阻力和升力加速度指令快速解析與跟蹤制導

劉剛

（中國運載火箭技術研究院，北京 100076）

升力式飛行器在大氣層內的滑翔段一般有初始能量過剩、準平衡滑翔、傾側轉彎和無動力等特點，其制導任務通常是使飛行器在到達給定的待飛縱程時將其高度、速度、航跡方向角、彈道傾角等多個參數控制到期望的值，以實現和下一個飛行段的順利銜接。解決滑翔段制導問題應用較多的制導方法有預測校正制導［1-9］、阻力加速度跟蹤制 導［10-14］、三 維 制 導［15-16］、解 析 制 導［17-21］等。在預測校正制導中，攻角剖面一般事先給定為一個隨速度或馬赫數變化的固定剖面，在制導中攻角僅在給定剖面基礎上做小幅調整。攻角是一個重要的控制量，預測校正制導中給定攻角剖面的做法在一定程度上制約了攻角在制導中的作用。阻力加速度跟蹤制導是一種成功獲得航天飛機的工程應用的制導方法，但是該方法依賴于參考軌跡，靈活性不強。相比于其他方法，解析制導的研究相對較少。文獻［17］把準平衡滑翔條件與解析預測制導相結合，形成一種不依賴參考軌跡和攻角剖面的滑翔段解析制導方法，該方法用傾側角進行航向和終端速度控制，用攻角進行終端高度和縱程控制，取得了較好的效果，說明解析法用于滑翔段制導具有可行性。文獻［19］以譜分析法尋求運動方程的解析解，并形成再入解析制導方法，但是其數學工具比較復雜，應用難度較大。

本文嘗試探索一種基于直接解析的滑翔段制導方法。思路如下：首先，利用阻力加速度和攻角的單調性關系，在每個制導周期實時設計出滿足終端速度約束的阻力加速度指令，靠改變攻角進行跟蹤，實現對終端速度的控制；其次，通過引入虛擬目標和偽視線角的概念，將比例導引應用于滑翔段，通過縱向比例導引生成航跡坐標系的升力加速度指令，靠改變傾側角進行跟蹤，實現對終端高度和終端彈道傾角的控制。對于航跡方向角（或待飛橫程）的控制，通過傾側角按反轉走廊邊界改變正負號實現。本文提供的方法可擺脫對參考軌跡和攻角剖面的依賴，計算量很小，可快速生成制導指令，實現對終端高度和終端速度的較高精度控制。

1 滑翔段制導問題

滑翔段制導問題可表述如下：假設飛行器已經處于準平衡滑翔飛行狀態，當前待飛縱程為L0、高度為h0、速度為v0。制導終端約束為：使飛行器在待飛縱程為Lf時，高度為hf、速度為vf、彈道傾角為θf，航跡方向角偏差Δχf（或待飛橫程）小于給定值。

2 終端速度的控制方法

注意到，在升力式飛行器滑翔段飛行的任一時刻，若其他參數都不變，只改變攻角大小，根據空氣動力學原理，在約0°～90°的攻角范圍內，飛行器阻力加速度的絕對值和攻角具有單調遞增關系，攻角越大，阻力加速度的絕對值越大。利用這一特點，可以通過改變攻角獲得期望的阻力加速度。只要設計出滿足終端速度約束的阻力加速度指令，再通過改變攻角對其進行跟蹤，就能實現對終端速度的控制。

2.1 阻力加速度指令在線快速解析

首先，需要設計滿足終端速度約束的阻力加速度指令。假設飛行器自當前狀態到終端狀態的飛行時間為t，期間假設可以通過制導跟蹤策略使得飛行器以固定的阻力加速度ˉax飛行，到達終端縱程時的速度為vf。忽略航跡方位角的影響，僅考察飛行器在縱向平面的運動，飛行路程s為

由牛頓一維質點運動學，有

由式（2）得

將式（4）代入式（3）可得

由式（5）和式（6）可得

為了適應不同飛行任務的要求，可再引入一個加權系數kax：

由式（1）、式（7）和式（8）有

阻力加速度指令加權系數kax可根據飛行任務的特點進行設計，加權系數剖面可以采用待飛縱程為橫坐標進行設計，如圖1所示。

圖1 典型的阻力加速度加權系數剖面Fig.1 Typical drag acceleration weighting coefficient profile

2.2 用攻角跟蹤阻力加速度指令

式中：fx、fy為飛行器本體坐標系視加速度，對于無動力升力式飛行器僅由氣動力產生，可由加速度計直接測量；αgx為慣性攻角，是在忽略風速的情況下由飛行器的地速和姿態角的導航值計算出的攻角估計值。

