數形結合思想在初中數學教學中的滲透研究

雷霞霞

(甘肅省隴南市成縣鐔河學區 甘肅 隴南 742509)

引言

隨著新課程標準改革不斷深入，初中數學教學也面臨諸多新要求和新挑戰，需要教師在傳授知識和技能的同時，充分調動學生主觀能動性，使所有學生在課堂學習中都有所獲得、并找到適合自己的發展方式。在這一背景下，越來越多教師認識到課堂教學引入數學思想的重要性，這其中就包括數形結合思想。所謂“數形結合”思想，就是將“數”和“形”貫穿到初中數學教材中，使二者相互轉換、相互融合，以此來將復雜知識簡單化、抽象知識具象化。這種教學思想能夠將知識、能力和智力有機結合，有利于引導學生更好的感知和理解題目，使學生在解題中達到“柳暗花明又一村”的效果，確保學生在潛移默化中建立空間觀念和應用意識，并提高推理能力和邏輯能力。

1.數形結合思想概述

1.1 數形結合思想含義。初中數學包括幾何和代數兩方面學習內容，數形結合思想就是建立這兩個學習內容基礎上發展而來的。也就是將幾何與代數有機融合，在發揮其優越性的同時解決數學問題。其實際應用可以概括為兩個方面：第一，以“形”為主的教學思想。即借助圖形的直觀性特點，將隱藏在圖形中的數據關系加以明確[1]。如：將一次函數y=kx+b(k≠0)轉換為圖象方式，在k和b不同取值的條件下，能夠使學生更加直觀的觀察函數上升或下降情況。第二，以“數”為主的教學思想。即借助數據嚴謹性特點，對圖形性質進行闡述。如：引導學生求二元一次方程的根時，如果只觀察圖象則很難保證實數根的嚴謹性，而通過計算數值則能夠彌補圖象存在的不足。

1.2 數形結合的意義。

1.2.1 字面意義。數形結合相對于化歸思想、函數思想而言，其字面意義相對清晰。其中“數”代表數值、代數、數學、算數等意思。泛指數學概念、數學性質等命題。“形”則代表圖形、幾何、空間等意思。泛指圖形表征[2]，例如：符號、實物等。“結合”則是指二者相互依存、相互滲透。如此，就能夠更加深入的了解“數形結合”的含義，也就是將數學中的空間形式和數量關系有機融合，以此來表達數學知識的本質。

1.2.2 深層意義。初中數學教學內容包括兩個方面，分別為代數和幾何，其中代數即數量關系，幾何即空間形式。在此基礎上對“數形結合”的意義進行分析，可以概括為以下內容：第一，在一定條件下，“數”與“形”相互聯系。簡單來說就是數學教學中，很多抽象數量關系可以通過形象的圖形表達，同時，一些直觀的圖形性質也可以通過數量關系闡述。第二，在一定條件下，“數”與“形”相互轉換。在引導學生探究數量關系時，可以借助直觀圖形進行分析。在探索圖形時，也可以借助數量關系來體現。雖然“數”與“形”在數學教學中屬于兩個不同版塊，但將二者有機統一，能夠達到化繁為簡的教學效果，有利于開拓學生思維，培養學生數學意識[3]。

1.3 數形結合思想特點。

1.3.1 形象性特點。在初中數學教學中，如果教師僅采用數據推導和語言表達的方式開展教學活動，那么學生則很難形成完整的知識網絡。而引入數形結合思想，通過圖形推導數據，通過數據分析圖形，可以使學生形成形象思維。例如：在平面直角坐標系中，如果教師只通過變化口訣來表達有序實數對的移動情況，學生很難在頭腦中構造點的距離和移動方向。而通過圖象來表達，則能夠直觀的觀察點的運動軌跡。

1.3.2 直觀性特點。圖形本身具有直觀性特點，在解決數學問題時，將數據與圖形有機融合，能夠使二者相互轉換，在發揮圖形直觀性優勢的同時，真實反映數據之間存在的關系，便于學生更好的理解數學知識，找到解題規律[4]。例如：傳統數學教學中，涉及到的數據分析內容，大多通過方差大小判斷其穩定程度，這種方式不僅復雜繁瑣，而且無法保證分析結果準確性。而通過直觀圖象表示，能夠使學生根據圖象中點的離散情況，分析數據穩定性。

