數學運算核心素養視角下的“三角函數”試題分析

許雅楠 黃在堂 孫艷雷 陳美賢

[摘 ?要] 數學運算素養是影響學生高中數學學習的一個重要因素，所以選擇恰當的方法對學生現階段數學運算素養落實情況進行考查是很有必要的. 在此基礎上，以SOLO分類理論為指導，根據2016—2020年五年天津高考理科數學試卷所考查的“三角函數”知識點對數學運算素養水平進行劃分，得到這五年天津高考對學生數學運算素養水平的要求，并由此給出提高學生數學運算素養的一些教學建議.

[關鍵詞] 數學運算;三角函數;試題分析;SOLO分類理論

《普通高中數學課程標準（2017年版）》中提出了高中數學六大核心素養，分別是數學抽象、邏輯推理、數學建模、直觀想象、數學運算和數據分析，并強調學科核心素養是育人價值的集中體現，是學生通過高中數學學習而逐步形成的正確價值觀、必備品格和關鍵能力[1]. 其中數學運算能力的提高不但可以幫助學生提升數學學習的邏輯思維能力和空間想象能力，還是提高學生數學建模能力的有效途徑，所以對學生數學運算素養落實情況的考查是很有必要的. 考查學生核心素養落實情況最有效的途徑就是高考. 三角函數作為高考的必考內容，它是高中學習的一類重要的函數，涉及內容偏多，形式抽象，需要學生具有較強的抽象能力和概括能力. 同時，三角函數的學習內容與之前函數的學習內容共同形成了龐大的函數知識體系，所以三角函數一直在高考中占有重要的地位. 因此考查學生的數學運算這一核心素養的落實情況可以借助于2016—2020年五年天津高考理科數學試卷（下文簡稱為“2016—2020年天津高考卷”）中與三角函數相關的試題進行分析，根據SOLO分類理論所劃分的單一結構層次、多元結構層次、關聯結構層次和抽象拓展結構層次等四個層次來分析相關試題中表現的數學運算素養處于哪個水平，并給出提高學生數學運算素養的一些教學建議.

相關概念界定

1. 數學運算素養

數學運算主要表現為理解運算對象、掌握運算法則、探究運算思路和求得運算結果這四個方面，它是學生在明確運算對象的基礎上，依據運算法則解決數學問題的一種數學素養，是解決數學問題的基本手段[1]. 通過高中的數學課程學習，學生能夠根據具體的數學問題采用適當的數學運算方法，并在借助于數學運算能力解決實際問題的過程中進一步提高自身數學運算能力和數學思維的發展. 數學運算在一定程度上反映了學生的數學素養，數學運算的過程滲透著其他五個核心素養，數學運算貫穿中學生整個學生時代，是學生學習和未來社會發展的必備能力及品質[2].

2.SOLO分類理論

SOLO分類理論又稱為“可觀察的學習成果結構”，它是基于皮亞杰的認知發展理論建立起來的，并將皮亞杰有關認知發展水平具有階段性的思想轉換到了具體的學習任務中，使得SOLO分類理論中的思維操作模式、學習周期和階段等概念均能得到合理的解釋，并由原來的“學習者的行為”的評價目標轉化為“學習行為的結果”的評價目標，從學習結果在結構上的復雜程度來評價學生的學習質量，從能力、思維操作、一致性與閉合、應答結構四個方面將學習行為的結果分成五個不同的層次，分別是前結構層次、單一結構層次、多元結構層次、關聯結構層次和抽象拓展結構層次[3]. 這種方法使得評價目標的界定更加清晰、準確，從而提高了評價的信度與效度. 因此可以按照SOLO分類理論對2016—2020年天津高考卷中三角函數考點的相關試題進行劃分. 由于思維水平處于前結構層次的學生的作答通常表現為空白或者偏離到一些毫不相關的問題上，所以對于這一層次的相關試題的分析可以舍去，并將其他四個層次分別用U，M，R，E來表示，由此給出了對應的數學運算素養水平（如表1所示）：

試題分析

三角函數在2016—2020年天津高考卷中的題型分布情況——各題型的分數（如表2所示）：

分析：這道題同樣考查了三個知識點：結論①是對三角函數周期的考查;結論②是對三角函數最值的考查;結論③是通過函數圖像上所有點的平移對三角函數圖像變換的考查. 由此可以看出，該題僅僅是對知識點應用的簡單考查，不要求學生將這些知識點聯系起來綜合應用而解決問題.因此這個問題屬于多元結構層次，數學運算素養水平達到中等以上的學生能夠解答.

