基于EKF的車用永磁同步電機無電流傳感器魯棒控制

龍吟江，吳曉東，王銳松

(上海交通大學 機械與動力工程學院, 上海 200240)

0 引 言

在電動汽車行業，永磁同步電機(以下簡稱PMSM)已成為了電動汽車的主流電機之一，對其高性能控制策略的研究也成為眾多學者關注的焦點，矢量控制是其中最具代表性的一項控制策略。矢量控制最早是1971年BLASHKE等人針對異步電機提出的[1]，其基本思想源于對直流電機的嚴格控制模擬。經過長時間發展，矢量控制理論不斷完善，已經成為PMSM的主流控制策略。矢量控制的重點就是實時檢測定子電流和轉子的位置信息，以作為參考輸入進行控制。通常地，PMSM既有電流傳感器用于檢測電流，也有位置傳感器檢測位置信息。而無傳感器控制利用算法對相電流或者位置信息進行估計，代替傳感器的檢測值參與電機控制，具有節約成本、簡化系統、提高可靠性的優勢。

無傳感器控制可以分為無位置傳感器控制和無電流傳感器控制，本文主要研究的是無電流傳感器控制。無電流傳感器控制不僅能簡化系統結構，還能防止因為電流傳感器故障帶來的逆變器故障[2]和轉矩脈動等問題。

對于無電流傳感器而言，需要采用算法估計相電流經過坐標變換后的d、q軸電流。基于狀態觀測器的估計算法是一種通用性強而簡潔的算法，即根據電機系統狀態方程構建觀測器，配置極點，根據觀測值對狀態變量(即電流)進行估計。文獻[3]采用擴張狀態觀測器，相比普通的狀態觀測器，擴張狀態觀測器多出一維狀態，利用這個多出的一維狀態，可實現對未知變量(擾動)的重構或估計，從而將電阻在電機運行過程中可能發生變化(尤其是溫度的影響)的情況考慮在內。

無電流傳感器控制還采用模型參考自適應方法。模型參考自適應控制系統是設計適應機構使被控對象和已知參考模型的動態特性盡可能接近的一種自適應控制系統。文獻[4]以三相異步電機系統為研究對象，基于相電流傳感器故障但尚有一相可用的情況，設計了一種自適應觀測器，對其他相電流進行估計，同時還提出了對定子電阻和磁鏈的估計策略。

還有其他無傳感器控制方法，比如文獻[5]利用基于電壓超前的相位角來進行無電流傳感器控制。此方法相比傳統方法無電流環，從而省去了電流傳感器，易于控制和實現，但精度和穩定性不足。文獻[6]基于一相電流傳感器和相電流特征，重構了各相相電流，并提出零電壓矢量采樣方法以改善重構電流盲區問題。文獻[7]提出了一種基于算法重構的相電流估算方法，該方案在中高速工況下有著不錯的性能，但是低速下效果不很理想。

針對無傳感器控制方法，狀態觀測器方法受參數變化影響較大，模型參考自適應方法在自適應率的調整和選擇上較為困難。本文引入擴展卡爾曼濾波(以下簡稱EKF)算法，該方法是在卡爾曼濾波器基礎上，針對非線性系統的估計算法，通過取其一階泰勒系數來近似線性系統。文獻[8]應用EKF進行了電機同步電感、轉子磁鏈及定子電阻的相關魯棒性仿真實驗和加速加載仿真實驗，證實基于擴展卡爾曼濾波器的PMSM 無電流傳感器矢量控制方法有較好的控制性能。文獻[9]在無位置傳感器控制中應用EKF，提出了一種新穎的過程，在基于擴展卡爾曼濾波器的PMSM驅動器中調整協方差矩陣，取得了良好的效果。EKF適用于非平穩的隨機過程，具有較好的動態估計能力、良好的控制性能和魯棒性強，在工程中應用廣泛，是一種經過檢驗的有效的估計算法。

綜上所示，本文將采用改進型EKF進行PMSM的無電流傳感器控制算法設計，對d，q軸電流進行估計，使用估計值進行電機實時控制。通過多種不同工況測試，對算法估計效果進行了仿真驗證。對于多個影響電機控制性能的參數進行仿真實驗，驗證了控制算法的魯棒性。同時，相較于常規的運用EKF的無電流傳感器控制方法，本文提出了一種引入額外觀測變量的改進策略，進一步優化了電流估計效果。