對于升力式飛行器，在一定攻角范圍內，飛行器的阻力加速度和攻角具有單調性，攻角越大，阻力加速度的絕對值越大。因此，可以通過改變攻角對阻力加速度指令進行跟蹤。

指令攻角α*（慣性值）以增量形式按下式計算：

式中：αgx為當前慣性攻角；kα為增益系數（正值）。

另外，需要根據飛行器姿態控制能力對指令攻角進行限幅和限速。由于本文方法中的攻角指令是增量形式的，kα取值與制導周期有關。若kα取值過大，將觸發指令攻角限速，此時一般不會對制導精度產生不良影響，也不會出現攻角指令震蕩；但是若kα取值過小，將影響阻力加速度跟蹤效果。

2.3 傾側角的阻力加速度跟蹤模式

式中：σ*為在傾側角的阻力加速度跟蹤模式中指令傾側角的大小；σmax1為在傾側角在阻力加速度跟蹤模式中的最大允許值，該值對于飛行初期的最大熱流有很大影響，一般設計為小于全程傾側角最大允許值σmax。σmax1過小會影響阻力加速度指令的跟蹤效果，因此需要根據具體任務折中考慮。

進入傾側角的阻力加速度跟蹤模式的判據可按式（14）計算：

退出傾側角的阻力加速度跟蹤模式的判據可按式（15）計算：

為了簡化制導邏輯，可在滑翔段初期直接將傾側角置為阻力加速度跟蹤模式。在后續飛行中，只要滿足式（15）的判據，即退出阻力加速度跟蹤模式，切換為升力加速度跟蹤模式。后續不再重復進行模式切換。在升力加速度跟蹤模式中，傾側角將用于跟蹤升力加速度指令，不再用于跟蹤阻力加速度指令。

3 終端高度和終端彈道傾角的控制方法

比例導引是一種精度高、所需過載小的末制導方法。比例導引的原理是：先計算從飛行器到目標點的視線角和視線角速度，再使飛行器速度矢量的變化率與視線角速度成比例，這樣即可使飛行器精確擊中目標。但是，這種方式不能直接用于滑翔段制導，其原因是：滑翔段飛行距離很長，一般為數千公里，與地球半徑達到同一數量級，受到地球曲率的影響，從飛行器到目標的視線會處于地平線以下，如果直接使用比例導引會使飛行器在飛行半途中墜地。這是將比例導引用于滑翔段制導需要解決的一個問題。為了在滑翔段應用比例導引，本文提出虛擬目標、偽視線角和偽視線角速度的概念，通過帶傾角約束的縱向比例導引生成航跡坐標系的升力加速度指令，通過改變傾側角進行跟蹤，實現對終端高度和彈道傾角的控制。

3.1 基于比例導引的升力加速度指令解析方法

虛擬目標是指以制導終端縱程Lf和終端高度hf為特征參數的一個虛擬的目標。偽視線角是指在忽略地球曲率情況下計算的從飛行器到虛擬目標的視線角，偽視線角速度是指在忽略地球曲率情況下計算的從飛行器到虛擬目標的視線角速度。由于本文中比例導引僅用于縱向，不需要橫向參數。在縱向，帶終端彈道傾角約束的比例導引公式為

根據比例導引的原理，若滿足式（16），可使飛行器以彈道傾角θ*擊中虛擬目標。由虛擬目標的定義，可知這實際上正好滿足了制導終端縱程、終端高度和彈道傾角約束。

式（16）中，縱向偽視線角速度和縱向偽視線角計算公式如下：

式中：ΔX、ΔY和ΔVX、ΔVY分別為從飛行器到虛擬目標的相對位置和相對速度，表達式為

剩余飛行時間tleft按下式估算：

由飛行動力學有

式中：Ay為飛行器的升力；R為飛行器到地心的距離；σ為飛行器傾側角；m為飛行器質量；v為飛行器對地速度。

另外，定義：

由式（16）、式（22）和式（23）可得

式（24）即為基于比例導引的升力加速度指令（航跡坐標系）解析值，其中第1項為高度控制項，第2項為重力補償項，第3項為離心力補償項，第4項為終端彈道傾角控制項。這里，比例導引的相關參數都是由常規導航參數解析得到的，并不需要增加額外的傳感器。

