方程組有解問題轉化為方程有解問題的思考*

俞杏明

(江蘇省興化中學 225700)

數學問題解決過程中，經常需要把方程組有解問題，轉化為方程有解問題，這必須考慮轉化是否等價.

1 解答質疑引發思考

2 溯源而上挖掘隱含

所以方程7x2+8mx+4(m2-3)=0若有解，則解一定在[-2,2]內.

3 提煉升華生成結論

同理有：

例2若2x2-2xy+y2=1，求x+2y的最小值與最大值.

類似地，

4 隱含對應一一兼顧

方程組有解問題轉化為方程有解問題時，有時會出現意想不到的錯誤.

例4若曲線C1：y2=2x與曲線C2：(x-m)2+y2=2有交點，求m的取值范圍.

這個答案顯然是錯誤的，當m取較小負數時，兩曲線處于相離狀態，沒有交點.那么，錯誤的根源是什么？如何避免這樣的錯誤？下面先從簡單事例入手進行探討.

對剛才的例子進行一般化，有如下結論：

同理有：

更一般地，有以下結論：

下面我們重新求解例4.

把例4改編為下面兩道例題，體現推導出的結論的效力.

例5若曲線C1：y2=2x與曲線C2：(x-m)2+y2=2有四個交點，求m的取值范圍.

例6已知曲線C1：y2+4y=2x與曲線C2：(x-m)2+y2+4y=2有且僅有兩個公共點，求m的取值范圍.

5 一點說明

代入消元法是處理方程組最基本、最常用的辦法.有些方程組盡管需要特殊技巧整理，但最終仍回歸到代入消元法軌道上.至于更多元(二元以上)的方程組，可以在文中理念下等價轉化為二元方程組，進而用文中結論求解.