基于學情遵循教材，問題驅動探索未知
——以“有理數的乘方(1)”教學為例*

劉東升

(江蘇省南通市教育科學研究院 226000)

學生進入初中之后的數學學習要面對的第一個難點就是數系擴充之后的有理數及其運算.而有理數運算的重點與難點就是運算規則的生成與運算律的靈活運用.那么在有理數運算的新授課時，怎樣引導學生深刻理解運算規則就是非常重要的教學目標.筆者最近在一所學生基礎相對薄弱的農村學校執教了一節隨堂研討課“有理數的乘方(第1課時)”，基于教材又重組教材，讓新知漸次生成，取得了較好的教學效果.

1 “有理數的乘方(第1課時)”教學流程

教學環節1 創設情境，引出新知

課前交流：同學們進入初中以來，學習了哪種新的數？(生：有理數)，還學習了有理數的哪些相關概念？(生：相反數、數軸、絕對值)，在此基礎上又學習了有理數的哪四種運算？(生：加、減、乘、除)，它們的結果分別叫什么？(生：和、差、積、商)

問題1計算(-1)+(-1)+(-1)+(-1).

教學組織：一個學生很快報出答案，教師跟進追問“這個算式寫得太長且繁，能否改寫成一個更簡的算式？”學生很快想到可以寫成乘法形式“(-1)×4=-4”.教師肯定并鼓勵，指出把相同加數相加寫成乘法的形式，符合數學“求簡”的追求，并在黑板上寫出“求簡”兩字.

預設追問：有理數乘法的運算法則是什么？

(安排學生回憶“同號得正、異號得負，并把絕對值相乘”)

問題2計算(-3)×(-3)×(-3)×(-3)×(-3).

教學組織：學生很快算出答案是-243.教師追問學生是如何算的？讓學生說出確定符號的優先意識，以及多個有理數相乘，符號由負因數的個數確定，當負因數的個數為奇數時，積的符號為負；當負因數的個數為偶數時，積的符號為正.當一個學生說出之后，安排另一個學生再次復述，強化上述確定符號的規律，因為與本課所學的一個新知(負數的奇次冪或偶次冪的符號規律)高度相關.

預設追問：這里5個-3連乘的算式書寫起來也比較繁瑣，有沒有簡化的方法呢？(學生由小學里已學過的平方和立方的書寫方法，會想到寫成(-3)5的形式)，這時安排學生上臺，寫到黑板上，并讓該學生講解所寫算式的意義，在此基礎上引出本課新知.

教師在主板區板書乘方的定義，并進一步指出底數、指數、冪的概念后，安排學生針對具體的式子復述、講解，如(-3)5.

教學環節2 定義乘方，例題運算

問題3在乘方的定義中，我們為了表述的方便，引入了兩個字母n，a，作為嚴謹的追求，同學們思考一下對兩個字母的取值范圍有沒有特殊的限制呢？

教學組織：學生討論后可能容易理解n的取值范圍應該是正整數，但對于底數a的范圍可能會有爭論和不解.這時教師可讓有疑惑的學生舉例說說自己的困惑，這樣可以讓學生知道底數a為任意有理數時都是可以進行有理數乘方運算的.但是學生如果提到一些特殊的例子，如0n，51，就可以順便做一些規定，比如一個數等于它本身的一次方.這樣有助于學生全面、深刻地理解乘方定義.

問題4乘方是一種運算，如何進行乘方運算呢？

教學組織：學生應該想到將乘方運算展開為乘法運算就可以了，教師肯定學生的上述思考，并形成板書(乘方的“算法”，從定義出發，利用有理數的乘法進行乘方運算).然后跟進幾道例題，訓練學生進行乘方運算.

例題計算：

教學組織：先安排兩組學生上臺板演，再安排學生上臺批改，如有錯誤進行糾錯、究錯.究錯時注意引導學生“回到定義”去思考和理解.然后跟進一組練習，安排學生不動筆，直接看出答案后匯報并核對.

跟進練習，計算：

(1)(-1)10；(2)(-1)7；(3)83；(4)(-5)3.