3.2 傾側角的升力加速度跟蹤模式

否則，

式中：σmax為最大允許傾側角。

同樣，需要根據飛行器姿態控制能力對指令傾側角進行限速。本節的控制策略僅得到傾側角的大小，傾側角的正負由第4節策略確定。

4 航跡方向角控制方法

第2節和第3節中的方法給出了攻角指令（含正負號）和傾側角指令（僅絕對值），用于進行速度、高度和彈道傾角控制。在3.2節中，飛行器多余的升力加速度被傾側角分配到側向，會影響飛行器的側向運動。為了對航跡方向角偏差Δχ（或待飛橫程H）進行控制，采用與預測校正制導類似的方法，設計一個側向偏差走廊，當飛行器側向運動超出走廊邊界時，通過改變傾側角的符號進行橫向控制。典型的側向偏差走廊如圖2所示。

航跡方向角偏差Δχ定義為

式中：χt為飛行器當前的航跡方向角；At為從當前飛行器到目標的大地方位角。χt和At都以指向當地正北為零，以向東偏為正。

指令傾側角的符號Signσ初始值為

后續傾側角反轉觸發邏輯為：若當前Signσ=-1且Δχ≤-Δχmax時，觸發正向反轉；若當前Signσ=1且Δχ≥Δχmax時，觸發負向反轉。Δχmax為按圖2計算的側向偏差走廊邊界。

5 過程約束的滿足途徑和方法流程

圖3 制導方法流程Fig.3 Flowchart of guidance method

6 仿真校驗

6.1 模型參數

采用文獻［10，22］中的飛行器參數，飛行器質量為1 000 kg，參考面積為3.5 m2，升力系數和阻力系數按下式計算：

表1為任務初始和終端參數。表中：λ為經度，φ為大地緯度。終端條件為距離目標點（經度27.85°，緯度0°）的待飛縱程為100 km。對于終端坐標無具體要求。僅有終端速度、高度、航跡方向角偏差和彈道傾角要求。文獻［10］中無彈道傾角約束，本文為了驗證方法額外附加了終端彈道傾角約束。過程約束為過載小于5g，駐點熱流小于2 500 kW/m2，動壓小于15 000 Pa。

表1 任務初始和終端參數Table 1 Initial and terminal parameters of task

6.2 約束條件敏感因素分析

1）最大熱流的敏感因素分析

考察傾側角在阻力加速度跟蹤模式中的最大允許值σmax1對最大熱流的影響。分別將σmax1取為70°、80°、90°，其余仿真條件都相同，仿真結果如圖4所示。可見，σmax1越大，最大駐點熱流越大。因此，需要合理選取σmax1。

圖4 σmax1取不同值時的最大駐點熱流Fig.4 Maximum stagnation heat flux for different values ofσmax1

2）最大動壓的敏感因素分析

首先，考察阻力加速度加權系數剖面對動壓的影響。在圖1所示的剖面中，分別取如表2所示參數設置。

表2 阻力加速度加權系數剖面設計Table 2 Design of drag acceleration weighting coefficient profile

圖5 阻力加速度加權系數最大值取不同值時的動壓Fig.5 Dynamic pressure for different drag acceleration weighting coefficient maximum values

其次，考察期望終端彈道傾角對動壓的影響。將期望終端彈道傾角θ*分別取0°、-2°、-4°，其余仿真條件都相同，仿真結果如圖6所示。可見，當將期望終端彈道傾角θ*取0°時，最大動壓達到17 000 Pa以上，超出了約束值，當θ*取-2°或-4°時，最大動壓大幅減小。產生這種現象的原因是：為了拉平終端彈道傾角，會使飛行器在速度較高時高度降低，處于大氣密度較大的環境。

圖6 期望終端彈道傾角取不同值時的動壓Fig.6 Dynamic pressure for different expected terminal trajectory inclination angles

