高中數學課堂中滲透函數與方程思想教學初探

楊雪松

與小學和初中數學的學習不一樣，高中數學的學習相對比較抽象化，大部分學生學習起來比較吃力。高中一年級學習函數就讓不少學生感到恐懼，因為其抽象性是義務教育階段學習無法比擬的。如果學生想要把高中數學這一科目學習好，就需要掌握一定的數學思維并且能夠靈活應用。但數學思想并不是一蹴而就的，也不是一兩節課就可以傳授完畢的秘訣，它是需要學生在深刻理解數學概念、熟練掌握一定量的數學問題后，通過解題后的不斷反思，在其思維中一步步摸索與總結而形成的系統思考方法。本文將結合自己的高中數學教學實踐，對高中數學課堂滲透函數與方程思想教學進行初步地探討與分析，幫助學生在提升自身數學能力的同時，也注意自身數學核心素養的提高，并為數學教學效率的提高和數學教學改革的優化提供相關參考。

一、正確理解數學的抽象性，在形象直觀中逐步抽象化

從小學開始，學生就明確數學中的“數”是從萬事萬物中抽象出來的、物質的量的表征。如數字“9”，可以是9顆棒棒糖，也可以是9本書、9位同學、9根筆等等。到了初中，我們又把抽象的數用更加抽象的字母替代。如字母a，它不僅可以表示正數、負數，還可以是0。這時，就很容易讓學生犯迷糊，如-a，它是不是負數呢？這個時候，就要分類討論了，即若a為正數，-a就是負數;若a=0，-a依然等于0;若a為負數，這時-a就反而是正數。這在對a取絕對值時，可以很好地發現學生的掌握情況。很多學生會以為|a|=a，而沒有從a的取值分類去得出不同的結論。學生在初中階段就接觸了不少簡單的函數，如正比例函數、反比例函數、一次函數、二次函數等。這些函數揭示的是兩個變量之間的內在數量關系，這就比單純地一個字母表示的數更加抽象了。

高中階段，我們高一的函數學習是最關鍵的影響因素，指數函數、冪函數、對數函數，它們是我們進一步學習其他函數的基礎。為了更好地掌握這些基礎的三大函數，我們課堂上要做大量的鋪墊，以化復雜為簡單，化抽象為形象。如，對于函數概念，y=f（x），我們知道，x是自變量，y或者說f（x）是因變量，x取定值時，y也因此而有唯一的定值與之對應;而x取值變化時，y也隨之變化。對此，我簡單地說成：函數就是你和我的關系，你定我也定，你變化我也隨之變化。學生一下子就能夠明白這樣兩個變量的依存關系。

學習指數函數時，我引入2的0-10次方，要求學生記憶2的0-10次冪結果：1、2、4、8、16、32、64、128、256、512、1024，還在課堂上用2的這些次冪演練蘭州拉面的生產過程。例：蘭州拉面開始揉面，可以看成20=1;然后一拉為2，即21=2;隨后再一拉，2變成4，即22=4;以此翻倍下去……拉10次，即210=1024。這時，拉面師傅手中有1024根面條，截取去兩頭，抓取到熱鍋中煮熟，加上調料，一碗熱氣騰騰的蘭州拉面就完成了。可以一邊模擬拉面的過程，一邊讓學生跟著做體操，同時記憶2的0-10次冪結果。這樣不僅培養了學生的數感，還給學生留下深刻的記憶體驗。對于指數函數，我們可以以y = f（x） = 2x為特例展開學習，再在學習過程中講一些故事，如印度宰相與國王下棋打賭的故事，或者一張紙折疊30次可以堆高到達月球的結果，讓學生體會指數翻倍先慢后快的特點。通過這些游戲、故事等，讓抽象的數學學習逐漸被學生接受。

