經歷數學建模 發展高階思維
——以“用一元二次方程解決問題(1)”為例*

胡永強

(江蘇省蘇州市陽山實驗初級中學校 215151)

1 問題提出

高階思維是指完成復雜任務、解決劣構問題的一種重要能力和心理特征，是21世紀的一種高級綜合能力.高階思維是核心素養的重要組成部分，是個體適應終身發展和社會發展的關鍵能力.但是由于高階思維指向布魯姆教育目標分類中的分析、評價、創造這三個高層次目標，所以它無法通過簡單的知識傳授來培養，而是需要在開放性問題情境中與他人進行探索性對話和建構式互動提高.可見高階思維很重要，各學科都應當努力培養，但是鑒于高階思維的特征，現實教學中培養高階思維又存在諸多困難.

數學高階思維是高階思維的重要組成部分，包括數學批判性思維、數學創造性思維、數學元認知能力、數學問題解決能力四個維度及其下轄的“尋找真相、開放思想”等十六個因子，如圖1所示.總體來說，在學習數學的過程中有目的地對現有的數學過程、結果等作出自我分析、判斷、推理、解釋、調整的品質；在已有知識經驗的基礎上，創造想象并運用思維揭示數學對象的本質，產生新穎獨特的思維成果的過程；對自身數學認知進行計劃、實施、監控、調節的過程；綜合運用掌握的數學知識解決新的問題情境的能力都屬于數學高階思維的范疇.

圖1

數學建模是通過建立模型的方法解決現實問題的數學活動過程，包括“現實原型—實際模型—數學模型—模型求解—檢驗解釋”等環節.受學力所限，初中階段的現實問題可分為三類：現實原型、實際模型、數學形式.在數學建模教學過程中，教師需要引導學生有目的地對現實問題加以分析、簡化、假設，抽象建立數學模型，再對數學模型進行求解，然后代入現實問題進行檢驗、調整，如此不斷循環，直到解決問題為止.

不難發現，數學建模與數學高階思維聯系緊密.數學建模激發數學高階思維，數學高階思維促進數學建模順利完成，二者相輔相成.

近期，筆者開設了一節“用一元二次方程解決問題(1)”的研討課，嘗試在數學建模教學中發展學生高階思維.下面談一談相關實踐與思考.

2 教學分析

2.1 教材分析

本課是蘇科版初中數學教材九年級上冊第1章第4節用一元二次方程解決問題的起始課，包括“等周矩形面積”和“平均增長率”兩個問題.教材將“矩形面積”放在首要位置既遵循了數學知識的歷史發展順序，又遵循了學生的認知心理順序.眾所周知，數學中的二次問題起源于圖形的面積計算，“矩形面積問題”起點較低、內涵豐富、對后續數學知識發展作用較大；其次，這樣的設計遵循了學生的學習規律，讓學生通過對該問題學習總結出用一元二次方程數學模型解決問題的一般方法與步驟，發展數學建模能力，提升數學高階思維，培養數學問題解決能力.基于以上分析，筆者決定本課組織學生深入探究“矩形面積問題”.

2.2 學情分析

授課班級來自地級市一所普通初中，共有48名學生，他們數學基礎較好，有著良好的數學探究習慣.在本課之前，學生已經掌握一元二次方程的相關概念和解法以及用一元一次方程解決實際問題的一般步驟等知識與技能.

2.3 教學理解

本課內容具有豐富的教學價值.首先，本課是該小節的起始課，學生通過對本課內容的研究，總結提煉出用一元二次方程解決問題的一般思路、方法和步驟等內容，對后面幾節課的學習起到奠基作用；其次，用一元二次方程解決矩形面積問題的過程中蘊含了抽象、符號化、求解、檢驗等數學建模的重要環節，對學生數學建模能力提升起到促進作用；再次，對相關內容的深入追問與辨析對發展學生的批判性思維、創造性思維、元認知能力及問題解決能力等數學高階思維起到推動作用.本節課的主要教學脈絡確定為引導學生經歷審題、列代數式、找等量關系、列方程、解方程、檢驗解釋等數學建模環節，在此過程中感悟模型思想，發展數學高階思維.

3 教學過程

3.1 溫故知新

課前布置學生對本章前面3小節內容進行回顧和梳理，繪制知識結構圖，上課伊始展示幾位同學的作品(略)，結合作品簡要回顧前面所學內容.

教學意圖

布置前置性知識梳理作業的目的是培養學生對所學知識和方法的自主回顧和重組能力，幫助學生積累反思性活動經驗，為學習新知識調取研究經驗，發展學生的系統化能力、求知欲、元認知體驗等數學高階思維.

