用常規思維解決非常規問題

盧紅衛

(江蘇省張家港市外國語學校 215600)

2021年全國高中數學聯合競賽一試第7題看似形式復雜，實則用簡潔的常規思路即可解決.

題目a1,a2,…,a21為1,2,…,21的排列，滿足|a20-a21|≥|a19-a21|≥|a18-a21|≥…≥|a1-a21|，這樣的排列的個數為.

思路1 特殊開路，歸納猜想.

a1,a2,…,a5為1,2,…,5的排列，滿足|a4-a5|≥|a3-a5|≥|a2-a5|≥|a1-a5|這樣的排列的個數N=1+2+22+2+1.

a1,a2,…,a7為1,2,…,7的排列，滿足|a6-a7|≥|a5-a7|≥…≥|a2-a7|≥|a1-a7|這樣的排列的個數N=1+2+22+23+22+2+1.

歸納猜想：a1,a2,…,a21為1,2,…,21的排列，滿足|a20-a21|≥|a19-a21|≥|a18-a21|≥…≥|a1-a21|這樣的排列的個數N=1+2+ 22+…+29+210+29+…+2+1=3 070.

思路2 利用數軸，一一羅列.

數軸上標號為i(i=1,2,3,…,20,21)的點記為Pi，共有21個點，a1,a2,…,a21分布在這21個點，|ai-a21|表示數軸上兩點距離.

當a21在P1處，則ai(i=1,2,…,20)在Pi+1處，這樣的排列數為N1=1.

當a21在P2處，則a1,a2在離P2距離為1的P1,P3兩點，ai(i=3,4,…,20)在Pi+1處，這樣的排列數為N2=2.

當a21在P3處，則a1,a2在離P3距離為1的P2,P4兩點，a3,a4在離P3距離為2的P1,P5兩點，ai(i=5,6,…,20)在Pi+1處，這樣的排列數為N3=22.

……

當a21在P11處，則a1,a2在離P11距離為1的P10,P12兩點，a3,a4在離P11距離為2的P9,P13兩點，……，a19,a20在離P11距離為10的P1,P21兩點，這樣的排列數為N11=210.

當a21在P12處，則a1,a2在離P12距離為1的P11,P13兩點，a3,a4在離P12距離為2的P10,P14兩點，……，a17,a18在離P12距離為9的P3,P21兩點，a19在P2，a20在P1，這樣的排列數為N12=29.

……

當a21在P21處，則ai(i=1,2,3,…,20)依次分布在P21-i處，這樣的排列數為N21=1.

思路3 尋找規律，合理分類.

因為a21為特殊元素，抓住a21進行分類討論，又根據對稱性，不難發現：a21=1和a21=21時，|ai-a21|的所有取值情況是一樣的，a21=2和a21=20時，|ai-a21|的所有取值情況是一樣的，a21=i和a21=22-i，i∈{1,2,…,10}時，|ai-a21|的所有取值情況是一樣的.

評析思路1通過特殊化思想的運用，先思考兩次數字較少的情形，很容易得到相應的排列數，再通過歸納猜想，就很容易得到此題的正確答案.思路2很好地利用了數軸這個有力工具，在黑板上直觀呈現，排好a21的位置后，讓學生動手操作排ai的位置，隨著a21的變化，學生很容易得出相應的排列數.思路3是在思路2的基礎上發現了a21=i和a21=22-i，i∈{1,2,…,10}時，|ai-a21|的所有取值情況是一樣的，因為存在對稱性，所以設a21=k，只需考慮k∈{1,2,…,10,11}的情形.數軸上的操作已經讓學生明白其基本原理，學生嘗試總結，教師通過適當輔助，完成a2i-1,a2i為k-i,k+i的排列(若k=1，沒有這樣的i)，且aj=j+1(2k-1≤j≤20)(若k=11，則沒有這樣的j)這樣的規律總結.整個思維過程順暢，簡潔易懂，學生對解決此類問題所用的研究思路有了深刻感悟.

緊接著，筆者給出了以下題目讓學生練習：已知數列ak=2k(k=1,2,3,…,n)，則所有可能的乘積aiaj(1≤i≤j≤n)的和等于.

課堂上學生很快給出了如下兩種思路：

思路1 列舉找通項.

思路2 利用數表，直觀呈現.

a1a1a1a2a1a3a1a4a1a5…a1ana2a1a2a2a2a3a2a4a2a5…a2ana3a1a3a2a3a3a3a4a3a5…a3ana4a1a4a2a4a3a4a4a4a5…a4ana5a1a5a2a5a3a5a4a5a5…a5an…………………ana1ana2ana3ana4ana5…anan

圖1

評析練習與例題看似不相關的兩個問題，實則所用的思想方法類似，都是通過特值開路、一一羅列后探求規律.而數軸、數表都是教材上常見的工具，通過這些直觀工具的運用，在動手操作的過程中發現規律.練習思路1先是取i=1，羅列a1aj(1≤j≤n)所有項的和，再取i=2，羅列a2aj(2≤j≤n)所有項的和，接著找出通項為2k(2k+2k+1+…+2n)，化簡通項得2k+n+1-22k，最后為兩個等比數列求和.競賽題的思路2利用數軸，練習的思路2則利用數表直觀呈現，學生通過觀察可將數表分解為三個部分，由對稱性知左右兩部分各項和相等，中間和右邊各項和即為所求.

如何提升優秀學生的數學思維，面對復雜問題，突破思維壁壘，是值得我們思考的問題.數學競賽題復雜多變，怎樣在錯綜復雜中尋找到最佳路線，需要的是巧做、化繁為簡，利用常規思維方法來思考并解決復雜問題.學生通過動手操作，發現問題的本質規律，克服畏難情緒，增強學習信心，從而提高學習效率，形成優秀的思維品質和數學素養.