二、正確理解函數與方程思想，訓練學生的數學思維能力

現在我們所提倡的是能力的學習，在數學當中，需要培養學生的各種數學思維能力。如換個角度思考，正難則反，利用“借”的思想，數形結合……這些思想方法都是我們解決數學以及實際問題必不可少的思想工具。方程思想，其實就是利用未知解題的思想。如，三百多年前，數學王子高斯碰到老師給的難題：1+2+3+……+100=？大家都按固有的慣性思維，從左到右依次相加99次。這個工作量還是挺大的，但也會得到一個有用的數列，即1、3、6、10、15、21、28、36、45、55、66……聰明的高斯則換個角度觀察，從兩頭往中間看，發現1+100=2+99=3+98=……=50+51=101。這樣，就有50個101，加法變成乘法，即101×50=5050。這也是今天等差數列求和方法的源頭。如果我們利用方程思想，我們就可以設1+2+3+…+100=x;然后如同孫悟空的金箍棒，給它一個反轉，就有100+99+98+…+1=x。兩個等式對齊，相加，就有左邊是100個101，即10100;右邊是2x。即2x=10100，解方程得x=5050。因此，同樣可以得到1+2+3+……+100=5050。

一般情況下，學生在解決數學問題中經常要用到函數與方程的思想，這是解題的關鍵，特別是碰到一些有規律的數列，一定會有數據之間的依存關系。如對于前述1、3、6、10、15、21、28、36、45、55、66……，依存關系是S = 。而對于拉面數1、2、4、8、16、32、64、128、256、512、1024……，依存關系是S = 2n-1。因此，學生學會用函數與方程的思想不僅能夠提高自己的數學學習成績，也能夠鍛煉自己的思維方式，把復雜混亂的題目整理得更加清晰明了，進而提高數學的邏輯思維能力，更利于學生理解復雜的解題過程。同時，也對學生在生活當中的實際應用很有幫助。

數學中函數與方程思想不僅能夠將初中的知識和高中的知識很好地銜接起來，還能把一些生活當中的實際問題或者是具體的數學問題轉化成函數與方程，從而更加有利于我們把復雜的數學問題簡單化，提高數學學習的效率。函數與方程的思想在數學學習中是一種十分重要的思維方式，在解題中也十分關鍵，幾乎所有的數學題都會應用到這種解題思路，這是提升學生數學核心素養的基本內容，也是提升學生解題思路的重要條件。函數與方程的思想可以讓學生在面對大量復雜的題目材料時，把它們變得系統清晰化，更有利于理清思路，應用函數與方程的解題方法，常常能夠把問題簡單化。應用這種方法在解題過程中可以達到事半功倍的效果。

三、函數與方程思想具體應用到數學教學

1. 在函數與方程相互轉化當中的應用

解決數學問題的大部分思路是利用函數和方程之間可以進行相互轉化的思想，但是在兩者轉化的過程當中需要特別注意的是函數的定義域，這是解題中常常遇到的一種情況;另外一種情況是當一個函數的定義域確定的情況下，當運用待定系數法解決數學問題的時候，要能夠時刻注意函數的類型，這樣才能把這類數學問題完整且正確地解答出來。所以說，我們在做題的時候，有思路的同時，也要做到仔細認真。很多函數和方程的問題當中都會涉及到定義域，我們一定要考慮到定義域的取值范圍，并且要能夠把同一類型的題目總結出規律，這樣能夠幫助我們更加快速地解答出問題。

