建構(gòu)核心概念，促進(jìn)理解與遷移
——以小數(shù)乘除法教學(xué)為例

■天津師范學(xué)校附屬小學(xué) 葉鴻琳

落實(shí)立德樹人根本任務(wù)，培育學(xué)生學(xué)科核心素養(yǎng)，關(guān)鍵在課堂教學(xué)的改革。以本次高中課程改革為例，“重視以學(xué)科大概念為核心，使課程內(nèi)容結(jié)構(gòu)化，以主題為引領(lǐng)，使課程內(nèi)容情境化，促進(jìn)學(xué)科核心素養(yǎng)的落實(shí)”，是本次高中課程改革的重要目標(biāo)，從中可以窺探未來小學(xué)數(shù)學(xué)課程改革的方向，即以學(xué)科“大觀念”為引領(lǐng)的“單元整體教學(xué)”研究。而關(guān)于“大觀念統(tǒng)領(lǐng)下單元整體教學(xué)”的實(shí)踐研究在天津已經(jīng)進(jìn)入第4年，從2019年的加減法到2022年的乘除法，我們團(tuán)隊(duì)以計(jì)算教學(xué)為切入點(diǎn)，對(duì)單元整體教學(xué)中“大觀念的確定”與“實(shí)施策略”進(jìn)行了初步探索與反思。

伴隨研究的深入，我們更加堅(jiān)信“重視知識(shí)結(jié)構(gòu)的力量，重視理解水平的刻畫，關(guān)注遷移的路徑”對(duì)于數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)的落實(shí)具有重要的意義與作用，其中數(shù)學(xué)學(xué)科本身的“代表性概念”的建立，以及概念與概念之間聯(lián)系的建立對(duì)于學(xué)生整體把握學(xué)科知識(shí)體系具有關(guān)鍵作用。因此，從知識(shí)本質(zhì)的宏觀視角下對(duì)單元內(nèi)容進(jìn)行整合與重構(gòu)，凸顯結(jié)構(gòu)的力量，從TUK 目標(biāo)評(píng)估的微觀視角下進(jìn)行活動(dòng)設(shè)計(jì)，清晰呈現(xiàn)認(rèn)知表征，從而促進(jìn)理解與遷移的發(fā)生，提升學(xué)生自主學(xué)習(xí)能力。

一、單元整體教學(xué)重視核心概念的自主建構(gòu)

隨著“大觀念統(tǒng)領(lǐng)下的單元整體教學(xué)”研究的深入，關(guān)注知識(shí)本質(zhì)的內(nèi)在結(jié)構(gòu)，整體遷移認(rèn)知策略，重視學(xué)生理解水平的刻畫，促進(jìn)自主學(xué)習(xí)能力的提升，成為當(dāng)前小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)方式改革的新方向。特別是小學(xué)階段一些“代表性概念”的建立，以及建立概念與概念之間的聯(lián)系，對(duì)于學(xué)生整體把握學(xué)科知識(shí)體系與主動(dòng)遷移認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)具有關(guān)鍵作用。一方面，從廣義的視角來看數(shù)學(xué)學(xué)科的概念、思想、方法都可以稱之為“大觀念”；另一方面，“大觀念”也可以狹義地理解為“代表性概念”或“核心概念”，因?yàn)椤叭绻婚T學(xué)科有某些特色概念可以代表它，那么徹底地理解這些概念就等于獲得整個(gè)學(xué)科的知識(shí)；如果一門學(xué)科的知識(shí)是按照某些模式而組織，那么完全理解這些模式，足以使得許多符合學(xué)科設(shè)計(jì)的特定要素變得清晰。”因此，可以說“代表性概念”的理解與遷移是推動(dòng)學(xué)生自主學(xué)習(xí)的關(guān)鍵因素，是學(xué)生在面對(duì)陌生、復(fù)雜問題時(shí)所表現(xiàn)出的尋求解決問題策略的能力，這種能力就是我們所認(rèn)同的自主學(xué)習(xí)能力，就是數(shù)學(xué)學(xué)科的核心素養(yǎng)。因此，單元整體教學(xué)應(yīng)重視核心概念自主建構(gòu)的過程，關(guān)注核心概念理解與遷移的路徑。

