一種基于雜波稀疏度改進的雜波密度估計方法

周福珍，唐新豐，石義芳，彭冬亮*，郭云飛

(1.杭州電子科技大學 自動化學院，浙江 杭州 310018； 2.北京宇航系統工程研究所，北京 100076)

0 引言

多目標跟蹤一直是目標跟蹤領域的研究熱點之一，隨著現代武器戰術性能提高以及電子干擾技術發展，多目標跟蹤技術在戰場態勢感知、空中交通管制等多個領域得到了廣泛應用[1-4]。在實際的多目標跟蹤應用中，跟蹤系統常常面臨雜波干擾、目標漏檢復雜環境的挑戰，不僅需要估計目標的動力學狀態，同時還需要對大量身份未知的航跡進行自動管理，包括目標航跡的起始和維持、虛假航跡的識別和剔除[5]。具備航跡自動管理能力的多目標跟蹤被統稱為多目標自動跟蹤。本文的主要工作正是基于復雜環境下的多目標自動跟蹤框架進行。

復雜環境多目標跟蹤系統中常常面臨雜波干擾，測量信息可能來源于不同目標等測量來源不確定性問題。基于數據關聯的多目標跟蹤被大量研究并廣泛應用于實際的跟蹤系統中。綜合概率數據關聯算法(IPDA)[6-8]提出目標存在性作為航跡評價指標實現單目標跟蹤系統下的目標自動跟蹤。聯合綜合概率數據關聯算法(JIPDA)[9-11]在IPDA的基礎上提出聯合可行性事件實現多目標跟蹤系統下目標自動跟蹤。線性多目標綜合概率數據關聯算法[12]針對JIPDA方法計算量上的缺陷提出調制雜波密度方法降低計算量。

在上述這些多目標自動跟蹤算法中，通常假設雜波測量個數在時間上服從泊松分布，雜波測量在空間上服從均勻分布。雜波密度作為數據關聯的一個重要參數。在實際的目標跟蹤系統中，需要針對空間分布未知、非均勻且時變的雜波密度進行精確估計。雜波密度估計方法可分為單幀雜波密度估計方法和多幀雜波密度估計方法。多幀雜波密度估計方法[13-14]利用多幀歷史測量信息估計當前幀測量的雜波密度，能有效降低目標測量對雜波密度估計的影響。單幀雜波密度估計方法可以分為基于航跡和基于測量集2類。基于航跡的傳統雜波密度估計方法[15]提出利用門限內測量的平均雜波個數與門限超球體體積的比值計算雜波密度但容易導致估計結果不穩定。基于空間稀疏度的雜波密度估計(Spatial Clutter Measurement Density Estimator,SCMDE)方法[16-18]以待估點為中心創建一個超球體，并假設超球體內所有測量均為雜波測量，且在超球體內服從均勻分布，最后利用超球體體積與超球體內測量個數的比值，估計待估點的雜波稀疏度。該方法中定義雜波稀疏度是雜波密度的倒數。在雜波未知、非均勻且時變的單目標自動跟蹤場景下，SCMDE是無偏的雜波密度估計方法。但在多目標尤其是在密集多目標自動跟蹤場景中，SCMDE的雜波密度估計正確率急劇下降。這是因為在該場景下SCMDE假設不成立(超球體內的測量都是雜波測量)，超球體內包含的目標測量會直接導致雜波密度估計結果偏大，繼而使航跡管理性能急劇下降。

針對SCMDE方法在多目標自動跟蹤場景下雜波密度估計正確率急劇下降的問題，提出了一種基于SCMDE改進(Extended SCMDE，ESCMDE)雜波密度在線估計方法。通過計算以待估點為中心的超球體內測量來源于雜波的概率估計超球體內真實的雜波個數，消除超球體內目標測量對雜波密度估計的偏差，提升復雜環境下多目標自動跟蹤的航跡管理性能。

1 問題描述

1.1 目標模型

假設監視區域內目標隨機出現和隨機消失，即監視區域內目標隨機存在。根據目標隨機存在建立目標存在概率的時域演變模型為：

(1)

假設目標在監視區域內做近似勻速直線運動并在監視區域建立二維笛卡爾坐標系，則目標動力學狀態時域演變模型如下：

(2)

(3)

(4)

式中，I2為2×2的單位矩陣；O2為2×2的零矩陣。ωk為過程噪聲，通常假設為加性高斯白噪聲，其協方差矩陣為Q，且有：

(5)

