萬有引力與航天復習中應注意的速度反串

■安徽省壽縣一中 王 銀

■重慶市高新區教師進修學院 楊天才(特級教師,正高級教師)

模型1:太空升降機(太空艙模型)。

太空升降機是人類構想的一種通往太空的設備,它與普通電梯類似,利用太空升降機可以將乘客送入距離地球表面約3.6萬千米的同步衛星中。

例1人類計劃在未來建造太空升降機,即把長繩的一端擱置在地球的同步衛星上,另一端系住升降機,人坐在升降機里,科學家控制衛星上的電動機把升降機拉到衛星上去,放開繩子,升降機能到達地球上。已知地球表面的重力加速度g=10 m/s2,地球的半徑R=6 400 km,地球的自轉周期約為24 h。某航天員在地球表面用體重計稱得體重為800 N,他站在升降機中,某時刻升降機以加速度a=10 m/s2垂直地面上升,此時再一次用同一體重計稱得視重為850 N。忽略地球公轉的影響,根據以上數據判斷下列說法中正確的是( )。

A.若把繩子的一端擱置在同步衛星上,則可知繩子的長度至少有多長

B.可以求出升降機此時距地面的高度

C.可以求出升降機此時所受萬有引力的大小

D.航天員在上升過程中繞地球做圓周運動的線速度逐漸增大

解析:因為同步衛星的離地高度是確定值,所以可知繩子的長度至少有多長,選項A正確。選航天員為研究對象,根據牛頓第二定律和黃金代換式的推論得N-mg＇=ma,,解得選項B正確。因為不知道升降機的質量,所以不能求出升降機此時所受萬有引力的大小,選項C 錯誤。航天員隨升降機向上做加速度減小的加速運動,根據v=ω(R+h)可知,航天員在上升過程中繞地球做圓周運動的線速度逐漸增大,選項D 正確。

答案:ABD

點評:本題考查同學們通過閱讀材料獲取信息,建立物理模型的能力。因為繩中每點的角速度相同,且與地球的自轉角速度相等,所以“航天員在上升過程中繞地球做圓周運動的線速度逐漸增大”是正確的。如果盲目利用“高軌低速大周期”的結論,就會得出錯誤答案。求解本題的關鍵是讀懂新信息,構建新模型,做到“高起點,低落點”。

模型2:雙星模型。

兩顆質量可以相比的恒星圍繞其連線上的某一點旋轉,構成雙星系統。雙星系統中兩顆恒星做勻速圓周運動所需的向心力由兩顆恒星之間的萬有引力提供,因為作用力與反作用力的大小相等,所以兩顆恒星做圓周運動所需的向心力大小相等;因為兩顆恒星繞其連線上的某一點做圓周運動,所以它們的運動周期是相等的,角速度也是相等的,線速度與兩恒星的軌道半徑成正比。

例2中國科學院云南天文臺研究人員在對某密近雙星進行觀測和分析研究時,發現了一種雙星軌道變化的新模式。該密近雙星的周期突然變化,有可能是受到了來自其伴星的動力學擾動,從而引起了兩子星間的物質交流。若小質量子星的物質被吸引而轉移至大質量子星上(不考慮質量的損失),導致其周期增大為原來的k(k＞1)倍,則下列說法中正確的是( )。

B.兩子星間的萬有引力增大

C.小質量子星的軌道半徑增大

D.大質量子星的角速度增大

解析:該密近雙星做圓周運動,萬有引力提供向心力,設質量未轉移時兩子星的質量分別為m1、m2,且m1＞m2,周期為T0,兩子星的間距為R0,則又有r1+r2=R0,解得T0=因為T＇=kT0,所以R＇=,選項A 錯誤。質量未轉移時兩子星間的萬有引力為,質量轉移后兩子星間的萬有引力變為因為R＇＞R0,m2＜m1,所以二者間的萬有引力減小,選項B 錯誤。小質量子星質量未轉移時的軌道半徑,質量轉移后的軌道半徑因此,選項C 正確。根據可知,當周期T變大時,角速度ω變小,選項D 錯誤。

答案:C

點評:在雙星模型中,因為兩顆子星都在繞其連線上某點做勻速圓周運動,它們之間的距離始終不變,所以它們的運動周期是相等的,角速度也是相等的,線速度與兩子星的軌道半徑成正比。如果大星質量遠大于小星質量,那么雙星模型可等價于環繞模型,認為大星是靜止的,小星圍繞大星做勻速圓周運動,用環繞模型和雙星模型計算的結果在誤差范圍內是相當的。

