軸承-轉子非線性動力學及非線性特征的識別分析

都昌兵，舒 毅，邱清俊

（長沙航空職業技術學院，湖南 長沙 410124）

軸承-轉子系統是代表一類廣泛工程應用背景的復雜機械的關鍵部分。大量的理論研究和仿真計算表明，軸承-轉子系統在某些故障狀態（如局部碰摩、軸裂紋、支承松動等）和一定的參數條件下其非線性油（氣）膜力會表現出豐富的振動現象[1]。對軸承-轉子系統的非線性振動特性，雖然已經在各種各樣的背景下展開了廣泛的研究，但目前這些研究側重于理論分析、仿真計算以及混沌通道的考察，試驗研究相對較少；研究靜態非線性振動現象的較多，研究動態非線性振動的較少；單一故障的研究較多而耦合故障的研究較少。從工程的角度出發，人們更關心的問題是：（1）軸承-轉子系統在什么條件下會產生非線性振動？（2）如何根據觀測結果識別軸承-轉子系統的非線性振動？這些問題的研究對于人們更準確地理解和分析軸承-轉子系統中發生的復雜振動現象、掌握非線性振動發生規律、指導軸承-轉子系統的設計和使用、抑制其不良振動以及準確診斷碰摩等故障有重要的學術意義和應用價值[2]。

在氣膜振蕩和碰摩等非線性因素的影響下，軸承-轉子系統將會線性失穩，進入非線性的穩定和不穩定工作狀態。

1 非線性動力學原理

1.1 非線性動力系統一般方程表達式

一般可用多參數有限維二階常微分方程組來描述軸承-轉子的非線性動力系統，表達式為：

式中時間t≥0，頻率ω是實數軸上的一個系統參數（ω∈R），未知量是m維矢量q，是由軸剛度、軸承氣（油）膜力等所產生的系統內力矢量，系統的外激勵力矢量是。

引入狀態變量：

則非線性動力系統在狀態空間中的表達式可描述為：

其中：

若F中不顯含時間t，

且滿足 ，那么式（1.2）可簡化為：

那么此時的軸承-轉子系統非線性動力系統式（1.3）為自治系統。

若F中顯含時間t，且是T周期函數，即滿足則（1.3）式簡化為：

那么稱此時的軸承-轉子系統非線性動力系統式（1.4）為非自治系統。

1.2 非線性動力系統平衡點解的Hopf分岔理論

根據分岔時產生的周期解的情況不同，可分為超臨界Hopf分岔和亞臨界Hopf分岔兩種[3]。

（1）若 ，系統由平衡點解 分岔出一個穩態的周期解 ，并且當 ，周期解，則稱之為超臨界Hopf分岔[4]。

分岔特征：周期解的產生是漸變的，隨ω的變化，系統不出現“跳躍遲滯”現象（如圖1a）。

（2）若 時，系統由平衡點解 分岔出一個不穩定的周期解 ，并且當 時周期解 ，則稱之為亞臨界Hopf分岔[4]。

分岔特征：周期解的產生是突變的，隨ω的變化，系統出現“跳躍遲滯”現象，這是由于不穩定的周期解外往往還存在一個穩定的周期解（如圖1b）。

圖1 平衡點解的Hopf分岔

2 非線性特征的識別

在高轉速下，當轉子振動較大，偏心率較高時容易發生氣膜振蕩現象。當發生氣膜振蕩時轉子振幅增加，容易產生碰摩等故障[5]。而識別出氣膜振蕩可以盡早采取控制措施，從而擺脫氣膜振蕩進而避免碰摩故障的發生。但是氣膜振蕩由于其突發性使得我們往往不容易預防，在試驗中可以通過嘗試改變控制方式來退出氣膜振蕩[6]。本文就一次穩定試驗中出現的典型氣膜振蕩現象進行了識別分析。結合圖2，試驗總結如下：在0～926 s之間是轉子的升速階段，其中300 s之前轉子升速較快，300 s之后轉子升速很慢。當轉子轉速達到42000 rpm時，再提高動力渦輪流量，轉速反而下降，振幅增大，隨后發生了碰摩。

圖2 轉速隨時間變化曲線和轉子尾端水平振動振幅隨時間變化曲線

2.1 時域波形分析

觀察650 s附近的時域波形圖可以看出，在647 s時時域波形還是穩定的，如圖3，但在1 s之后波形開始發生變化，到649 s時波形特征如圖4。觀察從650 s到926 s碰摩前的時域波形，由于氣膜振蕩一直存在，波形圖特征都與圖5相似。