式中，q為功率譜密度；T為傳感器采樣間隔。

1.2 測量模型

假設傳感器位于二維笛卡爾坐標系原點，傳感器獲取的測量形式是目標在二維笛卡爾坐標系中x和y方向的位置信息。Zk為tk時刻傳感器產生的測量集合，zk,i為測量集合中第i個測量。

1.2.1 目標測量模型

傳感器以一定的檢測概率PD檢測到目標，當zk,i是目標測量，則有：

zk,i=Hxk+υk，

(6)

式中，H表示觀測矩陣，且有：

(7)

υk為傳感器的觀測噪聲，通常假設為加性高斯白噪聲，其協方差矩陣記為R。

1.2.2 雜波測量模型

傳感器在tk時刻獲取的測量集合中，雜波測量個數在時間上服從泊松分布：

(8)

式中，mk為tk時刻雜波個數；λV為監視空間V內雜波平均個數，λ為監視空間V內的平均雜波密度。

本文要解決的問題是在多目標跟蹤系統中，利用當前測量集合Zk，對空間分布未知、非均勻且時變的雜波測量進行在線雜波密度估計，并將雜波密度估計結果嵌入相應的多目標自動跟蹤算法，提高航跡管理性能。

2 理論雜波密度計算方法

針對已知雜波的空間分布概率密度函數，推理出測量空間上任意位置的理論雜波密度值。假設測量空間上任意位置的真實雜波密度值等價于理論雜波密度值。

假設測量空間上存在N個雜波測量，雜波測量相互獨立，雜波空間分布概率密度函數為p(z)，測量空間上點z0的理論雜波密度為：

(9)

雜波測量落入ΔV區域的概率為：

(10)

根據二項式分布原理，N個雜波測量落入ΔV區域的期望個數為：

(11)

聯立式(9)和式(11)，則有：

ρ(z0)=Np(z0)。

(12)

3 改進的雜波密度自適應估計方法

3.1 基于SCMDE的雜波密度估計方法

SCMDE是一種基于單幀測量的雜波密度估計方法，該方法以待估點為中心創建一個超球體，并假設超球體內所有測量均為雜波測量并且在超球體內服從均勻分布，直接利用超球體的體積與超球體內測量個數的比值估計雜波稀疏度。該方法中定義雜波稀疏度是雜波密度的倒數。SCMDE方法僅利用當前幀測量數據可對空間分布未知、非均勻且時變的雜波密度進行在線估計，估計精度和實時性好且獨立于跟蹤算法。

(13)

(14)

基于SCMDE的雜波密度估計方法，本文分別定量分析了SCMDE在單目標和多目標跟蹤系統中的雜波密度估計偏差，假設待估點的雜波密度已知且為λ。

(1) 場景1：單目標

(15)

則n階SCMDE稀疏度均值和方差分別為：

(16)

(2) 場景2：多目標

在多目標自動跟蹤場景中，尤其是在密集多目標自動跟蹤場景下，SCMDE方法中假設超球體內所有測量均勻雜波測量的假設往往不成立。當SCMDE方法創建的超球體內包含目標測量時，會導致稀疏度估計值偏小，即雜波密度估計偏大。為了簡便，僅考慮監視區域內有2個目標，定量分析SCMDE方法的雜波密度估計偏差。

當待估點是目標測量時，SCMDE雜波稀疏度估計均值為：

(17)

當待估點是雜波測量時，SCMDE雜波稀疏度估計均值為：

(18)

3.2 基于SCMDE改進的雜波密度估計方法

針對SCMDE方法在多目標自動跟蹤場景下雜波密度估計存在偏差，提出了基于SCMDE改進的雜波密度估計方法，通過計算以待估點為中心的超球體內測量來源于雜波的概率估計超球體內真實的雜波測量個數，來降低超球體內可能包含的目標測量對雜波密度估計的偏差，從而提高雜波密度估計精度。步驟如下：

步驟1：航跡波門簇劃分

基于最優多目標自動跟蹤算法的數據關聯考慮所有的聯合可行事件，但聯合可行性事件的總數隨著航跡數和預選觀測的增加呈指數爆炸增長。出于計算量考慮，可將航跡劃分在幾個互斥的波門簇中。波門簇是一組航跡和它們的預選測量的集合，且每幀波門簇都要重新劃分。波門簇的劃分有2個原則：① 選擇同一測量的不同航跡屬于同一個波門簇且任何選擇波門簇內測量的航跡均屬于該波門簇；② 沒有選擇任何波門簇內測量的航跡單獨成為一個波門簇。玻門簇劃分圖如圖1所示。