1 PMSM模型設計

三相PMSM是一個復雜、強耦合的非線性系統，為了設計先進的算法和實現PMSM的良好控制，建立合適的模型就尤為重要。PMSM通常在d，q坐標系下進行控制，在此坐標系下能實現較好的解耦控制，且形式簡潔。其電壓方程：

式中：ud，uq分別為定子電壓矢量在d，q軸上的分量；ω為轉子角頻率；p為微分算子；φd，φq分別為d，q軸磁鏈，磁鏈方程：

基于以下理想化假設：(1)采用Y形連接法使定子三相繞組對稱分布；(2)忽略氣隙磁場的影響，忽略渦流損耗和磁滯損耗，忽略繞組電阻和繞組電感等。PMSM轉矩方程及動力學方程：

式中：Te為電磁轉矩；TL為負載轉矩；J為轉動慣量；p為極對數；B為阻尼系數；φf為主磁鏈。

2 無傳感器電流評估方法

2.1 基于EKF算法的無電流傳感器控制

對于無電流傳感器的PMSM系統，需要采用估計算法代替傳感器測量值，本文采用EKF方法。

卡爾曼濾波算法利用線性系統狀態方程，通過系統輸入輸出觀測數據，對系統狀態進行最優估計。EKF是在卡爾曼濾波器基礎上針對非線性系統的估計算法，通過取其一階泰勒系數來近似線性系統。在PMSM無電流傳感器控制中，采用d，q軸電流和轉速作為狀態變量(也可適當選取狀態變量用于無位置傳感器)，得到電機狀態方程：

(4)

對于凸極式PMSM，其Ld與Lq通常是不等的，定義η=Lq/Ld，電機的狀態方程可以寫為：

(5)

式(4)、式(5)中：id，iq，ω分別是d，q軸電流和轉速，為狀態變量；Rs為定子電阻；Ld，Lq為d，q軸電感；φf為磁鏈；p為極對數；J為轉動慣量；TI為負載扭矩。

EKF數學模型：

式中：V(k)為系統噪聲，W(k)為測量噪聲，均為數學期望為0的高斯白噪聲。

狀態方程的雅克比矩陣：

實際應用通常為離散系統，設采樣時間為Tc，則k時刻狀態轉移矩陣：

Fk?I+FTc

(8)

EKF步驟：

1)預測階段，得到下一時刻的狀態變量估計和誤差協方差矩陣：

2)更新階段，計算卡爾曼增益矩陣，修正狀態變量估計和誤差協方差矩陣：

Pk=(I-kkHk)Pk/k-1

(13)

采用EKF的無電流傳感器控制框圖如圖1所示，狀態變量和輸入變量與式(5)相對應，先進行先驗估計，并計算卡爾曼增益，利用卡爾曼增益進行修正，得到最終估計結果。

圖1 EKF算法框圖

擴展卡爾曼濾波器設計中，協方差矩陣初值和噪聲矩陣對于整體的收斂性能和估計效果有一定影響，需要進行適當的調節。本文先根據經驗大致設定協方差矩陣初值和噪聲矩陣，再通過仿真結果調整參數。

2.2 引入觀測變量的EKF改進策略

基于EKF進行電機電流估計時，先驗估計部分依賴于電機系統狀態方程，因此先驗估計完全由電機系統的特性和輸入決定。由于EKF的非線性化誤差和系統及輸入的變化等原因，先驗估計并不完全準確，故需要用測量反饋進行后驗修正，避免估計結果不斷偏離。

對于后驗過程，式(12)表示的是測量反饋，其中的觀測變量應是可以測量到的，用于修正先驗估計。常規的基于EKF的無電流傳感器控制方法，采用的是轉速作為觀測變量，對應觀測矩陣H=[0 0 1]。用于修正的卡爾曼增益K與誤差協方差矩陣相關，誤差協方差矩陣反映了各個狀態變量的統計特性和線性關系。由于矢量控制的解耦特性，我們認為三個狀態變量d、q軸電流和轉速的誤差互不相關，協方差矩陣為對角矩陣，迭代的初值亦設置為對角矩陣。故由式(11)可知，Kk=[0 0g(k)]T,即只有第三行非0，從而更新階段進行后驗修正時，主要依據轉速觀測的殘差，修正的狀態變量也是轉速一項。

為進一步提升后驗修正性能從而提升EKF的電流估計效果，考慮引入體現電流特征的物理量進行觀測，這里引入了電機的電磁轉矩。電磁轉矩的值可由負載扭矩和轉速變化率計算得出，是可以測量的。電磁轉矩作為觀測變量。對于后驗修正式(12)，其原本的觀測變量：

y(k)=ω(k)

