內容綜合 思維進階 方法貫通
——“直線與圓的位置關系”復習課的教學設計

錢建芬

(江蘇省蘇州市吳江區實驗初級中學 215228)

1 問題提出

大多數教師在數學復習課習慣于習題講評，而缺少對某一主題、某一個單元進行知識整體架構，更不用提在此基礎上引導學生觸類旁通地進行復習.教師根深蒂固的想法就是要多講幾道例題，總認為“題目講了，學生就懂了；學生能做了，也就學會了”.殊不知，即便是教師講過的例題，有相當多的學生在新的情境里再次碰到類似的問題時還是不會分析、不會思考、不會作答.究其原因，是我們的復習課把知識點割裂開來進行回顧，本質上還是新授課的“濃縮版”，不僅僅是教學內容在“炒冷飯”，解題技能和思維能力也得不到進階.這種低效的復習課進一步把學生的思維固化了，把學習內容割裂了，不利于學生必備品格和關鍵能力的進一步發展，直接影響數學學科素養的提升.一堂優質的數學復習課應該體現“學習內容要綜合，技能訓練要貫通，思維品質要進階”三大基本特征.應讓學生通過對知識的溫習、回顧，建立知識之間的聯系，啟發深刻的思維活動，厘清一類問題的基本解決方法，讓學生在變式訓練中獲取新知識、新方法、新技能，積累數學學習的經驗，達到“講一題、得一法，會一類、通一片”的學習效果.所以，要上好一堂數學復習課，不但考驗著教師的學科素養和教學技藝，也“拷問”著我們的教育思想和教學主張.

下面以“直線與圓的位置關系”復習課為例，呈現設計思路，供讀者參考.

2 內容分析及教學目標

“直線與圓”是《圓》這一章的重要內容，包括直線和圓的位置關系、切線的概念、切線的性質和判定、三角形的內切圓、切線長定理及其應用等.這部分內容比較典型地體現了圖形的位置關系與相應的數量關系的內在聯系，蘊涵著數形結合的思想，一直是各省市中考命題的熱點.一是題型多樣，有填空題、選擇題和解答題等；二是內容綜合，常常與三角形、四邊形等結合在一起，可謂多變；三是方法靈活，時常還會與圖形相似、全等知識綜合運用，可謂靈活.因此，在復習“直線與圓”的內容時，既要關注結論的理解與應用，更要讓學生感受其中的思想方法并能夠運用這些結論進行邏輯推理解決有關問題，從而提升數學學科素養.

教學目標

(1)回憶直線與圓的三種位置關系，鞏固掌握三角形的內切圓、三角形的內心、圓的外切三角形等概念.復習“過圓上一點作圓的切線”的方法，能作三角形的內切圓.

(2)在處理直線與圓的位置關系這一類問題時，要想方設法將問題轉移到直角三角形中來討論，將直線與圓的位置關系引發的問題與直角三角形的有關知識構建關聯.重點復習垂徑定理和切線長定理在新情境中的應用.

(3)了解復雜問題無非是一組簡單問題的組合，在分析復雜問題的時候，掌握將之分解為簡單問題的思考方法，提高在新情境中發現“老問題”的能力.

3 教學過程

以2011年江蘇省連云港市數學中考卷第26題為線索，設計“直線與圓的位置關系”復習課的“四問題五環節”，幫助學生回憶知識、反芻經驗、發展技能，促進思維品質進階.

原題呈現(2011年連云港中考數學卷第26題)：已知∠

AOB

=60°，半徑為3 cm的⊙

P

沿邊

OA

從右向左平行移動，與邊

OA

相切的切點記為點

C

.(1)⊙

P

移動到與邊

OB

相切時(圖1)，切點為

D

，求劣弧的長；

圖1

(2)⊙

P

移動到與邊

OB

相交于點

E

,

F

，若求

OC

的長.

3.1 導入

教師不急于指導學生解題，而是從直線與圓關系的本原問題上組織學生討論，幫助學生回憶知識，拋出第一個問題.

問題1

如圖2，已知∠

AOB

=60°，半徑為 3 cm的⊙

P

沿邊

OA

從右向左平行移動，與邊

OA

相切的切點記為點

C

.當點

P

到邊

OB

的距離滿足什么條件時，邊

OB

與⊙

P

相離、相切、相交？

圖2 圖3

功能分析 明晰直線與圓的三種位置關系可以用數量關系表達.

