2021年中考數(shù)學(xué)文化試題賞析

羅 偉

(江蘇省徐州市第二十四中學(xué) 221000)

南開大學(xué)顧沛教授指出，數(shù)學(xué)文化，從狹義方面說，指數(shù)學(xué)的思想、精神、方法、觀點、語言，以及它們的形成和發(fā)展，從廣義上說，還包含數(shù)學(xué)家、數(shù)學(xué)史、數(shù)學(xué)美、數(shù)學(xué)教育、數(shù)學(xué)發(fā)展中的人文成分、數(shù)學(xué)與社會的聯(lián)系、數(shù)學(xué)與各種文化的關(guān)系等[1].在2021年各地中考中，出現(xiàn)了一些數(shù)學(xué)文化試題，這些試題能培養(yǎng)學(xué)生的方法技能、基本思想、人文素養(yǎng)與科學(xué)精神，現(xiàn)從中精選部分試題與讀者共賞.

1 基本數(shù)學(xué)思想

例1(山西)在勾股定理的學(xué)習(xí)過程中，我們已經(jīng)學(xué)會了運用如圖1和圖2的圖形驗證著名的勾股定理，這種根據(jù)圖形直觀推論或驗證數(shù)學(xué)規(guī)律和公式的方法，簡稱為“無字證明”.實際 上它也可用于驗證數(shù)與代數(shù)、圖形與幾何等領(lǐng)域中的許多數(shù)學(xué)公式和規(guī)律，它體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想是( ).

圖1 圖2

A.統(tǒng)計思想 B.分類思想

C.數(shù)形結(jié)合思想 D.函數(shù)思想

解析 分別弄清兩個圖中各部分與整體面積之間的關(guān)系.

賞析我國著名數(shù)學(xué)家華羅庚說過：“數(shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難入微.”數(shù)形結(jié)合是解決數(shù)學(xué)問題的重要思想方法，而勾股定理被稱為“千古第一定理”，是數(shù)形結(jié)合的典范.我們在平時的教學(xué)中也要經(jīng)常向?qū)W生滲透基本數(shù)學(xué)思想，這是四基之一.

2 中國古代名著

例2(浙江寧波)我國古代數(shù)學(xué)名著《張邱建算經(jīng)》中記載：“今有清酒一斗直粟十斗，醑酒一斗直粟三斗.今持粟三斛，得酒五斗，問清、醑酒各幾何？”意思是：現(xiàn)在一斗清酒價值10斗谷子，一斗醑酒價值3斗谷子，現(xiàn)在拿30斗谷子，共換了5斗酒，問清、醑酒各幾斗？如果設(shè)清酒x斗，醑酒y斗，那么可列方程組為( ).

解析 根據(jù)題意分別從谷子和酒的斗數(shù)找兩個相等關(guān)系是列二元一次方程組的關(guān)鍵.

設(shè)兩個未知數(shù)之后，要找出兩個相等關(guān)系：清酒斗數(shù)+醑酒斗數(shù)=5斗，可得方程x+y=5；清酒可換的谷子斗數(shù)+醑酒可換的谷子斗數(shù)=30斗，可得方程10x+3y=30，故選A.

賞析本題考查用二元一次方程組解決中國古算問題.《張邱建算經(jīng)》系北魏張邱建所著，全書共三卷.現(xiàn)傳本保存92個問題，大部分為當(dāng)時社會生活中的實際問題，如有關(guān)測量、紡織、交換、納稅、冶煉、土木工程和利息等.就數(shù)學(xué)內(nèi)容而言，包括分?jǐn)?shù)乘除、直角三角形、一次方程(組)、二次方程、等差級數(shù)、等比級數(shù)和不定方程等，問題的創(chuàng)設(shè)和解法均超出《九章算術(shù)》，為《九章算術(shù)》之后有突出成就的數(shù)學(xué)著作.

據(jù)統(tǒng)計，在2021年中考中，考查頻數(shù)最多的是《九章算術(shù)》，有廣西、湖北恩施、湖北宜昌、湖南邵陽、江蘇宿遷、浙江衢州等地的試卷，這說明它的地位非常高，是中國乃至東方第一部自成體系的數(shù)學(xué)專著，幾乎可以和西方的《幾何原本》齊名.其余還有湖北荊門、甘肅白銀等地的試卷有題源自《孫子算經(jīng)》，浙江紹興卷有題源自《算法統(tǒng)宗》，湖北江漢油田卷有題源自《算學(xué)啟蒙》等著作.考慮到學(xué)生的語文水平，絕大多數(shù)先給出文言文，再給出現(xiàn)代漢語翻譯.從題的形式看，最多的為用二元一次方程組解決問題的選擇題，難度相對較低，另外，還有填空題，涉及列一元一次方程、一元二次方程解決問題，難度略有增大.

3 經(jīng)典成語故事

例3(浙江嘉興)看了《田忌賽馬》故事后，小楊用數(shù)學(xué)模型來分析：齊王與田忌的上中下三個等級的三匹馬記分如表1，每匹馬只賽一場，兩數(shù)相比，大數(shù)為勝，三場兩勝則贏.已知齊王的三匹馬出場順序為10,8,6.若田忌的三匹馬隨機(jī)出場，則田忌能贏得比賽的概率為.

表1

分析 可通過畫樹狀圖或列表把所有可能都排列出來，再求概率.

