在深度學習視角下的單元復習專題教學
——以圓的復習專題設計為例

■天津市咸水沽第三中學 張宗玲

復習，要以學生的深度學習為出發點，注重知識之間橫向和縱向的聯系，才能使得數學知識不是碎片式存在于學生的知識結構系統中。深度學習倡導的是單元教學，強調的是知識整合。它是由知識面的寬度、知識本質的深度、數學思想方法的高度三個維度構成。從三個維度去關注學生學習數學的過程不能只是一個方向、線性的深度變化過程，需要關注三個維度的發展。下面就以圓的復習專題為例，談談專題單元復習。

一、內容

本復習內容為圓的證明和計算與旋轉中的隱圓問題。

圓是“圖形與幾何”領域的核心內容之一，它是一種特殊的曲線圖形，是在直線圖形有關性質的基礎上發展的基本圖形之一，也是進一步學習數學的重要基礎。“圓”是各省市中考的必考內容，圓的證明與計算對學生的數學素養要求比較高，不僅要求學生對圓的知識掌握熟練，而且還要有一定的研究方法。圖形在旋轉中容易與圓的基本要素產生聯系，有些問題需要分析出隱藏在問題中的圓，利用圓的知識解決旋轉中的求解問題。這部分內容的復習對于學生推理能力、幾何直觀和抽象能力的發展是至關重要的，也是進行深度學習的很好內容。

二、復習板塊設計

（一）第一個板塊：關注知識面的寬度，強化聯系，發展數學素養

第二輪復習，是基于學生對圓的基礎知識已經掌握的基礎上進行的課程單元復習教學。這種復習要以學生的思維提升為目標，從深度學習的角度出發，以學生知識面的寬度和數學思維的寬度為主線，采取一題多解的教學策略，旨在從不同的角度去思考同一道題，用不同的方法尋找知識的生長點，使知識之間構建縱橫聯系網，讓學生的幾何直觀、邏輯推理、抽象能力得到發展。

1.原題呈現。

問題1：如圖1-1，在⊙O中，弦CD與直徑AB相交于點P，∠ABC=63°，若∠APC=100°，求∠BAD和∠CDB的大小。

圖1-1

2.解法探究。

求∠BAD分析：由∠ABC=63°、∠APC=100°，可得∠C=∠APC－∠ABC=100°－63°=37°，再根據圓周角定理的推論可得∠BAD=∠C=37°。

求∠CDB分析：

方法1.如圖1-1，由AB是直徑可得∠ADB=90°，根據圓周角定理的推論可得∠ADC=∠ABC=63°，又因為∠CDB=∠ADB－∠ADC，所以∠CDB=27°。

方法2.如圖1-2，連接OC，由題意可知OC=OB，根據等腰三角形的性質可得∠OBC=∠OCB=63°，從而可得∠COB=180°－∠OBC－∠OCB=54°，由圓周角定理可得∠CDB=∠COB=27°。

圖1-2

方法3.如圖1-3，連接AC，因為AB是直徑，所以∠ACB=90°，所以∠CAB=90°－∠ABC=27°，由圓周角定理的推論可得∠CDB=∠CAB=27°。

圖1-3

3.說明。

所選題目為2020年天津市中考第21題第一問，題目的特點：題干的敘述簡潔、明了，圖形簡單，但卻涵蓋了“圓”豐富的圖形性質，以及八年級的三角形和等腰三角形的知識。

4.方法提煉。

圓的計算和證明通過不同的解法，使得弧、弦、角之間相互轉化。如問題1，教學中引導學生由此及彼地進行聯想、總結常添加的輔助線，構造直角三角形、等角、半角等，挖掘出內在的基本圖形，培養學生思維的創新性。

（二）第二個板塊：關注知識本質的深度，強化本質規律，發展數學素養

在各省市的中考中，以旋轉為背景的題目層出不窮，在旋轉問題中有這樣的一類題目，通過旋轉求線段最值的問題，學生感覺非常困難，之所以困難，是因為找不出解決問題的方法。由于方法的隱蔽性很強，對學生的直觀想象要求比較高，在數學教學中，要善于利用幾何圖形的直觀性去挖掘數學本質的規律——“隱圓”。通過這類問題的研究，可以提高學生對圖形的性質理解和內化，加強學生對圖形中各種元素之間的關系的認識。