(14)

引入電磁轉矩后變為：

y(k)=[ω(k)Te(k)]T

(15)

觀測矩陣由原來的[0 0 1]變為：

H(k)=

3 仿真驗證和分析

為了驗證本文基于EKF算法進行無電流傳感器控制的有效性，基于Simulink平臺，搭建了電機模型及其控制系統，并應用EKF算法進行電流估計仿真實驗。無電流傳感器控制框圖如圖2所示。模型整體采用雙閉環控制，外環為速度環，內環為電流環。將參考電流和轉速與估計電流、測量轉速相比較，進行雙環PI控制，以調節轉速和電流，并得到參考電壓，指導SVPWM進行電機控制。

圖2 PMSM無電流傳感器控制框圖

本文考慮更具有普遍性的d，q軸電感不等的凸極式PMSM，對應應采用最大轉矩電流比(MTPA)的控制策略。對于傳統的矢量控制包括id=0控制和最大轉矩電流比控制，表貼式PMSM的d，q軸電感基本相同，在轉矩表達式中不包含磁阻轉矩，適合id=0控制；而凸極式PMSM的d，q軸電感不等，在轉矩表達式中就會出現一部分磁阻轉矩，最大轉矩電流比控制(MTPA)能通過一定的方法利用該磁阻轉矩，使得在輸出同等轉矩時的定子電流達到最小，進而減小損耗，提高電機的效率。

本文在以下幾個方面進行仿真驗證：(1)對比PMSM運行時的實際電流與估計電流，驗證電流估計的有效性；(2)對比無電流傳感器控制和常規控制方式的電機響應，驗證控制性能；(3)對多個參數進行魯棒性仿真實驗，驗證其魯棒性。電機的參數設置及EKF算法參數設置如表1所示。

表1 電機模型和EKF算法參數設置表

3.1 電流估計效果驗證

無電流傳感器控制關鍵在于電流估計的準確性和有效性，本文在多個工況下對PMSM電流估計進行了仿真驗證。本小節在不同期望轉速和負載扭矩下，設置了多個階躍加載的簡單工況，以驗證EKF進行電流估計的有效性。

使用EKF進行無電流傳感器控制的估計誤差結果如表2所示，估計誤差采用的是整個仿真過程中誤差的均方根值，括號中的為電流估計的穩態誤差。

除了階躍負載扭矩工況，本文設置了以下3種典型工況進行進一步驗證：(1)變扭矩工況，期望轉速為1 000 r/min，在0.2 s給予4 N·m的階躍轉矩, 0.3 s再加4 N·m的階躍轉矩, 0.4 s再加4 N·m的階躍轉矩；(2)變轉速工況，期望轉速為500 r/min，0.15 s上升至1 000 r/min，0.3 s上升至1 500 r/min，在0.2 s給予10 N·m的階躍轉矩；(3)斜坡負載工況，在1 000 r/min轉速下，0.20 s到0.22 s負載扭矩由0上升至15 N·m，之后保持15 N·m。在這幾個工況下，驗證輸入變化下電流估計效果。圖3～圖5分別顯示了這三個工況下的d，q軸電流和轉速估計效果。

由表2可以看出，對于相對簡單的階躍負載扭矩輸入工況，其q軸電流估計的相對穩態誤差在2%～5%，d軸電流估計的相對穩態誤差約10%。EKF方法對于電流估計效果整體較好，尤其是穩態時估計精確。d，q軸電流估計誤差在轉速和扭矩由低到高的工況下，都保持較低的水平。高轉速下動態響應稍差，d，q軸電流整體誤差稍大，但穩態誤差仍然較低，轉速估計則幾乎沒有誤差。對于輸入變化的工況，使用EKF進行電流估計也保持了良好的估計水平，動態誤差稍大，但整體估計效果仍然較準確，這也進一步說明了EKF方法進行電流估計的可靠性和有效性。

圖4 基于EKF的變轉速工況下電流估計效果

圖5 基于EKF的斜坡負載工況下電流估計效果

對于存在的估計誤差，一方面是由于EKF方法采用一階泰勒系數作為近似，會產生一定的估計誤差；另一方面，轉速作為觀測變量不能很好反映電流控制性能，使得EKF在修正環節性能提升有限。而高轉速下，電流由轉矩和轉速共同作用，不同于低轉速下主要取決于轉矩，使得估計效果變差。同時，動態誤差比穩態誤差更大，這是轉速變化率本身對電流控制有較大影響的緣故。對于轉速作為觀測變量不能很好反映電流控制性能的問題，本文提出改變觀測變量的改進策略具有實際的意義。