模型3:多星模型。

(1)特點:所研究星體所受萬有引力的合力提供其做圓周運動所需的向心力,除中央星體外,各星體的角速度和周期相同。

(2)三星模型:三顆星體位于同一直線上,兩顆質量均為m的環繞星圍繞質量為M的中央星在同一半徑為R的圓形軌道上運動,如圖1甲所示;三顆質量均為m的星體位于等邊三角形的三個頂點上,繞中心O做勻速圓周運動,如圖1乙所示。

圖1

(3)四星模型:四顆質量均為m的星體位于正方形的四個頂點上,沿著外接于正方形的圓形軌道做勻速圓周運動,如圖2甲所示;三顆質量均為m的星體始終位于等邊三角形的三個頂點上,另一顆質量為M的星體位于中心O,外圍三顆星繞O點做勻速圓周運動,如圖2乙所示。

圖2

例3天文觀測中觀測到有A、B、C三顆星位于邊長為l的等邊三角形的三個頂點上,并沿等邊三角形的外接圓做周期為T的勻速圓周運動,如圖3所示。已知引力常量為G,不計其他星體對它們的影響,關于這個三星系統,下列說法中正確的是( )。

圖3

A.三顆星的質量可能不相等

解析:在這個三星系統中,因為任意兩顆星對第三顆星的合力指向圓心,所以這兩顆星對第三顆星的萬有引力等大;因為這兩顆星到第三顆星的距離相同,所以這兩顆星的質量相同,即三顆星的質量一定相同,選項A錯誤。設這三顆星的質量均為m,根據幾何關系可知,這三顆星的軌道半徑等于等邊三角形外接圓的半徑,則,解得,選項B 錯誤。任意兩顆星之間的萬有引力選項D 正確。這三顆星的線速度大小v=,選項C錯誤。

答案:D

點評:求解三星模型問題,與求解雙星模型問題的方法一樣,需要在找準三星模型與環繞模型差異的前提下,利用萬有引力的合力提供向心力和角速度相等求解。

模型4:拉格朗日點模型。

1772年,法國數學家、力學家和天文學家拉格朗日在論文《三體問題》中指出:兩個質量相差懸殊的天體(如太陽和地球)所在同一平面上有5個特殊點,如圖4中的L1、L2、L3、L4、L5所示,人們稱其為拉格朗日點。若飛行器位于這些點上,則在太陽與地球引力的共同作用下,可以幾乎不消耗燃料而保持與地球同步繞太陽做圓周運動。

圖4

例4如圖5所示,拉格朗日點L1位于地球和月球連線上,處在該點的物體在地球和月球引力的共同作用下,可與月球一起以相同的周期繞地球運動。據此,科學家設想在拉格朗日點L1建立空間站,使其與月球同周期繞地球運動。以v1、T1、a1分別表示該空間站的線速度、周期、向心加速度的大小,以v2、T2、a2分別表示月球的線速度、周期、向心加速度的大小,以v3、T3、a3分別表示地球同步衛星的線速度、周期、向心加速度的大小。下列判斷正確的是( )。

圖5

A.v3＞v2＞v1B.T1＞T2＞T3

C.a3＞a1＞a2D.a3＞a2＞a1

解析:空間站與月球具有相同的周期與角速度,根據線速度v=ωr得v2＞v1,同步衛星離地高度約為36 000 km,月球與地球之間的距離約為380 000 km,故同步衛星離地距離小于拉格朗日點L1離地距離,根據v=得v3＞v2,選項A 正確。根據周期得T3＜T1＜T2,選項B 錯誤。在拉格朗日點L1建立空間站,使其與月球同周期繞地球運動,則位于拉格朗日點L1的空間站的軌道半徑小于月球的軌道半徑,根據向心加速度得a2＞a1,同步衛星的軌道半徑小于位于拉格朗日點L1的空間站的軌道半徑,根據向心加速度得a3＞a2＞a1,選項C錯誤,D 正確。

答案:AD

點評:位于拉格朗日點的物體與月球同步運動(即同周期、同角速度),它在地球和月球二者萬有引力的合力作用下做勻速圓周運動,與環繞模型存在本質上的區別。

總之,同學們要正確理解萬有引力定律的物理含義,注意結論成立的條件,掌握相關模型的解題方法,實現思維的有效遷移。