2021年中考數(shù)學(xué)文化試題賞析

羅 偉

(江蘇省徐州市第二十四中學(xué) 221000)

南開大學(xué)顧沛教授指出，數(shù)學(xué)文化，從狹義方面說，指數(shù)學(xué)的思想、精神、方法、觀點(diǎn)、語言，以及它們的形成和發(fā)展，從廣義上說，還包含數(shù)學(xué)家、數(shù)學(xué)史、數(shù)學(xué)美、數(shù)學(xué)教育、數(shù)學(xué)發(fā)展中的人文成分、數(shù)學(xué)與社會(huì)的聯(lián)系、數(shù)學(xué)與各種文化的關(guān)系等.在2021年各地中考中，出現(xiàn)了一些數(shù)學(xué)文化試題，這些試題能培養(yǎng)學(xué)生的方法技能、基本思想、人文素養(yǎng)與科學(xué)精神，現(xiàn)從中精選部分試題與讀者共賞.

1 基本數(shù)學(xué)思想

例1

(山西)在勾股定理的學(xué)習(xí)過程中，我們已經(jīng)學(xué)會(huì)了運(yùn)用如圖1和圖2的圖形驗(yàn)證著名的勾股定理，這種根據(jù)圖形直觀推論或驗(yàn)證數(shù)學(xué)規(guī)律和公式的方法，簡(jiǎn)稱為“無字證明”.實(shí)際 上它也可用于驗(yàn)證數(shù)與代數(shù)、圖形與幾何等領(lǐng)域中的許多數(shù)學(xué)公式和規(guī)律，它體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想是( ).

圖1 圖2

A.統(tǒng)計(jì)思想 B.分類思想

C.數(shù)形結(jié)合思想 D.函數(shù)思想

解析 分別弄清兩個(gè)圖中各部分與整體面積之間的關(guān)系.

根據(jù)圖1可得化簡(jiǎn)得

a

+2

ab

+

b

=2

ab

+

c

，進(jìn)而

a

+

b

=

c

.根據(jù)圖2可得化簡(jiǎn)得

c

= 2

ab

+

b

-2

ab

+

a

，進(jìn)而

a

+

b

=

c

.這兩種方法都驗(yàn)證了“直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方”，即勾股定理.因?yàn)橹挥袌D，省略了解題過程，所以被稱為“無字證明”.體現(xiàn)的就是一種數(shù)形結(jié)合的思想，故選C.

賞析

我國(guó)著名數(shù)學(xué)家華羅庚說過：“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微.”數(shù)形結(jié)合是解決數(shù)學(xué)問題的重要思想方法，而勾股定理被稱為“千古第一定理”，是數(shù)形結(jié)合的典范.我們?cè)谄綍r(shí)的教學(xué)中也要經(jīng)常向?qū)W生滲透基本數(shù)學(xué)思想，這是四基之一.

去片UCVA≤0.8組驗(yàn)配前具有較高的球鏡度（P＜0.001）、柱鏡度（P＜0.001）、較長(zhǎng)的可視虹膜直徑（P＜0.001）和眼軸（P＜0.001），2組間年齡、眼壓、角膜曲率等參數(shù)差異無統(tǒng)計(jì)學(xué)意義。2組兒童的眼部基本特征數(shù)據(jù)見表1。

2 中國(guó)古代名著

例2

(浙江寧波)我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《張邱建算經(jīng)》中記載：“今有清酒一斗直粟十斗，醑酒一斗直粟三斗.今持粟三斛，得酒五斗，問清、醑酒各幾何？”意思是：現(xiàn)在一斗清酒價(jià)值10斗谷子，一斗醑酒價(jià)值3斗谷子，現(xiàn)在拿30斗谷子，共換了5斗酒，問清、醑酒各幾斗？如果設(shè)清酒

x

斗，醑酒

y

斗，那么可列方程組為( ).

解析 根據(jù)題意分別從谷子和酒的斗數(shù)找兩個(gè)相等關(guān)系是列二元一次方程組的關(guān)鍵.