3.2 基于EKF改進策略的驗證

使用EKF進行電流估計的常規方法僅采用轉速作為觀測變量，后驗修正有所不足，下文將采用改變觀測變量的改進策略進行仿真，并與常規方法進行對比驗證。添加電磁轉矩作為額外的觀測變量后，噪聲矩陣R相應擴充為二維，這里設置R=[1,0;0,10]。仿真采用斜坡負載工況：期望轉速為1 000 r/min，負載扭矩輸入為斜坡負載，0.20～0.22 s負載扭矩由0上升至15 N·m，之后保持15 N·m，對比兩種方法的估計效果。圖6是基于改進EKF的電流估計仿真結果。

圖6 基于改進策略的電流估計效果

對比圖5和圖6可以看出，相比于采用轉速作為觀測變量的常規方法，使用改變觀測變量的改進策略時，d，q軸電流在轉速上升過程中和穩態時估計誤差均有所減小，總體估計均方根誤差優化了30%左右。轉速是狀態變量中可以觀測到的值，因而兩者均有優異的估計效果，差別很小。同時，在改變觀測變量的改進策略下，穩態時曲線更平直，即穩態時d，q軸電流波動更小，穩態響應性能也更好。總體而言，改進策略減小了估計誤差，提升了響應性能，是一種有效的優化方法。

3.3 考慮參數變化的魯棒性實驗

在電機的實際控制中，各項參數和輸入都存在著可能的變化和擾動，驗證算法抵抗參數變化和干擾的能力，即魯棒性也就十分重要。本文將基于改進策略的EKF算法無電流傳感器控制系統，驗證模型控制性能和估計效果對參數變化和輸入變化的魯棒性，主要包括對電感參數、定子電阻、轉動慣量和負載扭矩。對于電感而言，由于飽和特性的影響，實際電感值并非保持恒定，而是與電流相關，需要驗證其魯棒性。實際的定子電阻值隨溫度升高而增加，不是定值。轉動慣量是實際控制中相對電機軸的總體轉動慣量，有的時候并非能得到準確值。對于負載轉矩輸入，實際車用電機采集的負載轉矩多是轉矩控制命令，而非實際負載需求轉矩，因此電機響應可能存在延遲，同時轉矩反饋也存在一些誤差。本文對以上參數變化和輸入變化的魯棒性進行驗證。仿真條件設置如下：期望轉速為1 000 r/min，負載轉矩設置為從0.20 s開始加載斜坡負載，在0.22 s時達到10 N·m，之后保持穩定。

首先，對于電感、定子電阻和轉動慣量這三個電機內部參數進行魯棒性實驗。電感魯棒性實驗中，電機模型中的d，q軸電感在前0.3 s內保持標稱值，0.3 s時突變為1.1倍標稱值，0.4 s時突變為0.9倍標稱值，而估計算法中維持標稱值，用于模擬參數受到干擾時的情況，其余參數都保持標稱值不變。定子電阻和轉動慣量的魯棒性實驗也按照類似的設置。圖7～圖9分別顯示了三個參數魯棒性的典型仿真結果。為了突出參數變化和干擾前后d，q軸電流形態，圖中只顯示了電流0.15 s到0.5 s時的圖象，即加載前后和參數變化的圖象，省去了起動的部分。

圖8 定子電阻參數變化影響測試

圖9 轉動慣量參數變化影響測試

由圖7至圖9可以看出，在電機內部參數變化的情況下，對于不同的參數，電流估計效果和電機的控制性能都得到了保持。在電感參數突變實驗中，1.1倍標稱值下，d，q軸電流的估計誤差相比準確值分別增大了37.2%，29.1%；0.9倍標稱值下，d，q軸電流的估計誤差相比準確值分別增大了43.5%，41.6%。在定子電阻參數突變實驗中，1.1倍標稱值和0.9倍標稱值下的上述數據則是24.8%，21.5%和15.3%，13.8%。在轉動慣量參數突變實驗中，1.1倍標稱值和0.9倍標稱值下的上述數據則是22.4%，13.5%和20.6%，9.6%。在參數變化后，估計誤差也有所增大，這是因為真實電流發生變化，算法仍采用標稱值，使得電流估計中先驗估計部分不很準確，但經過EKF后驗修正后，誤差增加有限，說明EKF方法進行電流估計的效果有著較強的抵抗參數變化能力。在參數突變為1.1倍標稱值和0.9倍標稱值時，電感魯棒性實驗中d，q軸電流的真實值分別稍稍增大和減小，相比估計結果也是稍偏大和偏小。定子電阻魯棒性實驗則相反，這個趨勢與式(5)是一致的。轉動慣量魯棒性實驗中d，q電流真實值和誤差的變化都不明顯，這是因為這一項對應的動力學方程得到了較好的后驗估計修正。