解由于田忌的上、中等馬分別比齊王的中、下等馬強(qiáng)，當(dāng)齊王的三匹馬出場順序為10，8，6時，田忌的馬按5，9，7的順序出場，田忌才能贏得比賽，當(dāng)田忌的三匹馬隨機(jī)出場時，雙方的對陣情況如表2所示.

表2

在2021年中考中，福建卷也有“田忌賽馬”的題目，它的兩個問題如下：

(1)如果田忌事先只打探到齊王首局將出“上馬”，他首局應(yīng)出哪種馬才可能獲得整場比賽的勝利？并求其獲勝的概率.

(2)如果田忌事先無法打探到齊王各局的出馬情況，他是否必敗無疑？若是，請說明理由；若不是，請列出田忌獲得整場比賽勝利的所有對陣情況，并求其獲勝的概率.

福建卷考查的情形更細(xì)致，更能看出概率在實際生活中的價值及重要性.中國的成語故事很多，有的確實可以構(gòu)造數(shù)學(xué)情境，增加數(shù)學(xué)韻味，如2020年中考中的新“龜兔賽跑”[2].將一些引人入勝的成語故事編成令人稱奇的數(shù)學(xué)趣題，這也是下一步教師和學(xué)生的新目標(biāo).

4 趣味數(shù)學(xué)拼圖

例4(四川樂山)七巧板起源于我國先秦時期，古算書《周髀算經(jīng)》中有關(guān)于正方形的分割術(shù)，經(jīng)歷代演變而成七巧板(圖3).19世紀(jì)七巧板傳到國外，被稱為“唐圖”(意為“來自中國的拼圖”)，圖4是由邊長為4的正方形分割制作的七巧板拼擺成的“葉問蹬”圖，則圖中抬起的“腿”(即陰影部分)的面積為( ).

圖3 圖4

解析 找出陰影中直角三角形與平行四邊形的邊與大正方形的邊的關(guān)系是關(guān)鍵，再求出面積.

圖5 圖6 圖7

圖8 圖9 圖10

賞析本題考查了七巧板中的圖形的構(gòu)成和面積計算，熟悉七巧板中圖形的分類是解題的關(guān)鍵.七巧板可拼成一千多種圖形，充分顯示了我國古代勞動人民的智慧，“葉問蹬”圖就非常形象生動.在2021年中考中，還有江西卷考查了七巧板拼成軸對稱圖形，浙江金華卷考查了七巧板拼圖后相關(guān)頂點的坐標(biāo)，浙江麗水卷考查了七巧板拼圖后兩平行線的距離等，這些問題的本質(zhì)是弄清五個基本圖形的邊、角、面積、周長等數(shù)量關(guān)系.

5 著名文化遺產(chǎn)

圖11

圖12

賞析本題通過作輔助線，先求弧對應(yīng)的圓心角的度數(shù)，再根據(jù)弧長公式求解.對于抖空竹這一富有技巧性的健身運動，很多學(xué)生都見過.實際上，這里面也蘊含著直線與圓相切的數(shù)學(xué)知識，豐富了我們的思維.

文化遺產(chǎn)是我們寶貴的財富，在2021年中考中，有關(guān)我們熟悉的非物質(zhì)文化遺產(chǎn)太極拳，湖南張家界卷考查了太極圖的面積問題，河南卷則考查了世界文化遺產(chǎn)龍門石窟與三角函數(shù)的計算，彰顯了傳統(tǒng)文化中的數(shù)學(xué)魅力以及數(shù)學(xué)的應(yīng)用價值.

6 國際數(shù)學(xué)視野

例6(浙江溫州)圖13是第七屆國際數(shù)學(xué)教育大會(ICME)的會徽，在其主體圖案中選擇兩個相鄰的直角三角形，恰好能組合得到如圖14所示的四邊形OABC.若AB=BC=1，∠AOB=α，則OC2的值為( ).

圖13 圖14

解析 要先運用三角函數(shù)將OB表示出來，再運用勾股定理即可求得結(jié)果.

賞析本題主要運用三角函數(shù)與勾股定理求解.我們可以看出第七屆國際數(shù)學(xué)教育大會的會徽非常漂亮，一個三角形不斷向外“擴(kuò)張”，形如“迭代”的效果.

在2021年中考中，還有甘肅武威卷根據(jù)古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德提出的有關(guān)圓的一個引理，讓學(xué)生作圖，湖北宜昌卷考查了“萊洛三角形”的面積計算問題，四川成都卷考查了菲爾茲獎獲得者年齡的統(tǒng)計問題等，數(shù)學(xué)無國界，這些題目讓我們開闊了視野，增長了見識.

中考試卷中數(shù)學(xué)文化試題不斷涌現(xiàn)，顯示了命題者的聰明與智慧，這也是學(xué)科育人的一種途徑.學(xué)生在做題過程中鞏固了知識與技能，培養(yǎng)了思維能力，感受傳統(tǒng)文化的熏陶.在日常教學(xué)中，教師可以精選蘊含傳統(tǒng)數(shù)學(xué)文化的問題讓學(xué)生閱讀、欣賞和解答，品味數(shù)學(xué)文化的精髓，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)這類問題所需要的知識、思想和方法.另外，教師可以推薦學(xué)生課余時間閱讀《九章算術(shù)》《孫子算經(jīng)》《幾何原本》等名著，寫些心得體會，體會數(shù)學(xué)文化之美，領(lǐng)略中外數(shù)學(xué)精神，進(jìn)而提升自己的數(shù)學(xué)文化素養(yǎng)，力爭做到“文化搭臺，學(xué)生唱戲，教師喝彩”！