2021年全國高中數學聯賽一道解三角形試題的多解及推廣

葉誠理

(福建省福清第一中學 350300)

何 燈

(福建省福清第三中學 350315)

1 試題分析

2 試題解析

評注本解法通過正弦定理把邊b,c的關系轉化成角度B,C的關系，結合三角形內角和關系，運用三角恒等變換公式，轉化成與角C相關的三角函數計算問題.

評注本解法仍然是通過正弦定理把邊的關系轉化成角的關系，與解法1不同之處在于通過聯立角A,B,C的關系，把角B,C統一用角A表示，從而得到關于角A的三角關系式，體現了方程思想在解三角形中的應用.

圖1

評注本解法通過添加輔助線將角B分解為兩個角，從而構造兩個相似三角形，再利用余弦定理構建邊a的方程，實現了面積的轉化計算.

圖2

評注本解法通過建立坐標系實現把解三角形問題運用解析幾何知識來求解.關鍵是幾何條件代數化，其中，以B為原點的好處是可以根據AB=1把點A看成是單位圓上的點，用角B巧設點A坐標.利用直線AC的斜率表達式，把含邊長a的關系式轉化成角B的三角函數，進而通過AC距離公式計算sinB，最終轉化成面積.

3 試題推廣

借鑒解法2，我們可以得到本題在一般情況下的結論.

4 解題心得

條條大道通羅馬，本題解法的多樣性讓我們感受到數學思維的無限魅力.解題中用到的知識涉及函數、方程、三角函數、平面幾何、解析幾何等；對一般性結論的推廣開闊了我們的視野，揭示了問題的本質.本題集中考查了解三角形問題中考生的抽象概括能力、運算求解能力和創新應用意識；用到的數學思想有函數與方程思想(特別是消元思想)、化歸與轉化思想、數形結合思想等[1].本題的一題多解彰顯出靈活合理地運用所學知識解決實際問題的能力的重要性，不僅對競賽生，也對廣大高考生具有一定啟發意義，即對數學知識的融會貫通、對數學方法的嫻熟運用和對數學思想的深刻領會是考場上制勝的關鍵[2].