圖3 氣膜振蕩未發生時的時域波形

圖4 氣膜振蕩開始發生時的時域波形

圖5 氣膜振蕩發生時的時域波形

2.2 傅立葉分析

圖3、圖4和圖5的時域波形圖對應的頻譜圖為圖6、圖7和圖8。從圖6、圖7和圖8中可以看出半速渦動頻率的振幅增長變化，根據圖6、圖7和圖8提供的時域信息，半速渦動頻率的振幅增長迅速，很快振幅就和工頻相當。觀察從650 s到926 s碰摩前的頻譜圖，由于氣膜振蕩一直存在，頻譜圖特征都與圖8相似。

圖6 氣膜振蕩未發生時的FFT圖（647.670～647.730 s）

圖7 氣膜振蕩開始發生時的FFT圖(649.770～649.830 s)

圖8 氣膜振蕩發生時的FFT圖(650.350～650.400 s)

2.3 軸心軌跡分析

圖9、圖10、圖11、圖12是系統進入氣膜振蕩時軸心軌跡的變化。圖9反映的是在進入氣膜振蕩之前，轉子軸心軌跡是以穩定的周期1狀態運行。在649 s時,軸心軌跡呈現擬周期的運動狀態。要進入擬周期，按照非線性動力學的理論，這時一定會有分岔現象，也就是軸心軌跡一定會有周期2的出現，之后才會進入擬周期，但是由于轉速過高而沒有看見周期2，當在926 s發生碰摩后，轉速下降到37000 rpm附近，從軸心軌跡圖中能看見周期2（圖13）。周期2的出現表明運動中出現了另一個非同頻振動頻率，該擾動頻率為軸承的渦動頻率。該頻率擾動導致系統偏離平衡點周期1，系統出現線性失穩的現象。線性失穩發生后，系統會重新進入新的非線性平衡點，有可能是新的極限環，也有可能進入混沌或者擬周期狀態。圖10和圖11反映的就是系統走向新的平衡點時經過的擬周期狀態，圖12可以認為是系統進入最終的平衡點多周期或混沌狀態的軸心軌跡。觀察從650 s到926 s碰摩前的軸心軌跡，由于氣膜振蕩一直存在，軸心軌跡特征都與圖12相似。

圖9 氣膜振蕩前的穩定軸心軌跡（轉速40124 rpm,時間647 s附近）

圖10 氣膜振蕩初期的軸心軌跡（轉速40214 rpm,時間649 s附近）

圖11 氣膜振蕩加劇的軸心軌跡 （轉速40254 rpm,時間650 s附近）

圖12 氣膜振蕩嚴重時的軸心軌跡（轉速40523 rpm,時間650 s附近）

圖13 碰摩時的軸心軌跡（轉速37153 rpm,時間926 s附近）

從能量的觀點看，軸心軌跡包圍的面積越大，氣膜所具有的能量也就越大，轉子的軸心軌跡從圖9、圖10、圖11，到圖12的變化可以看出，發生氣膜振蕩時軸心軌跡包圍的面積越來越大，氣膜也具有越來越大的能量值，當然不是無止境地增長。在不改變外界能量輸入時，作為一種系統的自激振蕩行為，氣膜振蕩具有自激振蕩的一切特征，因為自激振蕩是一種非線性的穩態周期運動，所以氣膜振蕩也會是一種非線性的穩態周期運動，必然是有界的，也就是軸心軌跡包圍面積不會無限增長。試驗中，軸心軌跡增長到圖12的狀態就穩定下來了，之后系統可以一直在氣膜振蕩下穩定運行。由于在926 s碰摩之前開大了動力渦輪，增加了系統輸入能量才發生了碰摩故障，軸心軌跡如圖13。

3 結論

通過對軸承-轉子非線性動力系統的數學建模以及試驗分析，分析了碰摩的動態過程，識別出由于氣膜失穩導致的碰摩故障，得到碰摩故障的非線性路徑。轉子系統在進入擬周期或混沌狀態時，振動的振幅不會無止境地增長，而是有界的，只要不改變系統的輸入能量，轉子系統可以在發生氣膜振蕩的情況下繼續穩定運行，只是轉速不再上升，而是圍繞一定的轉速振蕩。

對軸承-轉子非線性動力系統的數學建模并求解可以用來討論系統的非線性路徑。但是在實際中，由于流體潤滑的非線性偏微分方程——雷諾方程，難以取得精確的解析解，使得軸承系統支承力的求解還不夠完善，這樣即使建模討論，也與實際問題有很大的差距[7]。因此，通過實驗分析軸承-轉子系統的非線性動力學行為非常重要。然而，本文提出的非線性分析方法只能給出定性結果，定量結論還待進一步研究。