二、核心概念內(nèi)在結(jié)構(gòu)支撐理解與遷移

以人教版五年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)第一單元《小數(shù)乘法》為例，從運(yùn)算教學(xué)的角度思考“小數(shù)乘法”教學(xué)，“運(yùn)算意義”一定是核心概念，因?yàn)榛谶\(yùn)算的意義可以形成多樣化的“算法”，而支撐不同“算法”的“算理”又會(huì)回歸到相同的運(yùn)算意義，所以搭設(shè)“整數(shù)、小數(shù)”乘法意義理解與遷移的路徑是本單元教學(xué)的核心任務(wù)。

現(xiàn)實(shí)中雖然“小數(shù)乘法的意義”是單元教學(xué)中的核心概念，但在實(shí)際教學(xué)中教師很可能更關(guān)注學(xué)生是否能正確進(jìn)行計(jì)算，而忽視組織學(xué)生感悟運(yùn)算意義的活動(dòng)。在原始學(xué)習(xí)路徑中從“整數(shù)乘法”到“小數(shù)乘整數(shù)”，可以通過“乘法就是求幾個(gè)相同加數(shù)和的簡便運(yùn)算”的本質(zhì)進(jìn)行類推遷移。但在從“小數(shù)乘整數(shù)”到“小數(shù)乘小數(shù)”階段，學(xué)生很可能會(huì)因第二個(gè)因數(shù)是小數(shù)產(chǎn)生認(rèn)知偏差，從而可能無法進(jìn)行類推遷移，降低對(duì)“小數(shù)乘法”的理解水平。究其內(nèi)因是對(duì)“小數(shù)意義”的理解不足，不能從單位度量的角度理解乘法運(yùn)算。因此，面對(duì)像“0.1×0.1=？”這樣的問題，學(xué)生只能通過不完全歸納法或合情推理得到其結(jié)果是0.01，而不能從本質(zhì)上理解0.1×0.1 是單位細(xì)化的結(jié)果。

因此，在進(jìn)行本單元整體教學(xué)時(shí)，需要在“小數(shù)乘整數(shù)”與“小數(shù)乘小數(shù)”兩個(gè)學(xué)習(xí)主題之間新增“整數(shù)乘小數(shù)”的學(xué)習(xí)主題，可以通過證明“一個(gè)不等于0的數(shù)乘大于1（或小于1）的數(shù)，積比原數(shù)大（或小）”的學(xué)習(xí)活動(dòng)，在驗(yàn)證猜想的過程中將對(duì)“小數(shù)乘整數(shù)”的認(rèn)知拓展到“整數(shù)乘小數(shù)”，同時(shí)借助數(shù)形結(jié)合思想加深學(xué)生對(duì)“計(jì)數(shù)單位與運(yùn)算意義”的感悟，為后繼學(xué)習(xí)“小數(shù)乘小數(shù)”搭設(shè)新的認(rèn)知路徑。

三、核心概念的建構(gòu)需要從“知道”走向“理解”

單元整體教學(xué)中對(duì)核心概念的教學(xué)需要厘清理解與知道的區(qū)別。舉個(gè)例子，學(xué)生能正確并熟練計(jì)算小數(shù)乘法，能否證明他們理解了小數(shù)乘法，或者說我們是否能單純地通過計(jì)算的正確率、速度、靈活度等評(píng)估學(xué)生的理解水平？

比如，現(xiàn)行教材中“小數(shù)乘小數(shù)”部分，在主題圖中有兩個(gè)學(xué)生提出了問題。

很明顯這兩個(gè)問題的答案停留在“知道”層面。在以前的教學(xué)中，我們時(shí)常看到學(xué)生可以想到運(yùn)用積的變化規(guī)律進(jìn)行轉(zhuǎn)化，甚至很可能通過在小數(shù)乘整數(shù)時(shí)強(qiáng)化算法，學(xué)生能獨(dú)立解決。學(xué)生也能在本課后歸納出小數(shù)乘法可以轉(zhuǎn)化成整數(shù)乘法，從而建立小數(shù)乘法與整數(shù)乘法之間的聯(lián)系。但這種聯(lián)系能否促進(jìn)學(xué)生理解水平的生長？實(shí)際上這種生長很可能是“知道”的擴(kuò)展，并不是“理解”的生長。造成這種傾向的問題在于評(píng)估的指向，因此，在進(jìn)行單元整體研究時(shí)，教師需要首先確定“學(xué)生需要的理解是什么”和“學(xué)生會(huì)理解到什么水平”，即：在運(yùn)算的學(xué)習(xí)中，運(yùn)算的意義、算理與算法、運(yùn)算的性質(zhì)與規(guī)律是穩(wěn)定的，因此，在遇到新學(xué)習(xí)情境中，需要尋找相關(guān)的代表性概念，并進(jìn)行關(guān)聯(lián)，從而解釋新問題。

