張弛皆有度 動靜總相宜
——圓錐曲線中的調和平均問題初探
2022-03-25 01:59:48馮廣軍郭琳芳
中學數學雜志 2022年3期
馮廣軍 郭琳芳
(廣東省深圳科學高中 518129)
圓錐曲線中蘊藏著豐富的規律，如定點與定值問題等.這些規律大多都反映了圓錐曲線中的一種動態而和諧的平衡，正是“張弛皆有度，動靜總相宜”，比如低調而絕妙的調和平均問題.
1 研教材，啟示多從教材來
(人教A版教材2019版第45頁)如圖1，AB
是圓的直徑，點C
是AB
上一點，AC
=a
，BC
=b.
過點C
作垂直于AB
的弦DE
，連結AD
，BD.
你能利用這個圖形，得出基本不等式的幾何解釋嗎？
圖1
這里給了我們一個提示，即基本不等式的幾何解釋.實際上，對于兩個正數a
，b
，不等關系都可以在圓中找到其幾何解釋：如圖2，在以BC
為直徑的圓O
中，設AC
=a
，AB
=b
，AD
與圓O
相切于點D
，DE
⊥BC
于點E
，OF
⊥BC
，交圓O
于點F
，連結OD
，AF.
易知結合圖形可知，AE
<AD
<AO
<AF
，當且僅當圓的半徑為0，即a
=b
時取等號.
圖2 圖3
事實上，如果作出圓的另一條切線AM
，易知點E
即為過圓心的割線AC
與切點弦DM
的交點，一個自然的想法是：如果割線AC
不過圓心，AE
是否仍然是a
，b
的調和平均？結論是肯定的.例1
如圖4，點P
為圓x
+y
=r
外一點，PA
，PB
為圓的兩條切線，切點分別為A
，B
，割線PD
交圓于C
，D
兩點，交AB
于點Q
，求證：
圖4
證明
設P
(x
,y
)，如圖4，不妨設x
<-r.
設直線PQ
的方程為y
=k
(x
-x
)+y
，C
(x
,y
)，D
(x
,y
)，Q
(x
,y
)，則只需證由得(1+k
)x
+故從而又因為直線AB
的方程為x
x
+y
y
=r
，由得所以當點P
位于y
軸上時，易證(略).所以證畢.結論1 過圓O
外一點P
作圓O
的兩條切線PA
，PB
，切點分別為A
，B
，過點P
任作圓O
的一條割線，交圓O
于C
，D
兩點，交切點弦AB
于點Q
，則PQ
為PD
，PC
的調和平均.2 善變通，味道盡在類比中
例2
如圖5，點P
為橢圓外一點，PA
，PB
為橢圓的兩條切線，切點分別為A
，B
，割線PQ
交橢圓E
于C
，D
兩點，交線段AB
于點Q
，求證：
圖5
證明
設P
(x
,y
)，如圖5，不妨設x
<-a.
設直線PQ
的方程為y
=k
(x
-x
)+y
，C
(x
,y
)，D
(x
,y
)，Q
(x
,y
)，則只需證因為直線AB
的方程為由得x
=故又由得故從而當點P
位于y
軸上時，不妨設P
(0,m
)(m
<-b
)，因為直線AB
的方程為所以從而又PC
=b
-m
，PD
=-b
-m
，所以綜上，證畢.
該結論在雙曲線和拋物線中仍然成立，證明略.
結論2 過圓錐曲線E
外一點P
作E
的兩條切線PA
，PB
，切點分別為A
，B
，過點P
任作E
的一條割線，交E
于C
，D
兩點，交切點弦AB
于點Q
，則PQ
為PD
，PC
的調和平均.3 再尋覓，沿途處處有驚喜
例3
如圖6，直線l
過橢圓的左焦點F
，且與橢圓E
交于A
，B
兩點，則(其中e
是橢圓E
的離心率，p
是焦點到相應準線的距離，ep
即為半通徑)
圖6
證明
如圖6，設∠BF
F
=θ
，BF
=r
，AF
=r
，由橢圓的第二定義有：因此證畢.對于雙曲線(交于同一支時的情形)和拋物線，可通過類似的證明過程得到這一結論，不再一一給出.
結論3 圓錐曲線的焦點弦的兩個焦半徑的調和平均是其通經的一半.(雙曲線中的焦點弦是指過焦點的直線與雙曲線交于同一支的情形)
例4
如圖7，過橢圓的左焦點F
且相互垂直的兩直線與橢圓E
分別交于點A
，B
和C
，D
，求證：
圖7
證明
設∠BF
F
=θ
，BF
=r
，AF
=r
，由橢圓的第二定義有：r
=因此因為AB
與CD
垂直，所以只需要將中的θ
換成即可得到所以當圓錐曲線為雙曲線時，綜合可知結論4 圓錐曲線過同一焦點的互相垂直的兩條弦長的調和平均為定值.
調和平均原本是統計學中的術語，是一種某一特定條件下的平均量，我們能在圓錐曲線中不斷發現它的存在，這為我們從多個角度去理解調和平均又打開了一扇門.或許數學的魅力也正在于此，而更多的美正等著我們去發現！