2. 解答題的分析

表4展示了2016—2020年天津高考卷中解答題考查的三角函數知識點以及對應的SOLO結構層次，通過每個層次結構試題考查的知識點之間的關系來確定學生的數學運算素養水平.

從解答題考查的三角函數知識點來看，近五年的天津高考卷主要考查的是正弦定理、余弦定理，同角三角函數的基本關系式，二倍角公式和兩角和與差的正弦、余弦公式. 根據每年天津高考卷對應的SOLO結構層次可以看出，解答題對三角函數的考查都處于關聯結構層次（R層次），以中等難度的問題為主，對學生數學運算素養水平的要求較高.

從表4中還可以看出，2020年天津高考卷考查了正弦定理、余弦定理，同角三角函數的基本關系式，二倍角公式，兩角和的正弦公式，需要學生熟練掌握這些知識點，并整體把握、綜合應用，解決一些較為復雜的三角函數問題，處于SOLO結構層次的關聯結構層次，對數學運算素養的要求較高. 同樣，2016—2019年三角函數解答題也屬于關聯結構層次，需要學生具有較高的數學運算素養. 下面對2018年與2020年的關于三角函數的解答題進行分析：

2018年天津高考卷（第15題，13分）：在△ABC中，內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知bsinA=acosB-.

（1）求角B的大小;

（2）設a=2，c=3，求b和sin（2A-B）的值.

分析：該題主要考查的是正弦定理、余弦定理，兩角和與差的正弦公式，同角三角函數的基本關系式和二倍角公式. 由正弦定理可得bsinA=asinB，將其與bsinA=acosB-聯立，求出問題（1）中角B的值. 結合問題（1）的結果與余弦定理得到b的值，根據題目的條件與同角三角函數的基本關系式可以得到sinA和cosA的值，再利用二倍角公式得到sin2A和cos2A的值，最后根據兩角差的正弦公式得到sin（2A-B）的值. 所以將該題納入SOLO結構層次的關聯結構層次，對學生數學運算素養水平的要求較高.

2020年天津高考卷（第16題，14分）：在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c. 已知a=2，b=5，c=.

（1）求角C的大小;

（2）求sinA的值;

（3）求sin2A+的值.

分析：該題主要考查的是正弦定理、余弦定理，同角三角函數的基本關系式，二倍角公式以及兩角和的正弦公式. 先利用余弦定理求出問題（1）中角C的值，然后根據正弦定理=與角C的值求得sinA的值再利用問題（2）的結果與同角三角函數的基本關系式和二倍角公式得到sin2A與cos2A的值，最后由兩角和的正弦公式求得sin2A+的值. 由此可以看出，問題（2）和問題（3）都需要在前一小題的基礎上進行解答，需要學生整體把握條件與問題得到最終的結果，因此該題同樣屬于關聯結構層次.

總結

根據上述分析，我們不難發現2016—2020年天津高考卷中三角函數選擇題對于數學運算素養的考查處于中等或較高水平，而這五年的天津高考卷中三角函數解答題從知識點、題型上看沒有太大變化，對數學運算素養的考查一直處于較高水平. 因此，天津高考卷對三角函數的數學運算素養的考查基本處于較高水平并將一直處于該水平. 同時，這五年天津高考卷注重考查學生對三角函數性質、圖像、恒等變換以及解三角形需要的一些重點知識的運用;重點考查學生對三角函數基本公式的靈活應用，包括誘導公式，兩角和與差的正弦、余弦公式，正弦定理和余弦定理等;考查學生對三角函數知識的綜合運用能力，全方面體現核心素養落實的情況. 如運用基本公式對三角函數式進行化簡，注重學生對基本公式的靈活應用以及準確求解的能力，著重考查學生的數學運算能力;如解三角形，要求學生能夠熟練掌握并靈活應用基本公式或定理，根據題目中的已知條件進行求解，需要學生具有較高的運算能力. 三角函數不僅是一種特殊的函數，還是考查學生數學運算能力的重要載體. 天津高考通過多樣化的三角函數知識相融合的方式命題，體現了試題的綜合性，有效地落實了學生的數學核心素養.