四、核心概念的遷移需要從“近點(diǎn)”走向“遠(yuǎn)點(diǎn)”

其實(shí)重視學(xué)生在認(rèn)知時(shí)的遷移能力，并不是單元整體教學(xué)獨(dú)有的特征，但單元整體教學(xué)是唯一將遷移能力作為教學(xué)目標(biāo)的一種教學(xué)。評(píng)估學(xué)生的學(xué)科素養(yǎng)可以從結(jié)構(gòu)、理解、遷移三個(gè)維度進(jìn)行測(cè)量，“學(xué)科內(nèi)部結(jié)構(gòu)”是相關(guān)概念組成的知識(shí)串或者是知識(shí)群，它的數(shù)量是有限的。“對(duì)概念本身及其之間聯(lián)系的理解水平”和“學(xué)習(xí)時(shí)所發(fā)生的對(duì)已有理解的遷移”是兩個(gè)隱性的變量，特別是遷移能力在常規(guī)評(píng)估中很難刻畫，更容易為了追求遷移的效率而產(chǎn)生偏差，如下圖所示。

依據(jù)教學(xué)心理學(xué)原理，在日常教學(xué)中教師習(xí)慣運(yùn)用“溫故而知新”的策略，通過課前導(dǎo)入階段的復(fù)習(xí)喚醒學(xué)生已有的相關(guān)認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)，助推新知的遷移。比如，學(xué)生可以通過對(duì)小數(shù)乘整數(shù)的復(fù)習(xí)，自主遷移嘗試?yán)斫庑?shù)乘小數(shù)的問題，但在小數(shù)除法時(shí)，很多學(xué)生在學(xué)習(xí)完除數(shù)是整數(shù)的除法后，卻不能有效建立與除數(shù)是小數(shù)的除法之間的遷移路徑。產(chǎn)生這種遷移差異的原因在于這種服務(wù)一節(jié)課知識(shí)點(diǎn)的遷移屬于“近點(diǎn)遷移”方式，它主要服務(wù)于解決單一問題的遷移，在降低學(xué)生遷移難度的同時(shí)，也削弱了整體性遷移的力量。這種過于優(yōu)化的遷移路徑，在提高遷移效率的同時(shí)，限制了學(xué)生遷移能力的成長。而教師期待的遷移其實(shí)是一些超越學(xué)習(xí)內(nèi)容的遷移，比如研究路徑、研究方法、研究工具的遷移，可以理解為“遠(yuǎn)點(diǎn)遷移”，這種遷移能力是學(xué)生解決后續(xù)陌生問題的關(guān)鍵能力。

因此，在單元整體教學(xué)視角下的運(yùn)算教學(xué)，是基于對(duì)數(shù)的認(rèn)識(shí)和對(duì)運(yùn)算本質(zhì)的理解，用相似的研究路徑整體考慮小學(xué)一至六年級(jí)運(yùn)算教學(xué)的單元架構(gòu)，在設(shè)計(jì)單元教學(xué)時(shí)，一方面強(qiáng)調(diào)對(duì)新問題的追本溯源和未知問題的潛在聯(lián)系，另一方面強(qiáng)調(diào)在面對(duì)新問題時(shí)學(xué)生多樣化和個(gè)性化的感悟與體驗(yàn)，是在此基礎(chǔ)上發(fā)現(xiàn)本質(zhì)聯(lián)系，進(jìn)而進(jìn)行遷移路徑的優(yōu)化。舉個(gè)例子，對(duì)整數(shù)乘法、小數(shù)乘法、分?jǐn)?shù)乘法，學(xué)生的認(rèn)知建構(gòu)過程應(yīng)該是相似的，研究方法更是可以遷移的，同理，乘法的學(xué)習(xí)與除法認(rèn)知過程也應(yīng)該是可以遷移的，這種“整體遷移”不再將視角局限于某一個(gè)知識(shí)點(diǎn)與另一知識(shí)點(diǎn)之間的聯(lián)系，而是超越知識(shí)的學(xué)法遷移。