注重抽象建模 凸顯概念本質
——2021年全國乙卷兩道高考題引發的思考

符強如

(新疆烏魯木齊市實驗學校 830026)

當前許多課堂被應試需求主導，數學教學嚴重異化為解題的模仿與訓練，大部分時間培養的只是學生進行機械運算和演繹推理的能力，很難全面且有深度地培育學生的數學思維素養.在平常的數學教學中，概念教學是培育學生數學抽象思維素養的主要路徑.數學思維素養的涵育，離不開對概念內涵與意義的認知和對知識發展的體驗，也離不開對知識關系結構的發現與掌握，以及應用知識解決問題過程中對數學思想、精神的感悟.筆者對2021年全國高考乙卷理科第9題和第19題調查后發現，已嚴重異化為解題模仿與訓練的數學課堂不能真正激發學生的學習興趣，學生對數學概念產生的必要性和合理性的感悟嚴重缺乏，很難直接產生學習新概念的情感需求和思維需求.這種急功近利的做法只能讓學生獲得碎片化的、零散的知識記憶和僵化的思維，數學概念的學習停留在機械表層,難以讓學生構筑厚實的學習基礎，形成必要的探究發現能力，學生的數學思維素養得不到有效的培養.下面以2021年全國高考乙卷理科第9題和第19題為具體案例，在進行多角度解法研究的基礎上，談談學生在解題過程中概念理解的具體形式，以及如何進行概念教學，凸顯數學本質.

1 試題呈現及多視角探析

題1

(2021年全國乙卷題19)記

S

為數列{

a

}的前

n

項和，

b

為數列{

S

}的前

n

項積，已知(1)證明：數列{

b

}是等差數列；(2)略.

這道題是2021年高考全國乙卷理數第19題，從問題表述來看，表現樸實,題干清晰；從內容上看，主要考查等差數列的相關知識和概念，考查考生的邏輯推理、數學建模、數學運算等核心素養.在與學生溝通探討中發現，這道題的得分不容樂觀，主要體現在對此題第(1)問概念理解不到位.品析第(1)問，初嘗平淡,深酌而顯深厚蘊藉,余味綿長.

視角1 “消元”角度，消去

S

.當

n

=1時，

b

=

S

，由解得當

n

≥2時，代入消去

S

，可得所以所以{

b

}是以為首項為公差的等差數列.

評析

學生需要充分利用

b

=

S

S

…

S

這一條件,但是發現其在常規等差等比數列的題型中思維難以突破.調查發現學生對條件

b

=

S

S

…

S

的理解非常豐富.比如直接應用：由可得為數列{

S

}的前

n

項積，即

b

=

S

S

…

S

故于是故從而再如變形為

b

=

b

-1·

S

(

n

≥2)的形式.具體解法有：①通過對等式兩邊同乘

b

，即得到②通過對兩邊同乘

S

·

b

，可得2

b

+

S

=2

S

·

b

，2

b

-1+1=2

b

(

n

≥2).③對變形可得因為

b

=

b

-1

S

(

n

≥2)，所以故這一思路非常簡單，但是對于創造性思維薄弱的學生來說更多的是直接通過等差數列定義式

b

-

b

-1=

d

(常數)去證明.視角2 開門見山應用等差數列定義式

b

-

b

-1=

d

(常數).對變形可得于是

b

-1當

n

≥2時，故于是2

S

-1=

S

-1·

S

+1，得于是所以數列{

b

}是等差數列.

評析

視角2是學生經過新知識學習和一定量的習題訓練后最容易想到的思路.但是當發現寫出

b

-

b

-1后與平時訓練出現的結果不一樣時，不少學生就止步了，其實往前走一步只需要找到

S

與

S

-1的關系即可.這一問題的本質就是學生對概念理解還不到位.這啟示我們在平時教學中要注重 學生對非常規題型的處理策略的培養，這樣，當非 常規題型出現時學生也能有豐富的處理方案,如：對等式兩邊同乘

S

，即得到當

n

≥2時，故因此=

b

-1.由可得故所以數列{

b

}是等差數列.視角3 通過等差中項2

b

-1=

b

+

b

-2(

n

≥3).由可得故于是即

b

+

b

-2=2

b

-1(

n

≥3).

評析

視角3也是在探究視角2過程中演變而來的，就是對主干條件變形過程中通過等差中項2

b

=

b

-1+

b

+1(

n

≥2)來證明.學生直接從等差中項去證明是比較困難的，但是數列的概念反應的特征就是列數，學生可以通過數學歸納法去求解，也可以先求出

S

，再求

b

.

