過程中積極地對自己原來的思維進行調整與完善，以使問題得到真正解決或向問題解決的方向正確前行，最終形成新的想法、新的問題解決思路. 因此，真正意義上的數學學習，必須是一種深度學習，是促進學生高階思維得以發展的學習，是助力學生思維生長的學習. 所以，促進學生思維生長是數學課堂深度學習真正發生的根本.

對“角的問題”的理解

角是構成幾何圖形的基本要素，角的問題是常見的幾何問題之一.就初中階段的數學學習來說，解決角的問題的常見思維有兩種：一是直接從角的內部入手，運用邏輯推理，從角與角之間的和、差、倍、分等數量關系，實現角的位置關系變換，這種變換沒有改變研究對象的本質屬性;二是聯系三角函數或相似三角形等知識，通過研究線段的數量關系來研究角及角與角的數量關系，將研究角這個對象轉化為研究線段這個新的對象，研究對象的改變，意味著思維也需要相應地調整，于是一種具有極大挑戰性的創新性思維——構造就油然而生. 運用第二種思維來解決角的問題，是近些年中考命題的熱點，常出現在難度較大及區分度較大的試題中，解決這類問題對學生來說具有一定的挑戰性. 文章圍繞運用線段的數量關系來解決角的問題，嘗試通過構建遞進式問題鏈來幫助學生形成解決這類問題的一種基本思維經驗，以實現深度學習，助力學生思維的生長.

課例呈現

1. 課前助學單

問題1：如圖1所示，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直線l經過點C，過點A作AD⊥l，垂足為D，過點B作BE⊥l，垂足為E. 請寫出線段AD，BE，DE之間的數量關系式，并證明.

問題2：如圖2所示，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，直線l經過點C，過點A作AD⊥l，垂足為D，過點B作BE⊥l，垂足為E. 請求出及的值.

解讀 教師以課前助學單的形式，讓學生課前在自主、合作學習中自覺鞏固“一線三直角”模型，感受借用“直角”將角的問題轉化為線段的數量關系問題的基本思想，從而減輕學生課堂學習的認知負擔，并激發他們的課堂參與興趣.

2. 課堂教學

問題3：（2017年深圳中考改編）如圖3所示，拋物線y=ax2+bx+2經過A（-1，0），B（4，0）兩點，并與y軸交于點C.

（1）求拋物線的解析式;

（2）直線BC繞點B順時針旋轉45°后與拋物線交于另一點E，求BE的長.

師：用待定系數法易求得拋物線的解析式為y=-x2+x+2.對于第（2）小題，你們有什么想法？

生1：可先求出直線BE的函數表達式，然后聯立二次函數表達式，求出點E的坐標，繼而求出BE的長.可過點C作CD⊥BE，垂足為D，過點D作DM⊥y軸，垂足為M，過點B作BN⊥DM，交MD的延長線于點N，此時便構造了“一線三直角”模型（如圖4所示）. 由△CDM≌△DBN，得DM=BN. 設DM=m，則BN=OM=m，CM=DN=4-m. 因為OC+CM=OM，又OC=2，所以2+4-m=m，解得m=3，所以D（3，3）. 再由B（4，0），D（3，3）， 可得直線BD的解析式為y=-3x+12，聯立直線BD的解析式和拋物線的解析式后可求得點E的坐標為（5，-3），所以BE==.

師：可以看到，構造出等腰直角三角形，再構造出一個水平方向的“一線三直角”模型，并引入字母m來表示線段DM的長，這些都在解決第（2）小題中發揮了重要的作用. 你是怎么想到的？

生1：由45°角可以聯想到等腰直角三角形，畫出等腰直角三角形BCD后，結合“問題1”我便想到了“一線三直角”模型，由求點D的坐標想到過點D作坐標軸的平行線，再分別求出線段的長.

師：的確，45°角是一個特殊角，構造含有特殊角的直角三角形，再以這個直角三角形為基構造“一線三直角”模型，便可以實現將角的問題向線段的數量關系問題轉化. 構造的方法是作坐標軸的平行線，即采用“橫平豎直”的“斜化直”策略. 當然，根據問題的特點，適當引入未知數來表示線段的長，并結合圖形中線段的數量關系來建立方程（組），有助于我們解決問題.