例1：已知函數f（x） = kx2 + （k-3）x+1的圖像與x軸在原點的右側有交點，求解這個函數，確定實數k的取值范圍。

分析：解這一道題時，首先要分析當k=0時，f（x） = -3x+1，這個圖像與x軸的交點為（，0），這個結果符合題意的要求。

其次，分析當k不等于0時，對于x=0，函數的值為1。當k<0時，函數的圖像是開口向下的拋物線，此時它與x軸有兩個交點，分別位于原點的兩側。

最后，當k>0時，函數的圖像是開口向上的拋物線，此時必須結合△大于等于0，來求解k的取值范圍。也就是0小于k并且小于等于1。

解題：（1）當k=0時，f（x）=-3x+1，符合題意。

（2）當k≠0時，f（0）=1。

當k>0時，函數圖像開口向上，此時用△≥0解得，0<k≤1。

當k<0時，函數圖像開口向下，有兩個交點。

綜上所述，k的取值范圍是k≤1，即k∈[-∞，1]。

通過這一道簡單的例題，我們可以看出，函數與方程之間的轉化可以提供給我們的是：在解決較難的題型時，一種全新的解題思路，將復雜的問題簡單化，將帶有變量的方程問題用一次函數或函數的形式表達出來，并結合函數的圖像以及圖像的開口方向，結合函數的唯一特性，做出正確的解答。依靠這種全新的解題思路，數學的解題變得高效。

2. 在不等式當中的應用

不等式的學習也是高中數學重要的一部分，解題的大部分思路也會應用到函數與方程的思想，這是解題的關鍵。在幫助我們把這些知識聯系在一起的同時，也能讓我們更深刻地理解不等式的相關知識。

例2：已知f（t） = log2t，t∈[，8]，對于f（t）值域內的所有實數m，不等式x2 + mx + 4 > 2m + 4x恒成立，求x的取值范圍。

解析：t∈[，8]，f（t）∈[，3]。

繼而可以將原題表示為：m（x-2）+（x-2）2>0無論在什么條件下都是成立的，這個問題就成為了解關于m的一次函數問題。這樣的理解對于解函數問題是十分重要的。

當x=2時，不等式不成立。所以x≠2。

令g（m） = m（x-2）+（x-2）2，m∈[，3]，進一步可以表達為

g（m）在m∈[，3]上，無論是什么條件都是大于零的，因此得到

g（）>0，g（3）>0。

解得：x>2或x<-1。

首先必須要知道這個問題要得到x的取值范圍，這里需要注意另一個變量，解決思路的轉換的關鍵在于將不等式的求解x取值范圍轉變為求變量m的一次函數;其次，再結合一次函數的特性，將復雜的問題簡單化，在多個字母變量中，結合一次函數，輕松解得正確答案。通過函數和方程的應用來解決不等式，能夠將問題快速準確地解答出來。

3. 應用到數列問題當中

數列也可以看作是一種函數，但是數列的定義域較為特殊一點，就是它是自然數整點。把函數與方程的思想運用到數列當中，能夠更好地掌握數列的規律，學習得更加深刻透徹。

例3：已知數列{an}滿足an+1 = 2an + 3且a1=6，求數列的通項an。

分析：設an+1 + x = 2（an + x），通過與已知an+1 = 2an + 3對比，解得x=3，即an+1 + 3 = 2（an + 3）。在這道題目當中我們構造了一個新的等比數列{an+3}，它的首項為9，公比為2，在新的數列構造完成之后我們再進行進一步地求解。

在常見的數學解題過程中，可以將這一類問題轉化為函數與方程的形式，再結合函數與方程的轉化思想，輕松求解。這樣做往往能夠更加簡單，比用直接代數的方法更加有效。

總體來說，函數與方程的思想在數學的學習中需要經常性地運用。根據新課改的要求，數學的學習要能夠培養學生的數學思維能力。函數與方程的思想對于提高學生的數學邏輯思維和數學的理性思維都有一定的幫助，所以說，教師應當以課本為跳板，根據班級中學生的具體情況來合理地教學。教學的最終目的是為了能夠培養學生的學習能力，不單單是學生對于學習內容的掌握程度。對于數學的教學來說，不單單是教會給學生純粹的數學理論知識，也要重視教給學生解決問題的能力。數學的學習更加注重的是理性邏輯思維的學習，要想培養學生的這方面能力，在數學教學的過程中運用函數與方程的思想是必不可少的。這也是培養高中學生數學核心素養必不可少的基礎性工作。