1.3.3 雙向性特點。針對不同數學題目，其解題思路和解題方法也不盡相同。結合題目實際情況，將數與形相互轉換和融合，能夠使一些復雜問題簡單化。例如：在求方程根時引入函數圖象，通過直角坐標系表達題目中的數據，能夠使數據計算更加簡單，如此既能夠提高結算結果準確率，還能夠節約計算時間。同時，針對一些根據數量關系求解的題目，可以采用圖形方式檢驗結果，反之亦可。

2.數形結合思想在初中數學教學中的滲透原則

2.1 等價性基本原則。數形結合思想并非適用于所有數學問題，只有涉及到幾何與代數性質互等的情況下，才能夠實現相互融合、相互轉變的目標。結合數學教學經驗總結來看，由于很多圖象在表達形式上存在一定局限性，所以無法準確現實數據，無法保證解題過程的嚴謹性[5]。

例如：數軸教學是初中生最初接觸數形結合的開端，教師需要引導學生掌握初中數學教學中能夠接觸到的實數，并通過數軸表示出來。由于實數和數軸中的點相互對應，所以只有確保二者性質相互等價，才能夠互相轉換，從而突出數學教學的嚴謹性和規范性。

2.2 雙向性基本原則。將數形結合思想引入初中數學教學中，對某些問題進行單方面的幾何分析或代數分析，并不能從本質上揭露數學知識。只有二者相互滲透相互轉換，才能夠充分發揮數形結合的作用和功能[6]。

例如：在推導平方差和完全平方公式過程中，不僅要通過“數”來推導多項式的乘法法則，還要通過“形”的方式推導四邊形面積變化情況。如此才能夠將數據直觀化，將圖象邏輯化，使學生在二者相互轉換中理解知識之間存在的聯系。

2.3 簡單性基本原則。數學教學中涉及到的不同題目，解題方式不盡相同，一些題目比較偏向于圖象法，其解題過程較為簡單。一些題目則需要通過準確計算數據得到結果。可以看出，解決數學問題并沒有明確規定哪種類型題目必須使用哪種方法，需要結合實際情況來發分析。

3.數形結合思想在初中數學教學中的滲透方法

3.1 數形結合思想在數與代數中的滲透方法。初中數學教學中涉及到數與代數的內容，主要涵蓋有理數預算、函數表達等內容。以有理數為例，滲透數形結合思想，具體可以體現在以下方面：第一，數的體現。初中階段涉及到的數學計算需要將有理數作為基礎。按照定義對有理數進行分類，可以分為整數和分數兩種。按照性質符號進行分類，可以分為正數、零以及負數三種[7]。具體如圖1所示。第二，形的體現。初中數學中的數軸概念，與溫度計讀數相類似。需要選擇代表性數據，結合所選數據與分類在數軸上的分布情況，可以讀出正確數值。如圖2所示，0往左的點保濕數大，0往右的點表示數小，正數大于負數。

圖1

圖2

在此基礎上，教師可以結合數形結合思想為學生設置以下問題，如圖3所示，判斷有理數大小關系( )，并給出以下四個答案。學生在解題過程中通過直觀的數軸，能夠直接得出正確答案，即答案“D”。

圖3

3.2 數形結合思想在計算公式中的滲透方法。初中數學教材中涉及到的計算公式相對較少，其中平方差及完全平方公式，能夠通過滲透數形結合思想方式進行推導[8]。具體來說：

第一，數的體現。教師可以通過引入教學情境的方式來解答問題。如：“某正方形花圃變長為a米，后通過改造，其變長變為(a+2)米，寬變成(a-2)米，求花圃面積？”學生們通過數據計算能夠得出以下算式：

(a+2)(a-2)=a2-2a+2a-4=a2-4

學生直接采用多項式乘法法則計算公式，不僅能夠得出最終結果，還能夠歸納出平方差公式，即：(a+b)(a-b)=a2-b2。在此基礎上，還能夠繼續推導出類比平方差公式，即(a+b)2·(a+b)2=(a+b)(a-b)=a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2。由此得出完全平方公式，即(a+b)2=a2+2ab+b2

第二，形的應用。數學學科與其他學科不同，需要學生深刻領悟數學知識，并通過自主觀察、自行總結找到知識規律，這就需要教師在實際教學中提高學生的概括能力和觀察能力。具體可以從學生的日常生活入手，激發學生的學習興趣和探索欲望。如圖4所示，已知某長方形的長和寬分別為a+b米和a-b米，在該長方形中裁剪出一個小長方型，長為a-b，寬為b(a>b>0)，將裁剪掉的部分拼成圖4，計算面積，可以得出以下等式：(a+b)(a-b)=a2-ab+ab-b2=a2-b2，在此基礎上可以推導出平方差公式，(a+b)(a-b)=a2-b2。