圖1 波門簇劃分Fig.1 Clusters partition

圖1中，τ1，τ2，τ3和τ4表示4條航跡，M1，M2，M3和M4表示被4條航跡選中的測量。根據波門簇劃分的原則，有2個波門簇。航跡τ1和τ2有共享測量M1，形成一個波門簇。航跡τ3選中該波門簇中的測量M2，它也屬于該波門簇，即航跡τ1，τ2和τ3及其預選測量構成一個波門簇。航跡τ4的預選測量不與其他航跡共享，則單獨形成一個波門簇。

步驟2：計算測量來源于雜波的概率

在多目標自動跟蹤場景中，測量來源可能是不同目標或者雜波。為了闡述清晰，針對測量的來源定義以下事件：

根據步驟1，可知測量和波門簇的對應關系，為了簡便，以測量zk,i為例，該測量所在的波門簇記為Γk。

在波門簇Γk條件下，測量zk,i來源于雜波的概率為：

(19)

(20)

在波門簇Γk條件下，測量zk,i來源于目標τ的概率為：

(21)

在波門簇Γk條件下，測量來源是一個完備事件組，則有:

(22)

則有：

(23)

因此，聯合式(19)和式(23)，可求得波門簇Γk條件下，測量zk,i來源于雜波的概率為：

(24)

步驟3：估計超球體內真實雜波個數

n階的SCMDE方法以待估點為中心創建一個超球體，超球體的半徑為測量空間上待估點到距離待估點第n近測量的歐式距離，直接利用超球體的體積與超球體內測量個數n的比值估計雜波稀疏度。在多目標自動跟蹤場景中，n階改進SCMDE雜波密度估計方法同樣以待估點為中心創建一個超球體，超球體的半徑為測量空間上待估點到距離待估點第c近的測量的歐式距離，直接利用超球體的體積與超球體內測量來源于雜波概率和的比值估計雜波稀疏度。根據步驟2，可以計算當前測量集合中所有測量來源于雜波的概率。距離待估點第c近的測量需要滿足以下條件：

(25)

為了保證得到超求內測量的雜波概率和最接近階數n，則需：

(26)

因此，對于n階改進的雜波密度估計方法，待估點的雜波稀疏度估計為：

(27)

式中，

(28)

改進的雜波密度估計原理圖如圖2所示，闡述了n=3基于SCMDE改進雜波密度估計方法在二維空間上的實際工作原理。

圖2 改進的雜波密度估計原理Fig.2 ESCMDE principle

4 仿真實驗

仿真以多目標自動跟蹤為背景，以線性多目標自動跟蹤算法LM-IPDA為多目標自動跟蹤方法，針對雜波空間分布未知、非均勻且時變的問題，利用提出的基于SCMDE改進的雜波密度估計方法進行雜波密度在線估計。通過與已知的SCMDE方法比較，驗證本文所提的雜波密度估計方法能提升復雜環境下多目標自動跟蹤的航跡管理性能。

4.1 性能評價指標

仿真實驗的性能指標有確認真實航跡率(Confirmed True Target Ratio，CTTR)和均方根誤差(Root Mean Squared Error，RMSE)2個。CTTR用于衡量目標航跡的識別能力和速度，RMSE用于衡量跟蹤目標航跡的跟蹤精度。

當航跡滿足以下關系式，該確認航跡就被認定為確認真實航跡：

(29)

(30)

蒙特卡羅實驗下，CTTR的統計方式為：

(31)

式中，CTTR(k)為tk時刻真實航跡確認率；CTTi(k)為tk時刻第i次蒙特卡羅試驗確認真實航跡個數；N和M分別為蒙特卡羅實驗次數和監視區域內目標真實個數。

RMSE的統計方式為：

(32)

本文設置2組不同的仿真實驗：雜波空間分布非均勻和雜波空間分布非均勻且時變，仿真實驗目標個數為7個。比較相同和不同階數下ESCMDE和SCMDE兩種方法雜波密度估計結果對航跡自動管理性能影響。

4.2 雜波空間分布非均勻

假設雜波測量的空間分布是非均勻且不隨時間變化的。利用不同的均勻分布概率密度函數和不同的高斯概率密度函數加權混合，生成復雜的空間分布非均勻的雜波測量。假設雜波測量在空間上服從的概率密度函數為：

(33)