分析 解決“問題3”可以遷移解決“問題1”的經驗，但需要構造出“一線三直角”模型，這對學生來說具有一定的難度. 教學時，教師可讓學生分享解答過程，這能促進學生之間的交流. 解答完畢后，教師可以讓學生分享思維過程，讓隱性的思維顯化，從而促進學生思維的條理化、邏輯化，助力他們思維的生長.

問題4：在平面直角坐標系中，已知A（-2，0），B（4，0），C為y軸正半軸上一點，且∠ACB=60°，求點C的坐標.

師：由條件可知點C的位置是確定的，那如何求出點C的坐標呢？

生2：可以想辦法求出OC的長. 由60°角聯想到含60°角的直角三角形，于是過點A作AD⊥BC，垂足為D，得Rt△ADC，再過點D作DE⊥x軸，垂足為E，過點C作CF⊥DE交ED的延長線于點F（如圖5所示）. 易得△AED∽△DFC，且它們的相似比為∶1. 設OC=m，CF=n，則DE=n，DF=OC-DE=m-n. 所以AE=DF=m-3n. 因為△DEB∽△DFC，所以=，即=，解得BE=. 因為OA+OE=AE，OE+BE=OB，所以2+n=m-3n，n+=4，解得m=±（負值舍去），所以C（0，+）.

師：可以看到，此題較上題難度有所加大，你是怎么思考的呢？

生2：由60°角想到構造含60°角的直角三角形，再運用“斜化直”策略構造“一線三直角”模型，實現將角的問題轉化為線段的數量關系問題，接著用字母表示需要的未知線段的長，建立方程組求解.

師：60°角與45°角都是特殊角，在探索上可以類比遷移解決45°角問題的經驗. 此題的數量關系更復雜，因此解決時可在圖形中標出已知線段的長，以及由已知推理得到的線段的長，這樣可以讓我們的思維看得見、更直觀，有助于我們快速解決問題.

問題5：如圖6所示，A，B是反比例函數y=圖像上的兩點，點B在點A右側，且點A的橫坐標為1，tan∠AOB=2，求點B的坐標.

師：由點A的橫坐標為1，易得A（1，3），那么由條件tan∠AOB=2，你們能想到什么呢？

生3：（如圖7所示）過點A作AC⊥OB，垂足為C，得Rt△OAC，且tan∠AOB==2. 再運用“斜化直”策略構造出“一線三直角”模型，即過點C作CD⊥x軸，垂足為D，再過點A作AE⊥CD交DC的延長線于點E. 易得△AEC∽△CDO，且它們的相似比為2∶1. 設CD=m，則AE=2m. 所以OD=1+2m. 于是CE=2OD=2+4m. 因為CE+CD=DE，所以2+4m+m=3，解得m=. 所以OD=. 所以C，. 因此直線OC的解析式為y=x. 聯立y=x與y=后可求得點B的坐標為，.

師：構造以∠AOB為內角的直角三角形，進而構造“一線三直角”模型，這是解答此問題的關鍵. 你是怎么想到的？

生3：由條件tan∠AOB=2聯想到構造直角三角形，于是得到=2，這樣便和“問題4”類似了.

師：是的，依據正切的概念，構造出直角三角形后便可以將角的問題轉化為線段的數量關系問題了.綜上可知，解答單個角的問題，體現了如圖8所示的基本思路.

解讀 “問題3”已知45°角、“問題4”已知60°角，它們的本質都是已知在以該角為一內角的直角三角形中兩條直角邊的比值，這與“問題5”的已知條件“tan∠AOB=2”類似. 同類問題的解法一般是相似的，可以相互遷移，于是可以歸納出一般的解題思維. 這樣的教學過程能提升學生的概括思維能力，助力學生思維生長.

問題6：（2019年宿遷中考改編）如圖9所示，拋物線y=x2+bx+c與x軸交于A，B兩點，其中點A的坐標為（1，0），拋物線與y軸交于點C（0，-3）.