教學示范 學生在理解圓心到直線的距離

d

與圓的半徑

r

的數量關系可以確定直線與圓的位置關系后，教師進行追問.追問1 ⊙

P

沿邊

OA

從右向左平行移動，什么量改變，什么量不變？追問2 圓心

P

點到邊

OB

的距離如何表示？指導學生通過作圖來表達.追問3 如圖3，邊

OB

與⊙

P

相切時，還能得到什么結論？

學生通過動手作圖，可以直觀感受到直線與圓的三種位置關系所對應的三個數量關系，引導學生逆向思考問題.

3.2 展開

教師在學生厘清直線與圓位置關系判斷法則后設計第二個問題，讓⊙

P

與

OB

,

OA

,

AB

三邊都相切，在△

OAB

,△

PEF

之間展開討論.

問題2

如圖4，當邊

OB

與⊙

P

相切于點

D

時，如果在優弧上任意取一點

M

，過點

M

作⊙

P

的切線與邊

OB

,

OA

交于點

E

,

F

，連結

PE

,

PF

.

圖4

(1)請找出圖中相等的線段、相等的角；

(2)還能得到哪些重要結論？

(3)當點

M

在優弧上運動時，你能求出∠

EPF

的度數嗎？(4)當點

M

在劣弧上運動時，你能求出∠

EPF

的度數嗎？

功能分析 將直線與圓關系的問題轉化為學生熟悉的基于三角形問題的研究，幫助學生反芻切線長定理，加深對三角形內切圓的內涵的理解，促進對知識的全面掌握并靈活運用.

教學示范 學生的認識是螺旋上升的過程，在問題一圖形的基礎上，增加一條切線，當邊

OB

與⊙

P

相切時，連結

PC

,

CD

，就構成了切線長定理基本圖形，自然復習了內切圓、內心及切線長定理的性質.這里的(1)(2)小題是停留在知識層面，(3)(4)小題助推學生深度學習.教師首先鼓勵學生通過小組交流、討論的方式，讓學生尋找問題的突破口.其次通過幾何畫板的動態演示，讓學生感受數學中的“變”與“不變”，點

P

是△

OAB

內角平分線的交點，∠

EPF

的度數只與∠

AOB

的度數有關.

3.3 延伸

問題進一步進階，⊙

P

繼續向左運動，此時與邊

OA

仍然相切，但與邊

OB

相交，在新的情境中提出第三個問題，促進學生深度學習.

問題3

如圖5，⊙

P

與邊

OB

相交，當⊙

P

與邊

OB

相交于點

E

,

F

，且

C

,

P

,

F

在一直線上，

D

是

OC

的中點，連結

ED

.

圖5

探究1 線段

ED

與⊙

P

的位置關系.探究2 弦

EF

的長度.

功能分析 有關切線的問題通常有兩類：一是已知直線與圓的交點，經常“連半徑，證垂直”；二是未知直線與圓的交點，經常“作垂直，證半徑”.在求圓中弦的長度時，還是要構造直角三角形，以便利用垂徑定理來處理.進一步讓學生看明白，要解決直線與圓位置關系帶來的問題可以轉化到三角形里來討論.

教學示范 在本題中，⊙

P

在運動，圖形發生改變，這樣新的問題也隨之產生.設計的第一個探究活動是幫助學生建立如何證明一條直線是圓的切線；設計的第二個探究活動是幫助學生進一步理解求圓中弦長的方法，即構造弦心距、半徑以及半弦組成的直角三角形.

3.4 深化

問題進一步深化，難度繼續提高，啟發學生思考和討論與圓相交的邊

OB

和圓心

P

點之間的位置關系，發現線段

OC

的長度有幾種可能，促進思維品質的進階.

問題4

在圖5中，當⊙

P

繼續向左運動，⊙

P

與邊

OB

相交于點

E

,

F

，若求線段

OC

的長.功能分析 因為解決這個問題將涉及到圓中弦長的計算，所以需要用分類討論、數形結合的思想來解.教師積極引導學生將設問變成自己大腦中的心智“圖形”，再將心智“圖形”呈現出來，啟發學生通過作圖來幫助思考，尋求解決問題的方法，最終把線段

OC

的長算出來.學生通過觀察與思考，發現圓心

P

的位置有三種情況.在排除圖8這種情況外，還是要構建直角三角形

PMN

,

PME

(

PMF

)和

NCO

等，回到三角形中利用垂徑定理解決問題.教學示范 教師可以請學生把自己的心智“圖形”大膽地畫在黑板上，對出現的問題進行點撥，同時進一步讓學生感受到題目、圖形在變，不變的是我們分析問題的方法.通過討論、交流，借助幾何畫板動態演示，發現本題中的點

P

作圖分為三種：當圓心

P

在

OB

的右邊，當圓心

P

在

OB

的左邊，當圓心

P

在

OB

上，如圖6～8.因為圖8中的圓心

P

在線段

OB

上，

EF

就是直徑，已知直徑等于6 cm，所以此情況排除.那么要計算的線段

OC

，只有圖6和圖7兩種情況.