教學環節3 觀察算式，歸納乘方的符號規律

問題5學習有理數的運算的經驗告訴我們，有理數運算的關鍵或難點是符號問題.從上面的例題與練習的計算后，同學們觀察算式特點與冪的結果符號，有什么規律呢？

教學組織：學生先獨立思考，再小組內交流，最后全班匯報展示，得到有理數乘方運算的符號規律(可以在教師的引導下，分類討論底數為正、0、負的情況)，師生合作形成板書(正數的任何次冪都是正數；0的正整數次冪是0；負數的奇次冪是負數，負數的偶次冪是正數).在這個歸納的過程中，學生表述的語言可能不太精準，教師不要急于給出教材上的“黑體字”，而是讓學生先討論、優化、簡化，最后再讓學生對照教材“黑體字”表述，在對比之后交流學習體會，感受到對數學性質的猜想歸納與概括往往是困難的，但正是因為追求“優秀的表達能傳遞得更遠”，我們就有不斷求簡、求優的動力.

教學環節4 課堂小結，完善“結構化板書”

將黑板上副板區提到的有理數的四則運算(加、減、乘、除)用“臺階”勾畫出來，引導學生理解數學運算的學習特點是“一步一步向上走”，進而追問學生本課所學習的是第幾種運算？(第五種)完善主板區的標題留白處，并將本課主板區用框架線補全成結構化板書，指出隨著后續乘方運算的學習，同學們還可繼續積累一些乘方運算的經驗，到時可以進一步充實到這節課的聽課筆記中.

該課最后形成的板書剪影如圖1.

圖1

課堂最后，安排一組當堂反饋練習題：

1.(1)(-7)8中，底數、指數各是什么？

(2)(-10)8中-10叫做什么數？8叫做什么數？(-10)8是正數還是負數？

2.計算：

(3)(-10)4；(4)(-10)5.

2 教學立意的進一步闡釋

2.1 基于學情，遵循教材，新授宜慢不急于拓展

潘龍生老師指出：“讓學生看到過程是提高數學學習效能的得力措施.”[1]并引清末數學家華蘅芳的觀點“力挽之習，于一切算法無不坦白示人，……不求簡奧，不避粗俗，惟使人易明而已”，來批判當下概念教學中“一帶而過”的教學現象.在上面的課例中，我們基于所教校情、班情和學情，決定遵循教材，在有理數乘方的第1課時教學時，沒有安排大量的計算或練習，也沒有針對學材進行無度的拓展與拔高，全課沒有安排類似(-10)5與-105的易錯辨析(事實上，在我們見到的很多公開課或學案上都有相關的辨析練習，而教材上卻一例沒有，這種現象是值得深思的，難道編寫教材的專家不知道要安排學生辨析嗎？)，所選問題情境或例題運算都源于教材或經簡單改編，立意在新授課階段讓學生掌握乘方定義及算法，發現并歸納乘方運算的符號規律，“固化”學生對新知“標準形式”的理解，而不是急于安排大量“非標準形式”的習題讓學生去進行辨析、糾錯，避免影響一些學生的學習效果與信心.

2.2 問題驅動，探索未知，討論完善新知識體系

這里可順便提及所謂“‘探索世界’的范式”[2]，這是2009年漢斯·弗賴登塔爾獎獲得者、法國數學教育家Yves Chevallard所倡導的數學教育取向，即變“參觀紀念碑”式為“探索世界”范式，訓練學生預見未來的能力，Yves Chevallard稱之為“預先認知”.在上面的課例中，我們一共預設了5個問題和1組例習題驅動著全課進程，學生在這些問題的驅動下探索未知、生成新知，在獨立思考、小組討論、板演互評、大組匯報等形式下完善了有理數乘方的知識體系.事實上，當前不少學校使用的“大容量習題單式導學案”在某種意義上助推了“一個定義、三項注意、大量練習”的教學生態.從大容量習題的學案走向簡約呈現、內涵豐富的問題驅動，可有效促進學生思維卷入高質量問題中，從而追求探索未知的有效教學.

2.3 留白布局，調整優化，漸次生成結構化板書

全國著名特級教師李庾南老師及其團隊倡導的“自學·議論·引導”教學法，在單元教學時特別重視“結構化板書”的設計與生成研究.這種板書的特點是知識結構化，學生和教師都能一眼看清本課所學內容的聯系與次序，并且知道本課新知的“源與流”[3].特別是，這種結構化板書不是從上往下、從左往右這樣簡單化地“一寫到底”，而是結合學程推進，融入“生成性資源”留白布局，漸次呈現，直到課堂小結甚至下課之前，黑板上才能完整呈現其“全貌”.如果沒有全課都參與其中、親歷生成，往往不知道是如何漸次呈現的，這也正是“結構化板書”的藝術性所在.因為藝術是沒有程式化的，是動態生成的，是豐富多樣的，所以經常構思、實踐留白式結構化板書，在全課板書呈現生成完善之后，都會有一種“美美地教了一課”的教學體驗.