三者之中，電感變化時估計誤差增大最多，同時穩態電流響應的偏移也最明顯，說明基于EKF的無電流傳感器控制系統對電感變化最為敏感。從狀態方程出發可以解釋其原因，三個參數均是影響狀態方程的系數矩陣進而影響估計效果，定子電阻主要影響電壓方程的電阻壓降項，相對影響較小，轉動慣量影響的是動力學方程的轉速響應，但轉速本身可以觀測，后驗估計值能得到較好的修正，因此估計誤差增加幅度和真實值的波動都是最小的。而電感同時影響電壓方程中的電阻壓降項和電感項，先驗估計偏離更多，估計誤差相對增大更多。總體而言，對于電機內部參數的變化，電流估計效果仍然保持良好，電機響應的趨勢和性能也保持和理想狀態一致，具有良好的魯棒性。

除了對電機內部參數的魯棒性驗證之外，作為電機輸入變量的負載轉矩的魯棒性也很重要。本文設置了兩種不同的工況以驗證其魯棒性：(1)期望轉速設置為1 000 r/min，電機模型中的負載轉矩時間為0.20～0.22 s，轉矢由0上升至10 N·m的斜坡信號，估計算法中仍采用固定標稱值，即0.2 s時施加10 N·m的階躍轉矩，這一設置是為了模擬實際轉矩命令的響應延遲，仿真結果如圖10所示；(2)電機模型輸入的負載扭矩在前0.3 s內保持標稱值，0.3 s時突變為1.1倍標稱值，0.4 s時突變為0.9倍標稱值，而估計算法中維持標稱值，用于模擬干擾和誤差，仿真結果如圖11所示。

圖10 負載反饋延遲影響測試

圖10顯示的是在1 000 r/min期望轉速下的結果，id，iq估計誤差相對常規情況變化了16.97%和26.50%，在較低轉速500 r/min和較高轉速2 000 r/min下也有接近的變化幅度，說明了實際轉矩延遲響應的場景下的魯棒性。圖11顯示負載轉矩突變場景下的仿真結果。1.1倍標稱值下，d、q軸電流的估計誤差相比準確值分別增大了10.7%，31.7%；0.9倍標稱值下，d，q軸電流的估計誤差相比準確值分別增大了6.9%，27.6%。

相對常規情況而言，電流估計誤差有所增大，主要是轉速變化時誤差增大，即動態誤差增大，使得總體電流估計誤差有所增大，但仍保持較低的誤差水平。同時，電流響應變化相比上述內部參數更明顯，這是因為是輸入變量的直接改變，比狀態方程系數改變的影響更為直接。且由于矢量控制中iq和電磁轉矩強相關，因而iq的估計誤差和響應變化都更大。以上兩種實驗均表明，在負載轉矩變化的情況下，使用EKF方法仍然保持了良好的電流估計效果和控制性能，具有較好的魯棒性。

總體而言，采用改進EKF方法進行電流估計，電機的參數和輸入變化時，不論是電流估計效果還是整體控制性能，均得到了保持，基于EKF的PMSM無電流傳感器控制具有良好的魯棒性。

4 結 語

本文使用EKF進行電流估計，進行PMSM無電流傳感器控制，起到了節約成本、簡化系統的作用。針對具有普遍性的凸極式PMSM進行建模，在多個工況下，使用EKF算法進行仿真，取得了良好的估計效果和控制性能。對于電機的電感參數、定子電阻、轉動慣量和負載扭矩進行了魯棒性實驗，說明了該算法在估計和控制上的良好魯棒性。同時針對常規基于EKF算法策略的不足，通過引入負載轉矩作為觀測變量，提出了一種改變觀測矩陣的改進策略，對整體估計效果進行了優化，并驗證了其可行性。