（1）求拋物線的表達式;

（2）連接AC，點P在拋物線上，且滿足∠PAB=2∠ACO，求點P的坐標.

師：易求得拋物線的表達式為y=x2+2x-3. 對于第（2）小題，你們有什么想法？

生4：可求得tan∠ACO=，但不會求tan2∠ACO的值.

師：可以嘗試構造一個角，使得其為2∠ACO，再求出其正切值.

生5：由已知得拋物線的對稱軸為直線x=-1，設對稱軸與x軸交于點D，則D（-1，0）. 又由A（1，0），得∠DCO=∠ACO，于是∠ACD=2∠ACO.

師：不錯！利用點A與點D關于y軸對稱的關系，構造出了2∠ACO. 那接下來怎么求tan∠ACD的值呢？

生5：過點D作DE⊥AC，垂足為E. 由三角形的面積公式，可得到AD·OC=AC·DE. 因為AC==，AD=2，OC=3，所以DE=. 所以CE==. 所以tan∠ACD==.

師：那接下來怎么求點P的坐標呢？

生5：（如圖10所示）由題意知tan∠PAB=tan∠ACD=. 當點P在x軸上方時，過點P作PF⊥x軸，垂足為F，于是有tan∠PAB==. 設P（m，m2+2m-3），則PF=m2+2m-3，AF=1-m. 所以=，解得m=-或m=1（舍去），所以P-，. 當點P在x軸下方時，同理可得滿足條件的點P的坐標為P-，-. 綜上可知，滿足條件的點P的坐標為-，或-，-.

問題7：（2019年達州中考改編）如圖11所示，拋物線y=-x2+bx+c經過A（1，0），B（-3，0）兩點.

（1）求拋物線的表達式及其頂點C的坐標;

（2）設D是x軸上一點，當tan（∠CAO+∠CDO）=4時，求點D的坐標.

師：易求得拋物線的表達式為y= -x2-2x+3，頂點C的坐標為（-1，4）. 對于第（2）小題，顯然以我們現有的知識分別求出tan∠CAO與tan∠CDO的值也無法得到tan（∠CAO+∠CDO）的值，因此應找到一個角——α，使得α=∠CAO+∠CDO，即tanα=4. 觀察圖形及題中條件后，你們有什么發現？

生6：（如圖12所示）設拋物線的對稱軸與x軸交于點H，則H（-1，0），CH=4，OH=1. 故tan∠COH=4. 所以∠COH=α. 而∠COH=∠CAO+∠ACO，所以∠ACO=∠CDO.

師：分析得很到位. 這樣問題就自然地轉化為在x軸上找一點D，使得∠CDO=∠ACO，且原來的和角三角函數問題就轉化為角的相等關系問題了. 那接下來怎么求出點D的坐標呢？

生6：當點D在對稱軸左側時，如圖12所示. 因為∠ACO=∠CDO，∠CAO=∠CAO，所以△AOC∽△ACD. 所以=. 因為AO=1，AC==2，所以=，解得AD=20. 所以OD=19. 所以此時D（-19，0）. 當點D在對稱軸右側時，其與（-19，0）關于直線x=-1對稱，所以此時滿足條件的點D的坐標為（17，0）. 綜上可知，滿足條件的點D的坐標為（-19，0）或（17，0）.

師：很好！畫出圖形后會發現，由∠ACO=∠CDO，∠CAO=∠CAO，可以得到一個“子母型”相似，從而獲得線段的數量關系. 解答“問題6”和“問題7”與解答前面的問題，思維方法有什么異同？

生6：它們都是把角的問題轉化為線段的數量關系問題來解決，但前面的問題是已知角的度數或三角函數值，通過構造直角三角形并采用“斜化直”策略，把角的問題轉化為線段的數量關系問題，而“問題6”和“問題7”的解題關鍵是構造或找到滿足條件的一個角，求出該角的三角函數值，再轉化為線段的數量關系問題.

師：是的. 所以解決與角有關的問題，當直接從角的關系來解答較為困難時，可運用相似三角形或銳角三角函數等知識將角的問題轉化為線段的數量關系問題.