設(shè)兩個(gè)未知數(shù)之后，要找出兩個(gè)相等關(guān)系：清酒斗數(shù)+醑酒斗數(shù)=5斗，可得方程

x

+

y

=5；清酒可換的谷子斗數(shù)+醑酒可換的谷子斗數(shù)=30斗，可得方程10

x

+3

y

=30，故選A.

賞析

本題考查用二元一次方程組解決中國(guó)古算問題.《張邱建算經(jīng)》系北魏張邱建所著，全書共三卷.現(xiàn)傳本保存92個(gè)問題，大部分為當(dāng)時(shí)社會(huì)生活中的實(shí)際問題，如有關(guān)測(cè)量、紡織、交換、納稅、冶煉、土木工程和利息等.就數(shù)學(xué)內(nèi)容而言，包括分?jǐn)?shù)乘除、直角三角形、一次方程(組)、二次方程、等差級(jí)數(shù)、等比級(jí)數(shù)和不定方程等，問題的創(chuàng)設(shè)和解法均超出《九章算術(shù)》，為《九章算術(shù)》之后有突出成就的數(shù)學(xué)著作.

據(jù)統(tǒng)計(jì)，在2021年中考中，考查頻數(shù)最多的是《九章算術(shù)》，有廣西、湖北恩施、湖北宜昌、湖南邵陽、江蘇宿遷、浙江衢州等地的試卷，這說明它的地位非常高，是中國(guó)乃至東方第一部自成體系的數(shù)學(xué)專著，幾乎可以和西方的《幾何原本》齊名.其余還有湖北荊門、甘肅白銀等地的試卷有題源自《孫子算經(jīng)》，浙江紹興卷有題源自《算法統(tǒng)宗》，湖北江漢油田卷有題源自《算學(xué)啟蒙》等著作.考慮到學(xué)生的語文水平，絕大多數(shù)先給出文言文，再給出現(xiàn)代漢語翻譯.從題的形式看，最多的為用二元一次方程組解決問題的選擇題，難度相對(duì)較低，另外，還有填空題，涉及列一元一次方程、一元二次方程解決問題，難度略有增大.

3 經(jīng)典成語故事

例3

(浙江嘉興)看了《田忌賽馬》故事后，小楊用數(shù)學(xué)模型來分析：齊王與田忌的上中下三個(gè)等級(jí)的三匹馬記分如表1，每匹馬只賽一場(chǎng)，兩數(shù)相比，大數(shù)為勝，三場(chǎng)兩勝則贏.已知齊王的三匹馬出場(chǎng)順序?yàn)?0,8,6.若田忌的三匹馬隨機(jī)出場(chǎng)，則田忌能贏得比賽的概率為

.

表1

姓名馬匹下等馬中等馬上等馬齊王6810田忌579

分析 可通過畫樹狀圖或列表把所有可能都排列出來，再求概率.

解

由于田忌的上、中等馬分別比齊王的中、下等馬強(qiáng)，當(dāng)齊王的三匹馬出場(chǎng)順序?yàn)?0，8，6時(shí)，田忌的馬按5，9，7的順序出場(chǎng)，田忌才能贏得比賽，當(dāng)田忌的三匹馬隨機(jī)出場(chǎng)時(shí)，雙方的對(duì)陣情況如表2所示.

表2

齊王的馬上中下上中下上中下上中下上中下上中下田忌的馬上中下上下中中上下中下上下上中下中上

雙方的對(duì)陣中，只有一種對(duì)陣情況田忌能贏，故田忌能贏得比賽的概率為

賞析

“田忌賽馬”是中國(guó)古代經(jīng)典的成語故事，是中國(guó)歷史上有名的揭示如何善用自己的長(zhǎng)處去對(duì)付對(duì)手的短處，從而在競(jìng)技中獲勝的事例.有時(shí)候看似不可能成功的事情，如果換一個(gè)角度，換一種方法，或許就會(huì)有柳暗花明的效果.就中學(xué)階段來說，這里運(yùn)用了數(shù)學(xué)中的統(tǒng)計(jì)與概率知識(shí)，通常情況下田忌能贏得比賽的概率只有在實(shí)際比賽中，田忌打聽到齊王的上中下出馬順序，以下上中對(duì)決，通過三次對(duì)決，田忌三局兩勝，從而贏得比賽.到了大學(xué)階段，可看作運(yùn)籌學(xué)知識(shí)，基本思想是不強(qiáng)求一局的得失，而爭(zhēng)取全盤的勝利，體現(xiàn)了整體思想.