1.原題呈現。

問題2：如圖2-1，在平面直角坐標系中，O為原點，點A（－3，0），點B（0，），以AB為一邊作等邊三角形ABC，點C在第二象限，將△AOB繞點B順時針旋轉得△A1O1B，點A，O旋轉后的對應點為A1，O1。若點P為線段CO1的中點，求AP長的取值范圍。

圖2-1

2.解法探究。

如圖2-2，取CB的中點N，連接PN，AN。點O繞定點B進行旋轉，BO為定長，則對應點O1在圓心為點B、半徑為OB長的圓上運動，軌跡圓與BC相交于一點，即為點N，點P隨著點O1位置的變化而變化，問題是點P的運動軌跡是什么？由于點P和點N都是中點，因此PN為三角形CO1B的中位線，O1B是定長，則PN也是定長，因此，動點P的軌跡是以點N為圓心，PN的長為半徑的圓。

圖2-2

由題意，點A、N為固定點，則以點N為圓心，PN長為半徑的圓是動點P形成的軌跡，所以當A，P，N三點共線時，AP取得最大值、最小值，即AN－PN≤AP≤AN＋PN，即

3.說明。

此題是2020年天津市和平區三模第24 題第3問，動點P的軌跡比較難想象，讓學生明確求AP長的范圍就是確定AP的最大值和最小值問題。

4.方法提煉。

利用圓的定義，找定點、尋定長，使得隱形圓現出。已知點A、N為定點，線段NP繞點N旋轉，當點P在線段AN上時，如圖，線段AP最短，當點P在線段AN的延長線上時，線段AP最長。

三、復習專題設計思考

1.單元復習專題緊扣“四條主線”。

教學中突出四條主線，并注重四條主線的和諧發展。一是突出知識面的寬度—強化內在聯系（知識之間橫向聯系）—發展思維（一題多解）—形成方法（提升思想方法）；二是突出知識本質的深度—強化本質規律（運動）—發展思維—形成方法；三是突出“顯性知識（明“圓”）—隱性知識（隱圓）”的思維活動；四是突出教師“引導探究—解析（歸納、概括）—評價”的過程。

2.單元復習設計的反思。

在深度學習的視角下思考圓的復習專題，設計從靜態圓到動態圓的學習過程。一題多解，給學生創設思維的空間，學生的思維活躍起來才會有新的驚喜，學會從復雜的圖形中借助輔助線構造基本圖形，運用圓的基本性質進行計算或證明，學生思維的靈活性與深刻性得以提升，知識面的寬度得到關注。讓圖形旋轉起來，引導學生找準切入點，抓住關鍵點，分析出其中的隱圓，指導學生合理地借助圓的直觀，將“數”轉化為“形”的問題進行研究，使求解問題與圓的要素之間產生關聯，抓住“變”與“不變”的核心，關注知識之間的邏輯關系，圍繞“延伸點”，讓學生在復雜圖形的運動和變化中，提升學生數學思考的深度和廣度，知識本質的深度得以體現。

3.復習專題更應注重思想方法的提升。

提升數學思想方法的高度是深度學習的第三個維度，初中學生還處于形象思維階段，對于“靜止狀態”的圖形基本性質的理解及運用還需“形象化”，對于“變換形態”圖形的理解，要把數學學習的過程“直觀化”“可視化”，這就需要借助幾何直觀來完成，從無“形”到有“形”，抽象能力是主導。以“形”的直觀輔助對“數”的思考，以“數”的邏輯推理判斷“形”的改變，直觀離不開邏輯，邏輯離不開直觀。因此，學會用圖形進行思考、用圖形進行想象，學會用圖形的運動與變化的方式去認識和理解數學，是學習數學所具備的能力，也是復習專題要實現的目標。