解讀 “問題6”與“問題7”均需要先構造或找到一個符合條件的角，然后將角的問題轉化為線段的數量關系問題. 等學生解決完這兩個問題之后，教師可要求學生從整體上比較、歸納、分析解決角的問題的一般方法，從而發展學生的數學思維能力，讓他們的思維得到生長，讓深度學習真正發生.

教學思考

1.運用課前助學單助力學生探究性學習

學生的學習是否真正發生，判斷的基本標準是在學習過程中學生是否積極主動地投入智力與情感. 實踐研究表明，學生對學習過的相關知識的理解水平及對認知經驗的熟悉程度，將直接影響他們課堂投入的時長與深度. 課前助學單是以問題的形式呈現，能幫助學生課前自主復習學習過的相關知識，激活他們的相關經驗，使已有的知識及認知經驗順利地遷移并運用于課堂的探究性學習，從而增強他們課堂學習的信心，激發他們的學習興趣. 另一方面，教師可以結合學生完成助學單的情況，適當調整自己的教學設計，以使課堂教學更適合學生的真實學習狀態.

2.運用遞進式問題鏈助力學生提高問題解決能力

數學是思維的體操，培養與發展學生的數學思維能力，助力學生思維的生長，這是數學教學的價值追求，也是數學深度學習的旨歸. 自然界中萬物的生長都需要“根”，思維的生長也需要“根”，而學生思維生長的“根”在于他們已有的知識基礎與認知經驗. 因此，我們需要“創設基于知識發生、發展過程，以及學生已有經驗的問題情境，喚醒學生已有的認知經驗[1]”. 遞進式問題鏈，就是以基于學生已有知識及經驗的源問題為起點，在深入研究源問題的基礎上，形成思維生長的“根”，再以遞進的問題為“肥料”，讓“根”生長，讓思維逐漸成長為一棵“思維樹”. 對于本課，課前助學單中的“問題1”就是源問題，該問題不僅是“一線三直角”的基本模型，更為重要的是，它反映了當∠BAC=45°，即當tan∠BAC==1時，△ACD與△CBE是全等的關系，從而得===1，進而形成如下思維及經驗：當已知∠BAC的三角函數值時，可通過構造“一線三直角”模型來實現將角的問題轉化為線段的數量關系問題. 此后，再給出具有內在聯系的問題鏈，如“問題2”至“問題7”，學生在解決這些問題的過程中，不斷強化已有的思維及經驗，并給思維及經驗已有的“根”不斷“施肥”，助其生根發芽、不斷生長，使深度學習成為現實.

3.運用結構化的教學板書讓思維可視

“數學的結果是‘看’出來的，而不是‘證’出來的[2]. ”這里的“結果”當然不局限于問題的最終答案，更重要的是解決問題的思維過程及方法，思維生長過程中的生長節，突破解決問題瓶頸的關鍵節點. 讓解決問題的思維過程可視，就是給“看”構建載體，給思維生長構建路徑，讓抽象的思維變得更直觀，從而助力學生積極主動地參與，助力深度學習真實發生. 對于本課，每一個問題的解決始終沿著“規范畫圖→在圖中標記出已知條件→逐步標記出經過運算后得到的結論（新的已知條件）→目標”的路徑展開，讓思維的結果在圖中逐步呈現出來，當遇到困難時再“看”圖、“看”條件、“看”結果、“看”解題目標，這樣，解決問題的思路就更清晰明了了，學生也能更好地感悟解決問題過程中所蘊含的數學思想方法.

結語

運用問題鏈來培養學生“多題一解”的概括思維能力，可以助力學生思維生長，促進學生深度學習發生. 當然，教學中教師也可以運用另一種教學策略，那就是組織學生對某一個典型的問題從不同的角度深入探索不同的解決方法，培養學生“一題多解”的發散思維能力與創新意識. 總之，課堂教學立足于學生的思維生長，為學生的終身發展奠基，這才是真正意義上的讓學生深度學習的目標.

參考文獻：

[1] 張良. 深度教學“深”在哪里？——從知識結構走向知識運用[J]. 課程·教材·教法，2019，39（07）：34-39+13.

[2] 史寧中. 數學基本思想18講[M]. 北京：北京師范大學出版社，2016.

3726501908293