教學建議

1. 理解相關概念，明確運算對象

概念的深入理解可以幫助學生快速準確地明確運算對象，從而根據不同的運算對象找到對應的公式解決問題[4]. 如果學生沒有掌握所學對象的概念，那么數學核心素養也很難得到提升. 比如，若學生對于三角函數的基本概念不明確，就會導致三角函數的公式和定理學不好，面對問題時不能準確地運用相應的公式、定理或法則進行運算，從而運算素養很難提升. 因此，教師在課堂中要注重數學概念的教學. 首先教學開始要注意讓學生掌握概念的外延和適用的范圍，適當給出一些比較容易混淆的相關概念讓學生能夠辨析;其次可以設定適合的情境，引導學生主動探究概念，從多個角度理解概念并建立起相關概念之間的聯系，形成知識圖式，加深學生對概念的理解，從而提高學生數學運算素養.

2. 準確記憶公式，靈活應用變式

數學公式是人們研究某個對象與其他對象間所得到的某種規律，數學公式產生的過程中包含著大量的數學思想、豐富的數學方法[5]. 高中學習的數學公式數量多且煩瑣，學生容易出現記不清公式或運用不恰當的情況，對學生的數學運算會產生很大的影響，甚至會影響學生的數學學習. 高考不是對數學公式簡單的考查，而是通過變式的方式考查學生是否真正理解了數學公式的內涵. 因此，在數學公式的新授課上，教師不能一味地采用灌輸式教學，而是要引導學生經歷并理解公式的推導過程，這樣學生才能更好地學會公式的正向、逆向或變式使用，促進學生數學思維的發展，加深對公式的記憶，提高數學運算素養水平. 比如，在三角函數教學時，教師可以通過單位圓的對稱性引導學生推導出誘導公式，讓學生通過推導的過程熟記公式并能夠靈活應用.

3. 提高學生興趣，培養探究能力

高中數學內容比起初中更加抽象、不容易理解，這就需要學生增強自身獨立思考和探究的能力，而學生思考和探究的動力往往源于他們對知識的好奇心和興趣. 只有當學生愿意學數學，才會對數學問題獨立思考，在運算的過程中探究更多簡便的運算途徑，提高自身數學運算素養水平. 因此，教師在數學教學的過程中可以將數學與生活相結合，讓學生感受到數學的實用性，從而培養他們的思考能力與探究能力，同時也能夠幫助學生更好地學習其他科目[6]. 比如在講解三角函數時可以聯系數學史，通過講述三角函數的發展歷史，幫助學生深入理解三角函數的概念，引起學生的數學學習興趣.

4. 聚焦數學知識，提升學科素養

數學知識是學生解決實際問題的工具，而數學學科核心素養的形成和發展是在學生學習數學知識和內化數學知識的過程中進行的. 作為一名數學教師，要以發展學生的學科核心素養為教學目標，這就要求教師在理解高中數學核心素養內涵的基礎上，了解學科知識的要求和學生的認知發展水平，根據教材合理地安排教學內容，創設問題情境，引導學生自主探究，從而幫助學生充分理解數學知識. 在數學知識的學習中提高學生的理性思維和解決問題的能力，將學科核心素養的培養落實到每堂數學課中，提高學生的數學思維水平，使學生學會用數學的眼光看世界.

參考文獻：

[1] ?中華人民共和國教育部. 普通高中數學課程標準（2017年版）[S]. 北京：人民教育出版社，2018.

[2] ?陳秋嬋. 基于SOLO理論的高中生數學運算素養的發展研究[D]. 閩南師范大學，2020.

[3] ?彼格斯. 學習質量評價[M]. 人民教育出版社，2010.

[4] ?王雪嬌. 深度學習視域下高中生數學運算素養提升的策略研究[D]. 哈爾濱師范大學，2020.

[5] ?閆惠澤. 基于波利亞解題思想的高中數學公式的教學研究[D]. 遼寧師范大學，2020.

[6] ?崔妮娜. 高中生三角函數學習障礙調查與教學策略的研究[D]. 陜西師范大學，2019.