復合場問題中的兩個拓展運動模型剖析

■山東省齊河縣第一中學 馮宗國

復合場問題中的螺旋線運動模型與擺線運動模型在近幾年的高考試題中均有所考查,下面通過模型的講解、典型例題的剖析、同類型試題的訓練等三個環節對螺旋線運動、擺線運動這兩個復合場中帶電粒子的運動模型進行系統梳理,以期對同學們的復習備考有所幫助。

一、螺旋線運動模型

1.模型講解。

情景1:如圖1所示,帶正電粒子的初速度大小為v0,方向與勻強磁場方向間的夾角為θ。

圖1

分析:以磁場的方向為x軸正方向建立如圖2所示的三維直角坐標系,可以將初速度v0分解為vx=v0cosθ,vy=v0sinθ。粒子因有分速度vy而受到yOz平面內的洛倫茲力,在x軸方向上不受力。粒子在x軸方向上以速度vx做勻速直線運動,在yOz平面內以速度vy做勻速圓周運動,這兩個分運動是相互垂直的,其合運動的軌跡類似于彈簧(如圖3所示),這種運動稱為等距螺旋線運動。

圖2

圖3

拓展1:如圖4所示,在上述模型中加入與勻強磁場同向的勻強電場,則粒子在x軸方向上不受洛倫茲力,只受靜電力。粒子在x軸方向上做初速度為vx,加速度為的勻加速直線運動;在yOz平面內仍做勻速圓周運動。其合運動的軌跡為不等距螺旋線。

圖4

2.典型例題剖析。

例1如圖5所示,在三維直角坐標系中,沿z軸正方向有磁感應強度為B的勻強磁場,沿z軸負方向有電場強度為E的勻強電場。在原點O有一質量為m,電荷量為-q的粒子(不計粒子自身重力)以沿x軸正方向,大小為v的初速度發射。試求粒子在時刻的位置坐標。

圖5

解析:粒子在z軸方向上做初速度為零,加速度為的勻加速直線運動;在xOy平面內做勻速圓周運動。其合運動的軌跡為不等距螺旋線。根據,解得。粒子在xOy平面內做勻速圓周運動,其運動軌跡(俯視圖)如圖6所示。根據粒子做圓周運動的周期,易知粒子在時間內的運動軌跡所對的圓心角為。根據洛倫茲力提供向心力得qvB=,結合圖示得粒子在時刻的位置坐標為。

圖6

3.訓練提升。

練習1:如圖7所示,M為豎直放置的金屬板,N為記錄板,分界面P將M、N兩板間的區域分為寬度均為d的Ⅰ、Ⅱ兩部分,M、N、P所在平面相互平行,a為M板上的小孔。區域Ⅰ、Ⅱ內分別充滿平行于M板水平向里的勻強磁場B和勻強電場E。一質量為m,電荷量為+q的粒子,從a孔以初速度v0進入磁場,過分界面P上的b點(圖中未畫出)進入電場,最終打到記錄板N上。不計粒子自身重力。以初速度v0所在直線為z軸,取向右為正方向,取z軸與記錄板N的交點O為坐標原點,以平行于記錄板N水平向里為x軸正方向,以豎直向上為y軸正方向,建立三維直角坐標系。求:

圖7

(1)b點到z軸的距離L。

(2)粒子打到記錄板N上時的x軸坐標。

提示:(1)粒子在區域Ⅰ內做勻速圓周運動,根據洛倫茲力提供向心力得qv0B=,解得。根據幾何關系得L=,解得。

(2)設粒子在區域Ⅰ內的運動軌跡所對的圓心角為α,根據幾何關系得cosα=。粒子從b點進入區域Ⅱ,在yOz平面內做勻速直線運動,在xOy平面內做勻加速直線運動。在z軸方向上滿足vz=;在x軸方向上滿足qE=。聯立以上各式解得x=。

二、擺線運動模型

1.模型講解。

情景2:如圖8所示,在豎直向下的勻強電場與垂直于紙面向里的勻強磁場的復合場中,帶正電的粒子具有水平初速度v0,已知電場強度為E,磁感應強度為B,且。

圖8

圖9

圖10

拓展2:若將上述模型中的帶電粒子由靜止釋放,則可將初速度(v0=0)分解為v1=,即粒子一邊做勻速直線運動,一邊在釋放點以下沿逆時針方向做勻速圓周運動。

2.典型例題剖析。

例2如圖11所示,在豎直平面內有垂直于該平面(紙面)向里的勻強磁場,磁感應強度為B。豎直平面內的a、b兩點在同一水平線上,相距為L。帶電荷量q＞0,質量為m,重力不可忽略的粒子P,以初速度v從a點對準b點射出。不計空氣阻力,不考慮粒子P與地面接觸的可能性,粒子P通過b點。

圖11

(1)求L的可能值,以及對應的粒子P從a點運動到b點所經過的時間t。

(2)對滿足(1)問要求的L值,粒子P能否從a點由靜止釋放后也可以通過b點? 若能,求粒子P在運動過程中可以達到的最大速率vmax。

解析:(1)若粒子P做勻速直線運動,則粒子P受力平衡,即qv1B=mg,解得粒子P的速度。當v=v1時,L為任意值,。當v≠v1時,粒子做擺線運動。每經過一個圓周運動的周期,粒子就回到初始高度。粒子P從a點運動到b點所經過的時間)。因為粒子P完成一個完整的圓周運動不會產生位移,所以。

(2)將粒子P從a點由靜止釋放屬于v≠v1的情況,顯然它可以通過b點。粒子P在a點以下做圓周運動初始時刻的速度。當粒子P兩個分運動的速度同向時,合速度最大,最大速率vmax=v1+。

3.訓練提升。

練習2:如圖12所示,空間存在一復合場,勻強電場豎直向下,勻強磁場垂直于紙面向里,x軸正方向水平向右。一質量為m,帶電荷量為+q的小球以大小不同的初速度從O點沿x軸正方向射出。已知電場強度為E,磁感應強度為B,重力加速度為g。

圖12

(1)若小球做直線運動到達A點,求初速度的大小v0。

(2)若小球由靜止釋放,則它會做曲線運動通過A點,求A點的橫坐標和小球離開x軸的最大距離。

提示:(1)若小球做直線運動,則小球受力平衡,即qv0B=mg+qE,解得v0=。

(2)將小球由靜止釋放,小球的曲線運動可視為速度為v0的勻速直線運動和速度為v0的勻速圓周運動的合運動,即擺線運動。根據,解得小球做圓周運動的半徑,周期T=。要使小球通過A點,則需滿足xA=v0t,t=nT(n=1,2,3,…),解得xA=。根據幾何關系可知,小球離開x軸的最大距離d=。

綜上所述,螺旋線運動與擺線運動均是勻速圓周運動與直線運動的合運動。不同的是,螺旋線運動的兩個分運動是相互垂直的,擺線運動的兩個分運動是共面的。當帶電粒子的初速度具有沿磁場方向(或反方向)的分量時,可以考慮是不是螺旋線運動。當帶電粒子受到的洛倫茲力與靜電力(或重力) 不能抵消時,可以考慮是不是擺線運動。分析螺旋線運動和擺線運動這兩個運動模型都體現了分解的思想。在處理螺旋線運動時,還采用了降維思想。在處理擺線運動時,引入了速度選擇器的速度,還體現了補償思想。