在2021年中考中，福建卷也有“田忌賽馬”的題目，它的兩個(gè)問題如下：

(1)如果田忌事先只打探到齊王首局將出“上馬”，他首局應(yīng)出哪種馬才可能獲得整場(chǎng)比賽的勝利？并求其獲勝的概率.

(2)如果田忌事先無法打探到齊王各局的出馬情況，他是否必?cái)o疑？若是，請(qǐng)說明理由；若不是，請(qǐng)列出田忌獲得整場(chǎng)比賽勝利的所有對(duì)陣情況，并求其獲勝的概率.

福建卷考查的情形更細(xì)致，更能看出概率在實(shí)際生活中的價(jià)值及重要性.中國(guó)的成語故事很多，有的確實(shí)可以構(gòu)造數(shù)學(xué)情境，增加數(shù)學(xué)韻味，如2020年中考中的新“龜兔賽跑”.將一些引人入勝的成語故事編成令人稱奇的數(shù)學(xué)趣題，這也是下一步教師和學(xué)生的新目標(biāo).

4 趣味數(shù)學(xué)拼圖

例4

(四川樂山)七巧板起源于我國(guó)先秦時(shí)期，古算書《周髀算經(jīng)》中有關(guān)于正方形的分割術(shù)，經(jīng)歷代演變而成七巧板(圖3).19世紀(jì)七巧板傳到國(guó)外，被稱為“唐圖”(意為“來自中國(guó)的拼圖”)，圖4是由邊長(zhǎng)為4的正方形分割制作的七巧板拼擺成的“葉問蹬”圖，則圖中抬起的“腿”(即陰影部分)的面積為( ).

圖3 圖4

解析 找出陰影中直角三角形與平行四邊形的邊與大正方形的邊的關(guān)系是關(guān)鍵，再求出面積.

由邊長(zhǎng)為4的正方形分割制作的七巧板，共有五種不同的圖形(圖5～9).其中圖5～7均為等腰直角三角形，腰長(zhǎng)分別為圖8為正方形，邊長(zhǎng)為圖9為平行四邊形，邊長(zhǎng)分別是2和兩角分別是45°和135°.根據(jù)圖4可知，圖中抬起的“腿”是圖7和圖9拼接而成，腰長(zhǎng)是的等腰直角三角形的面積是根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可知，兩角分別是45°和135°的平行四邊形

ABCD

(圖10)的高是

DB

，且平行四邊形的面積為因此“腿”的面積為1+2=3，故選A.

圖5 圖6 圖7

圖8 圖9 圖10

賞析

本題考查了七巧板中的圖形的構(gòu)成和面積計(jì)算，熟悉七巧板中圖形的分類是解題的關(guān)鍵.七巧板可拼成一千多種圖形，充分顯示了我國(guó)古代勞動(dòng)人民的智慧，“葉問蹬”圖就非常形象生動(dòng).在2021年中考中，還有江西卷考查了七巧板拼成軸對(duì)稱圖形，浙江金華卷考查了七巧板拼圖后相關(guān)頂點(diǎn)的坐標(biāo)，浙江麗水卷考查了七巧板拼圖后兩平行線的距離等，這些問題的本質(zhì)是弄清五個(gè)基本圖形的邊、角、面積、周長(zhǎng)等數(shù)量關(guān)系.

5 著名文化遺產(chǎn)

例5

(浙江寧波)抖空竹在我國(guó)有著悠久的歷史，是國(guó)家級(jí)的非物質(zhì)文化遺產(chǎn)之一.如圖11，

AC

,

BD

分別與⊙

O

相切于點(diǎn)

C

,

D

，延長(zhǎng)

AC

,

BD

交于點(diǎn)

P

.若∠

P

=120°，⊙

O

的半徑為6 cm，則圖中的長(zhǎng)為

cm.(結(jié)果保留π)

圖11

解析的半徑是已知條件，關(guān)鍵是求出所對(duì)的圓心角，所以要先作輔助線.