圖6 圖7 圖8

追問1 本題中，我們如何利用已知條件求

EF

的長？追問2 本題中，我們如何利用線段

OC

的特殊性？

3.5 歸結

通過對以上四個問題由淺入深、由易到難的分析，學生解決了原題中的設問，求得劣弧的長為2π cm，線段

OC

的長度或同時，對直線與圓的位置關系的知識進行了系統回顧，并與直角三角形的相關知識構建關聯，幫助學生拓寬了分析問題的思路，貫通了處理問題的方法，助推了深度學習的產生，促進了思維品質的進階.

4 教學設計說明

一道例題分解為四個問題呈現，各個教學環節之間有梯度，學習內容逐步綜合，思維深度不斷進階，但是處理問題的方法(技能)是貫通的，就是要構作直角三角形，將直線與圓的位置問題轉化為直角三角形的問題，實質上也是直角三角形知識在新的情境中應用的復習，前后知識也能在這里交融、重構及提升.

(1)中考復習要夯實基礎，抓住一個“基”字，追求一個“效”字

初三數學復習教學中，必須扎扎實實地夯實基礎，使每個學生對初中數學知識都能達到“理解”和“掌握”的要求；設置“問題1”就是復習直線與圓的三種位置關系與數量關系之間的聯系，學生分析出只要作出過點

P

到邊

OB

的距離，然后與半徑比較大小.在這個過程中，在應用基礎知識時能做到熟練、正確和迅速，完成知識思維導圖，注意知識之間的內在聯系，學會構建知識網絡，這樣在解題時，就能由題目所提供的信息，從記憶系統中檢索出有關信息，選出最佳組合，尋找解題途徑、優化解題過程.

(2)中考復習要喚醒思維，抓住一個“說”字，追求一個“通”字

中考復習不是新授課，不能把知識簡單地再現出來，而要讓學生參與到具體問題解決中來，回憶知識，反芻經驗，提高技能，促進思維進階.所以，教師要設計富有思維質量，且能引發深度學習的數學問題，使學生在親身經歷問題的探索過程中，來喚醒思維，增長數學活動經驗.在“問題二”中設置開放性問題，讓學生經歷作圖復習課的關鍵就是要學生能表達出解決問題的方法，在否定、肯定、批判和質疑的思辨中學會思考.所謂“會思考”就是學生在解決具有新情境問題的過程中，能自己“悟”出方法，明晰思路，在新情境中抽象出“老問題”的模型，將新舊問題串聯起來，尋覓解決問題的一般方法，做到“懂一題，通一類”，提升數學素養與能力.

(3)中考復習要拓寬思路，抓住一個“變”字，追求一個“新”字

變式訓練在本質不變的基礎上變換問法，不僅能使問題解決所需的數學知識增加，而且能促成學生“換位思考”，產生積極聯想.高質量的變式訓練才能夠挖掘學生的潛能，提高學生對數學問題的敏捷性，培養學生用數學的視角觀察問題、提升學生用數學思維分析問題的能力，從而拓寬學生的思路，將各部分數學知識通過問題解決聯系起來.通過變式訓練幫助學生構建深層次的知識體系.但是，該體系的構建不是一朝一夕的事情，要在教學中循序漸進，逐步堆棧，螺旋提升.同時，要培養學生勇于鉆研的精神和創新能力.

5 結語

“雙減”不是降低對教學的標準，反而是對教與學提出了更高的要求，需要教師轉變教育觀念，改善課堂教學方法，優化技能訓練方式，促進學生深度學習，幫助學生提高學習效率.一堂優質的數學復習課的核心價值體現在“內容的綜合、方法的貫通和思維的進階”上.教師應理解學生和教材，厘清數學知識點之間的關系，建構知識間的鏈接，精心設計學習活動.在整個教學活動中，教師應以高質量的問題為驅動，引領學生主動參與，想方設法啟迪學生深刻的思維活動，在濃郁的數學味中構建高效數學復習課堂.