3.2 模型初探

問題1

2021年是中國共產黨成立100周年.為了紀念建黨100周年，某校打算建一個周長為100 m的矩形展館以向學生展示黨的百年光輝歷程.問：(1)該矩形展館的面積能否是 600 m？(2)該矩形展館的面積能否是700 m？請說明理由.

教師引導學生先回顧用一元一次方程解決問題的一般步驟，再畫出矩形示意圖，并結合圖形及條件列出表示矩形長和寬的代數式，進而根據矩形面積公式列方程、解方程、檢驗作答，最后總結出用一元二次方程解決問題的一般步驟.

教學意圖

引導學生經歷引入未知數，結合周長列出矩形的長和寬的代數式，再根據矩形面積公式建立方程解決問題等環節，體會數學建模過程；用方程根的判別式小于0，方程無實數解，說明無法圍成面積為700 m的道理.培養學生分析能力、系統化能力等數學批判性思維及表達清晰性、答案正確性等數學問題解決能力.此外，將教材中用鐵絲圍矩形的情境改編為紀念建黨100周年建矩形展館的情境，在現實情境中融入黨史知識，滲透思想教育.

追問1：同學們，你能結合問題1提出一個新問題嗎？

學生提出“圍成矩形的最大面積是多少？”教師組織學生思考這個問題，有學生指出用“列舉法”和“配方法”解決.

追問2：還有其他方法嗎？

有學生回答：可以用假設法來做.易知矩形的長加寬為50 m，所以可設矩形的長為(25+

x

)m，寬為(25-

x

)m，面積為(25+

x

)(25-

x

)=(625-

x

)m，顯然，當

x

=0時，矩形面積最大，為 625 m.教師表揚學生的方法，并指出這種方法與公元前1700年古巴比倫人的方法一致，此法名叫“和差術”，在沒有符號代數的年代，兩河流域的先民們都是用“和差術”這種方法模型解決此類問題的.

教學意圖

問題1是一個蘊含豐富數學知識、思想和方法的歷史名題.在解決前兩個問題之后，設計追問1，趁熱打鐵，將學生的思維引向更深處.當學生提出用“列舉法”和“配方法”解決該問題之后，設計追問2，給學生提供思考和創新的舞臺，使學生想到了“和差術”這種解決等周問題的方法模型.兩次追問，在培養學生提出問題、分析問題能力的同時，促使學生對“和差術”這一方法模型的理解更加深刻，思維變得靈活和新穎，發展了數學創造性思維.當教師點明這種方法與古代數學家的方法一致時，學生感受到了成功的喜悅，增強了數學求知欲.

3.3 模型變式

問題2

如圖2，用長為30 m的籬笆圍成一邊靠墻的矩形養雞場，即矩形

ABCD

，已知墻長16 m，能否圍成面積為108 m的矩形養雞場？如果能，求出

AB

的長；如果不能，請說明理由.

圖2

教師引導學生先思考問題2與問題1的異同之處，再讓學生獨立思考、完成解答.隨后展示設

AB

=

x

m和設

AD

=

x

m兩種解法，組織學生比較、交流二者的優缺點.

追問1：你還能提出一個新的問題嗎？

學生提出“圍成的矩形養雞場的最大面積是多少？”學生大都采用配方法求最大值.

追問2：能否使用“和差術”求最大值？

思考交流片刻后有學生回答可以使用“和差術”求最大值.做法如下：如圖3，設

AD

=

x

m，則

AB

=(30-2

x

)m，作線段

AB

的垂直平分線

EF

，垂足為點

F

，交

DC

于點

E

，則

AF

=(15-

x

)m，

S

矩形=2

S

矩形，所以當

S

矩形最大時，

S

矩形就最大.矩形

AFED

的長與寬之和為15 m，設m，所以當

a

=0時，

S

矩形最大為m，則

S

矩形最大為m.此時

AB

= 15 m<16 m，

AD

=7.5 m，符合題意.

圖3

追問3：你是怎樣想到的？

學生：問題1中的長加寬是定值，可以使用“和差術”，本題中的半條長加寬也是定值，因此想到作長的垂直平分線將其轉化為問題1的類型解決.

追問4：問題1與問題2有何異同之處？

學生在獨立思考和小組交流后回答，相同點是：它們都是固定長度下的面積問題；不同點是：一個獨立圍成矩形，另一個借了一條線再圍成矩形.教師點明這兩個用固定長度的線圍矩形問題是數學中的“等周問題”之一，還可以圍成其他形狀的圖形，課后再研究.