連結(jié)

OC

,

OD

(圖12)，因?yàn)辄c(diǎn)

C

,

D

均是切點(diǎn)，所以

OC

⊥

AC

，

OD

⊥

BD

，故∠

OCP

=∠

ODP

=90°.根據(jù)四邊形內(nèi)角和等于360°可得，∠

O

=360°-∠

OCP

-∠

ODP

-∠

P

=360°-90°-90°-120°=60°，所以的長(zhǎng)為

圖12

賞析

本題通過作輔助線，先求弧對(duì)應(yīng)的圓心角的度數(shù)，再根據(jù)弧長(zhǎng)公式求解.對(duì)于抖空竹這一富有技巧性的健身運(yùn)動(dòng)，很多學(xué)生都見過.實(shí)際上，這里面也蘊(yùn)含著直線與圓相切的數(shù)學(xué)知識(shí)，豐富了我們的思維.

文化遺產(chǎn)是我們寶貴的財(cái)富，在2021年中考中，有關(guān)我們熟悉的非物質(zhì)文化遺產(chǎn)太極拳，湖南張家界卷考查了太極圖的面積問題，河南卷則考查了世界文化遺產(chǎn)龍門石窟與三角函數(shù)的計(jì)算，彰顯了傳統(tǒng)文化中的數(shù)學(xué)魅力以及數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值.

6 國(guó)際數(shù)學(xué)視野

例6

(浙江溫州)圖13是第七屆國(guó)際數(shù)學(xué)教育大會(huì)(ICME)的會(huì)徽，在其主體圖案中選擇兩個(gè)相鄰的直角三角形，恰好能組合得到如圖14所示的四邊形

OABC

.若

AB

=

BC

=1，∠

AOB

=

α

，則

OC

的值為( ).

圖13 圖14

解析 要先運(yùn)用三角函數(shù)將

OB

表示出來，再運(yùn)用勾股定理即可求得結(jié)果.因?yàn)?p>AB

=

BC

=1，在Rt△

OAB

中，故在Rt△

OBC

中，根據(jù)勾股定理得故選A.

賞析

本題主要運(yùn)用三角函數(shù)與勾股定理求解.我們可以看出第七屆國(guó)際數(shù)學(xué)教育大會(huì)的會(huì)徽非常漂亮，一個(gè)三角形不斷向外“擴(kuò)張”，形如“迭代”的效果.

在2021年中考中，還有甘肅武威卷根據(jù)古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德提出的有關(guān)圓的一個(gè)引理，讓學(xué)生作圖，湖北宜昌卷考查了“萊洛三角形”的面積計(jì)算問題，四川成都卷考查了菲爾茲獎(jiǎng)獲得者年齡的統(tǒng)計(jì)問題等，數(shù)學(xué)無國(guó)界，這些題目讓我們開闊了視野，增長(zhǎng)了見識(shí).

中考試卷中數(shù)學(xué)文化試題不斷涌現(xiàn)，顯示了命題者的聰明與智慧，這也是學(xué)科育人的一種途徑.學(xué)生在做題過程中鞏固了知識(shí)與技能，培養(yǎng)了思維能力，感受傳統(tǒng)文化的熏陶.在日常教學(xué)中，教師可以精選蘊(yùn)含傳統(tǒng)數(shù)學(xué)文化的問題讓學(xué)生閱讀、欣賞和解答，品味數(shù)學(xué)文化的精髓，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)這類問題所需要的知識(shí)、思想和方法.另外，教師可以推薦學(xué)生課余時(shí)間閱讀《九章算術(shù)》《孫子算經(jīng)》《幾何原本》等名著，寫些心得體會(huì)，體會(huì)數(shù)學(xué)文化之美，領(lǐng)略中外數(shù)學(xué)精神，進(jìn)而提升自己的數(shù)學(xué)文化素養(yǎng)，力爭(zhēng)做到“文化搭臺(tái)，學(xué)生唱戲，教師喝彩”！