6.3 標稱狀態下仿真

圖7 側向偏差走廊設計Fig.7 Design of azimuth deviation corridor

在標稱狀態下進行仿真，在距離目標點（經度27.85°，緯度0°）的待飛縱程小于或等于100 km時仿真結束。仿真曲線如圖8～圖18所示。

圖8 速度曲線Fig.8 Velocity curve

圖9 高度曲線Fig.9 Height curve

圖10 彈道傾角曲線Fig.10 Trajectory inclination angle curve

圖11 攻角曲線Fig.11 Attack angle curve

圖12 傾側角曲線Fig.12 Inclination angle curve

圖13 動壓曲線Fig.13 Dynamic pressure curve

圖14 駐點熱流曲線Fig.14 Stagnation heat flux curve

圖15 法向過載曲線Fig.15 Normal overload curve

圖16 阻力加速度曲線Fig.16 Drag acceleration curves

圖17 升力加速度曲線Fig.17 Lift acceleration curves

圖18 地面軌跡Fig.18 Ground track

從圖11和圖12可見，約170 s前，傾側角處于阻力加速度跟蹤模式，此后傾側角轉入升力加速度跟蹤模式。由圖16可見，此期間實際阻力加速度與指令值曲線基本重合。由圖17可見，升力加速度指令全程為正值，因此不需要采用大于90°的傾側角進行跟蹤，除了在傾側角的阻力加速度跟蹤模式和傾側角反轉過程中，其余飛行段航跡坐標系的實際升力加速度與指令值曲線基本重合。這說明由解析給出的阻力加速度指令和升力加速度指令在大部分飛行時間內尤其是后期能通過攻角和傾側角得到有效跟蹤。在飛行最末的十分之幾秒時間加速度不能跟上指令是由比例導引的末端效應引起，對于制導精度影響很小。由圖13～圖15所示，動壓、熱流、過載約束均滿足要求。另外，解析法在線生成的攻角和傾側角制導指令剖面都比較平滑，且即使在傾側角反轉過程中飛行器的高度也不會出現明顯跳躍。

6.4 蒙特卡羅仿真

為了驗證本文方法對于不確定性的適應能力并評估控制精度，采用蒙特卡羅打靶方法進行仿真，選取的打靶仿真偏差項同文獻［10］，如表3所示。表中：ρ為大氣密度。仿真過程中，上述誤差在取值范圍內隨機選取。此外，還按高度施加了高空風場。高空風由南北向風和東西向風疊加而成，南北向風風速向北為正，東西向風風速向東為正。最大和最小風剖面如表4所示。蒙特卡羅仿真時，先根據高度插值得出最大、最小東西向風和最大、最小南北向風。根據2個隨機數在最大值和最小值之間隨機給出東西向風和南北向風的大小。

表3 蒙特卡羅仿真偏差項Table 3 Deviation term of Monte Carlo simulation

表4 高空風剖面Table 4 Upper wind pr ofile

蒙特卡羅打靶2 000次，終端參數散布頻率直方圖如圖19～圖26所示。

圖19 終端速度散布圖Fig.19 Scatter of terminal velocity

圖20 終端高度散布圖Fig.20 Scatter of terminal height

圖21 終端待飛縱程散布圖Fig.21 Scatter of terminal longitudinal range to go

圖22 終端彈道傾角散布圖Fig.22 Scatter of terminal trajectory inclination angle

圖23 終端航跡方向角偏差（絕對值）散布圖Fig.23 Scatter of terminal azimuth deviation（absolute value）

圖24 最大動壓散布圖Fig.24 Scatter of maximum dynamic pressure

圖25 最大駐點熱流散布圖Fig.25 Scatter of maximum stagnation heat flow

圖26 最大法向過載（本體坐標系）散布圖Fig.26 Scatter of maximum normal overload（body coordinate system）

終端控制精度與文獻［10］對比如表5所示。

表5 終端參數控制精度Table 5 Control accuracy of terminal parameters

可見，采用本文方法，對終端高度、終端速度的控制精度高于文獻［10］。終端航跡方向角和終端彈道傾角的散布范圍也小于文獻［10］。由于本文方法以待飛縱程為迭代終止條件，縱向位置不存在誤差。最大動壓、最大熱流、最大過載均滿足約束要求。該方法與文獻［17］類似，都具有不依賴參考軌跡和攻角剖面、計算量小等優點。

7 結 論

本文引入虛擬目標和偽視線角的概念，將比例導引應用于滑翔段，通過一維質點運動學解析并加權直接得到阻力加速度指令，利用阻力加速度和攻角的單調性關系實現有效跟蹤，從而形成一種阻力和升力加速度指令在線快速解析與跟蹤的制導方法。仿真表明：①本文方法對于終端速度、高度都可實現較高精度的控制，對終端彈道傾角也有一定的控制能力。②本文方法制導誤差最大的參數是終端航跡方向角（或橫向位置）偏差，其原因是：由于航向采用了基于側向偏差走廊的bang-bang控制模式，受飛行器滾轉通道姿態控制能力的制約，終端航跡方向角無法實現高精度控制。

若在接近終端時以側向比例導引進行航向控制，可大幅提高終端航跡方向角（或橫向位置）控制精度，但是這與終端速度控制不能兼顧，會以增大終端速度控制偏差為代價。在滑翔段制導中如何同時實現終端速度、高度、航跡方向角（或橫向位置）的高精度控制仍有待于后續深入研究。