題2

(2021年全國乙卷題9)魏晉時期劉徽撰寫的《海島算經》是關于測量的數學著作，其中第一題是測量海島的高.如圖1，點

E

，

H

，

G

在水平線

AC

上，

DE

和

FG

是兩個垂直于水平面且等高的測量標桿的高度，稱為“表高”，

EG

稱為“表距”，

GC

和

EH

都稱為“表目距”，

GC

與

EH

的差稱為“表目距的差”，則海島的高

AB

=( ).

圖1

表高

表高

表距

表距

此題是2021年高考全國乙卷理科數學第9題，主要考查正切函數的相關知識和概念.與上一題類似，此題的表述樸實清晰，但與學生溝通后發現，花了大量時間去梳理關系，得分卻不高，主要問題是對正切函數概念的理解層次欠缺，也缺乏數學建模的意識.其實細細品味，我們會發現此題的魅力.

解法1 (正切函數概念)

將題目問題抽象出圖形，如圖2，連結

DF

交

AB

于點

M

.可設∠

BHA

=∠

BDM

=

α

,∠

BCA

=∠

BFM

=

β

,則由題意可得表高.即選A.

圖2

評析

解法1由人教A版教材必修五第一章1.2節“應用舉例”例3演變而來，就是在對正切函數概念理解深刻的基礎上，由概念進行數學建模的具體體現.調查發現，若學生對概念理解有深度，就能體現出解法1，但是對大部分學生而言是有難度的.與學生溝通發現，不少人是花費了大量時間去尋找邊之間的關系，現展示具體解法.

解法2 直角三角形相似

根據題目中的三角形相似可得故即整理可得即故選A.

評析

解法2主要是根據相似三角形的性質與直角三角形的邊角關系來求解，現在看來屬于基礎題.部分學生反而花了大量時間去尋找關系，有的甚至還沒有得出答案，其主要原因是學生在數學概念學習中的數學建模素養沒有得到發展，不能用數學視角看待現實的問題，在數學概念的應用學習中，沒有形成一定的知識體系.

2 概念教學感悟

數學概念教學首先需要研究“為什么學習此概念”，激活學習新概念的情感需求和認知需求；其次需要研究“學習數學概念的哪些內容”，挖掘數學概念的本質及生成過程等.所以在概念教學中，學生數學抽象思維素養的形成，基于其對諸多和概念相關聯知識的整體理解與認識，需要教師適當騰出時間對引入概念的必要性和歷史背景等作較詳細說明.獲得數學概念的主要思維方式是抽象與概括，而抽象與概括是一種思維的體驗和領悟.因而，在數學概念教學中應盡可能多地讓學生親歷概念的抽象與概括過程，在不斷的體驗與領悟中將經驗與概念、直覺與邏輯整體融合并凝聚、升華形成素養.最重要的是要遵循知識的發生發展過程和學生頭腦中與新知識有實質性聯系的適當觀念，以學生認知結構中與新概念有自然的、內在聯系的已有知識作為新概念的生長點，使新舊概念之間產生非人為和實質性聯系.

數學概念的學習需要數學建模思維素養，需要其從數學視角看問題、用數學方法處理問題的這種意識與能力，也是學以致用精神的體現，即在研究一個現實問題時，先從問題信息抽象出形式化的數學模型，再根據模型求解結果統一處理同類現實問題的這種思維過程.數學建模以描述客觀事物的數形特征和內在聯系所建立的模型和眾多的數學概念、公式和定理等知識一樣，都可以廣泛應用于現實世界.

在概念的應用教學中，教師引導學生整體理解數學知識結構及其思想方法，讓學生了解問題的現實意義及其所蘊含的數形特征，啟發學生用數學符號語言將現實問題轉化為數學問題，通過聯想對問題選取適當的且已學的知識模型.這需要教師多引導學生從數學角度觀察、發現并提出有意義的問題，其中往往會與已學的數學概念、知識和思想方法有廣泛聯系，能讓學生更深刻理解概念內涵、意義及作用.

3 結束語

從概念教學深化學生對概括過程的體驗與內涵的認知來看，必須讓學生“知其然”亦“知其所以然”，不要僅停留在簡單機械的記憶與模仿.應努力提高學生進行探究發現與關系建構的能力，可以讓學生頭腦中孤立的知識形成有機體系和完整結構，走出零散型解題教學與碎片化學習的困境，讓學生學會如何將所學知識靈活應用于現實問題情境，遠離目標指向迷糊和被無意義問題填充的課堂教學.唯有如此，我們的課堂才能真正優質高效，學生認知結構才能更加穩定，數學核心素養的培育才能更深入落實.