學生通過計算，能夠深刻理解“兩個數的平方差是二者之和與二者之差的乘積”這一概念。

圖4

3.3 數形結合思想在函數中的滲透方法。初中數學7年級教材中，首次涉及到函數概念，在后續學習中，函數概念以循序漸進的方式與各種知識相結合。將數形結合思想引入函數教學中，可以從以下方面分析：

第一，數的體現。在實際教學中，教師需要設置以下問題，引出函數有關知識，調動學生思維：問題一“已知電視的對角線長度為34英尺，將其換算為公制為多少厘米？”問題二“對不同電視尺寸進行計算，并換算成公制，為多少厘米？”問題三“已知某電視對角線長度為x英寸，換算公制后為y厘米，能否用y和x代數式表示？”問題四“區分以上問題中的常量和變量，并探究哪個變量能夠確定y值？”在分析第三個問題時，y可以用含x的代數式來表示，即y=2.54x，這里的2.54為常量，y和x為變量。X取值能夠決定y取值，所以可以通過代數式總結函數概念。其解題思路如下：問題一：2.54×34=86.36(厘米)，問題二：電視機對角線長度為42英寸，換算公制為2.54×42=106.68(厘米)，問題三：y=2.54x，問題四，2.54為常量，y和x是變量，x取值能夠決定y取值。

第二，形的體現。如圖5所示，觀察溫度變化情況，回答一下幾個問題：問題一：( )時溫度最高，達到( )度。問題二：共( )個小時，溫度維持在31℃之上。問題三：9時溫度為( )℃、12時溫度為( )℃、21時溫度為( )℃。問題四：從( )時到( )時氣溫呈上升趨勢。問題五“圖象中哪些為變量”。學生通過觀察圖像可以對數軸有更加深刻的認識，并通過數軸得出準確的數據。解題結果如下：問題一15時溫度最高，為37℃；問題二：共10個小時溫度維持在31℃以上。問題三：9、12、21時的溫度分別為26℃、31℃、33℃；問題四：從3時到15時溫度不斷上升；問題五：圖象中溫度和時間均為變量。

圖5

3.4 數形結合思想在綜合與實踐中的滲透方法。初中數學中的綜合與時間，主要是引導學生通過所學數學知識，解決實際生活中遇到的問題。眾所周知，初中數學教學大多以課堂學習為主，實地調查機會較少，所以開展綜合與實踐教學活動時，主要通過數學知識解決問題。例如：在多邊形的密鋪教學過程中，教師需要從以下方面入手：首先，可以通過不同圖形在地板中的拼接情況，讓學生了解密鋪的概念，同時掌握哪些圖形能夠滿足密鋪需求。在此基礎上，教師可以設計教學活動，為學生分法不同形狀的圖形，引導學生通過自行操作或小組合作的方式進行拼接，同時歸納哪些性質詭辯性能夠密鋪，并在操作中找到規律。學生操作完畢后，教師可以開展交流活動，并設置以下問題“是不是任何四邊形或三角形圖案都能夠密鋪？”學生通過動手和探索可以得出以下結論：第一，在確保四邊形形狀和大小相同的情況下，可以實現密鋪。第二，三角形即便形狀和大小不同，也能夠實現密鋪[9]。與此同時，教師需要引出下一個問題：“多邊形具備那種性質能夠密鋪？”通過實踐來看，引入數形結合思想，既能夠從“數”的層面對多變形內角和進行計算，有能夠從“形”的層面對多邊形進行拼接，如此既能夠使學生切身參與到數學活動中，又能夠激發學生的探索積極性。長此以往有利于幫助學生養成良好的學習習慣，從而提高教學有效性。

由此可見，在解決復雜問題過程中，通過數形結合思想，能夠將問題簡單化，有利于學生以更加直觀、更加便捷的方式得出最終結果，如此不僅能夠節約學生時間，還能夠提高學生數學知識應用意識，從而達到數學教學的最終效果。

結束語

綜上所述，初中數學涉及到諸多概念、理論和定義，對于學生而言學習難度較大，如果教師依然沿用傳統灌輸式教育方法，憑借口語講述和公式推導的方式引導學生學習，則很難使學生形成完整的知識結構，不利于學生掌握數學知識，自然無法達到理想的數學教學效果。而引入數形結合思想，使“數”與“形”相互融合、相互滲透，能夠數學知識簡單化，便于學生以更加直觀、更加靈活的方式發現數學知識之間的規律，從而提高解題能力，并培養學生的空間思維和邏輯思維，從而有效提高教學有效性。