式中，V表示二維測量空間上的監視區域面積；μ和Σ分別為高斯分布的均值和協方差矩陣。假設雜波測量個數在時間上服從泊松分布且泊松分布均值m為100，則此時測量空間V上任意一點的真實雜波密度為：

ρ(z)=mp(z)。

(34)

真實航跡起始率如圖3所示。7個目標在500次蒙特卡羅實驗的目標真實航跡起始率，目標2的位置估計RMSE如圖4所示。為了公平地比較SCMDE和ESCMDE雜波密度估計方法，通過調整初始目標存在概率，使500次蒙特卡羅實驗中采用2種不同的雜波密度估計方法下確認的虛假航跡個數為21條，并保持確認航跡的目標存在概率閾值和終止航跡的目標存在概率閾值與目標初始存在概率的關系不變。同時，利用真實雜波密度嵌入LM-IPDA算法得到真實航跡起始率的上限。如圖3所示，采用相同的階數進行雜波密度估計，利用本文提出的ESCMDE的雜波密度估計結果嵌入到LM-IPDA獲得比SCMDE更好的真實航跡起始率，提升了航跡管理性能。當同一個雜波密度估計方法采用不同的階數進行雜波密度估計，可以發現SCMDE和ESCMDE都會隨著階數的增加而不同程度地提升目標真實航跡起始率。在第25 s前后，此時目標之間處于鄰近位置，SCMDE在該時間段的真實航跡起始率受到嚴重的影響;對于n=1的SCMDE，真實航跡起始率甚至出現下降，而本文提出的ESCMDE，并未在多目標交叉運動時出現明顯的真實航跡起始率下降問題，且真實航跡起始率高于SCMDE。圖4中位置RMSE只針對確認真實航跡計算所得，僅計算跟蹤目標2的真實航跡的跟蹤誤差，可以發現采用真實雜波密度的RMSE性能總體最優，對比本文所提ESCMDE和SCMDE，相同階數下ESCMDE在目標交叉前后的RMSE性能也優于SCMDE。

圖3 真實航跡起始率Fig.3 True target track initiation rate

圖4 目標2的RMSEFig.4 Location RMSE of target 2

4.3 雜波空間分布非均勻且時變

在上述仿真實驗的基礎上僅改變雜波測量的空間分布，本節雜波測量的空間分布是時變的。假設雜波測量在空間上服從的時變概率密度函數為：

(35)

在雜波空間分布時變情況下，7個目標在500次蒙特卡羅試驗下的目標真實航跡起始率如圖5所示。跟蹤目標2真實航跡的位置RMSE如圖6所示。為了公平地比較SCMDE和ESCMDE雜波密度估計方法，使500次蒙特卡羅實驗中采用2種不同的雜波密度估計方法下確認的虛假航跡個數為16條，其他參數條件保持一致。根據式(35)給出的雜波空間分布概率密度函數可知，在前19 s內，監視區域內的雜波測量服從均勻分布，此時真實航跡起始率提升較快。比較n=1和n=5的SCMDE方法可以發現，n=5的SCMDE方法的真實航跡起始率提升更快，這主要是SCMDE方法的雜波密度估計精度會隨著階數的增加而降低，這是SCMDE方法的性質決定的。在第20～30 s的雜波測量空間分布為高斯分布，第31～50 s的雜波測量空間分布服從均勻分布和高斯分布加權的復雜分布。圖5驗證了ESCMDE方法在雜波空間分布非均勻且時變的多目標跟蹤環境下的航跡管理性能優于SCMDE方法。圖6中目標2的位置估計RMSE也表明ESCMDE在多目標交叉區域可以有效提升跟蹤精度。

圖5 真實航跡起始率Fig.5 True target track initiation rate

圖6 目標2的位置RMSEFig.6 Location RMSE of target 2

5 結束語

雜波觀測密度是計算數據關聯概率和目標存在性所需的重要參數，即使只有很小的變化，對目標跟蹤性能也有很大的影響。本文針對無雜波先驗信息環境下的非參數多目標跟蹤，提出了一種用于多目標自動跟蹤的改進雜波密度自適應估計方法。該方法基于SCMDE改進的雜波密度估計方法，通過計算以待估點為中心的超球體內測量來源于雜波的概率估計超球體內真實的雜波測量個數，來降低超球體內可能包含的目標測量對雜波密度估計帶來的偏差，從而提高雜波密度估計精度。它解決了SCMDE在多目標跟蹤場景下雜波密度估計偏差急劇增大導致航跡管理性能下降的問題。通過仿真，驗證了該方法的可行性。