教學意圖

教學中先展示兩種設未知數的解法，對兩種解法對比分析，發展學生批判性思維.添加輔助線將問題2轉化為問題1，使用“和差術”這一方法模型求出面積最大值，提升了認知成熟度，也體現了數學創造性思維中的靈活性.追問3較好地發展了學生的策略合理性、表達清晰性等數學問題解決能力.追問4提升學生系統化能力及元認知體驗等數學高階思維，最后對“等周問題”加以拓展，將課堂延伸到課外.

問題3

在問題2的基礎上，若

AB

上有一個2 m寬的小門，即圖4中的

EF

.問：能否圍成面積為110 m的矩形養雞場？如果能，求出該養雞場的長和寬；如果不能，請說明理由.

圖4

師生共同分析問題3與問題2的區別和聯系，再討論2 m寬小門對表示矩形長和寬的影響，最后完成解題過程.

教學意圖

該問題的目的是引導學生探究如何用字母正確表示出矩形的長和寬.當學生出現錯誤時教師不要急于給出正確答案，而是把機會留給學生，讓學生深入思考、相互交流、加以辯論，較好地發展學生的數學批判性思維及策略合理性、表達清晰性、答案正確性等數學問題解決能力.

3.4 小結與練習(略)

4 教學思考

4.1 設計深度合宜問題，發展數學批判性思維

數學高階思維是高層次認知過程中心智活動的綜合性能力.高層次認知過程需要深度合宜的問題加以驅動和助力.教師要根據內容及學情設計深度合宜的問題發展學生的數學批判性思維.如問題1中對無法圍成面積為700 m的矩形的解釋促進學生尋找真相、增強分析能力；引導學生圍繞問題1提出新的問題并使用不同的方法解答，激發了學生的開放思想、求知欲；對使用“和差術”解決等周矩形問題的總結、應用及拓展，增強了學生的批判性思維的自信心、認知成熟度及系統化能力；對問題2兩種設未知數方法及問題3的兩種表示結果的討論過程充滿了辨析、質疑.教學過程中教師應在原有問題基礎之上根據課堂生成情況，鼓勵學生主動提出問題，引導學生思考、質疑、討論、總結，推動學生數學批判性思維的發展.

4.2 不斷進行課堂追問，激發數學創造性思維

對于課堂教學中的關鍵問題，在恰當的教學時機之下，教師需要對學生進行不斷追問，以激發學生數學創造性思維的產生與發展.如在問題1解決之后隨即追問學生“請你再提出一個新問題.”“還有其他方法嗎？”第一個追問激發學生提出“等周問題”這一重要的數學問題，第二個追問促使學生想到運用“和差術”這一方法模型巧妙解決問題.問題的提出自然流暢，問題的解決新穎靈活.在學生使用配方法解決問題2中求矩形最大面積后追問學生“能否使用和差術求最大值？”促使學生想出通過作線段AB的垂直平分線，將其轉化為上一問題，從而迎刃而解.通過教師的追問讓學生再次體會到靈活性、新穎性的創造性思維給自己解決數學問題所帶來的成就感與滿足感，體會到數學的魅力，在培養數學創造性思維的同時，增強學生學好數學的內在動力.整節課都十分注重追問學生，引導學生思考，在培養學生分析問題、解決問題能力的同時，利用追問培養其發現問題和提出問題的能力及數學創造性思維.

4.3 圍繞數學建模過程，提升數學問題解決能力

數學建模是利用數學知識解決實際問題的活動，數學建模能力的提升正成為全世界數學教育的一個中心目標.學生數學建模能力的培養不是一蹴而就的，需要教師精心組織和引導學生經歷解決問題中的抽象、符號化、求解、檢驗等環節，也即引模、建模、解模、驗模等具體建模環節(圖5)，以此培養學生的數學建模能力.

圖5

數學高階思維的四個組成要素是一個有機整體.數學問題解決能力既是數學高階思維運轉的出發點，也是數學高階思維發展的歸宿；數學批判性思維和數學創造性思維是發展數學高階思維的兩大動力系統，二者相互融合，共同推動數學高階思維不斷向前發展；數學元認知能力是數學高階思維的中樞系統，指揮和調控整個數學高階思維在正確軌道上運行.

如圖6所示，數學建模是發展數學高階思維的“心臟”.數學建模的每個環節都不同程度地 促進了數學高階思維的發展.引模環節需要對現實問題進行分析、對比、辨識，促進分析能力、尋找真相、求知欲等高階思維的發展；建模環節需要對現實問題進行抽象、符號化，促進表達清晰性、策略合理性等高階思維的發展；解模環節需要正確解出數學模型，促進認知成熟度、流暢性、清晰表達等高階思維的發展；驗模環節需要將所求結果代入現實問題加以檢驗、反思、調整，促進批判性思維及元認知能力等高階思維的發展.由此可見，整個數學建模過程都促進了數學高階思維的發展.

圖6